Wachstumsgeschwindigkeit
Springe zu den Inhalten
Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.
Zurück zur Übersicht
Wachstumsgeschwindigkeit berechnen
Die Wachstumsgeschwindigkeit ist der Wert der ersten Ableitung und die momentane Änderungsrate des Wachstums.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video lernst du, wie man die Wachstumsgeschwindigkeit berechnet. Als Beispiel lösen wir diese Aufgabe. Das Wachstum einer Pflanze kann durch folgende Funktion beschrieben werden.
f von t ist 100 minus 100 e hoch minus 0,3 t, wobei t in Monaten und f von t in Zentimeter ist. Welche Wachstumsgeschwindigkeit hat die Pflanze nach 4 Monaten? Merke dir folgendes. Hast du eine Wachstumsfunktion gegeben, dann ist die Wachstumsgeschwindigkeit die erste Ableitung.
Hier ist also f' von 4 gesucht. Hier siehst du nochmal die Funktion. Diese leitest du nun ab.
Die 100 fällt beim Ableiten weg. Der Faktor 100 und das Minuszeichen bleiben erhalten. Um e hoch minus 0,3 t abzuleiten, brauchst du die Kettenregel.
Die äußere Ableitung ist wieder e hoch minus 0,3 t. Nun musst du noch minus 0,3 t ableiten. Das ergibt minus 0,3. Minus mal Minus macht Plus.
Das kannst du weglassen. Und 100 mal 0,3 ist 30. Nun setzt du für t einfach 4 ein.
Also hier und hier. Minus 0,3 mal 4 ist minus 1,2. Gibst du das in den Taschenrechner ein, kommt rund 9,036 raus.
Formuliere einen passenden Antwortsatz. Zum Beispiel Es reicht nicht zu sagen, die Pflanze wächst 9 cm. Beim Auto sagst du ja auch nicht, die Geschwindigkeit beträgt 130 km, sondern 130 kmh, also 130 km pro Stunde.
Eine Geschwindigkeit hat immer einen Zeitbezug. Schauen wir uns eine Grafik dazu an. Rot dargestellt ist der Graph der Wachstumsfunktion und blau der Graph der Ableitung.
Wie du siehst, handelt es sich um beschränktes Wachstum. Klar, denn die Pflanze kann ja nicht unendlich groß werden, sondern hört irgendwann auf zu wachsen. Diese Pflanze kann nicht größer werden als 100 cm.
Am Anfang wächst sie am schnellsten. Mit der Zeit wächst sie immer weniger. Deshalb ist der blaue Graph fallend, denn dieser gibt die Wachstumsgeschwindigkeit wieder.
Nach 4 Monaten beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit rund 9 cm pro Monat. Das bedeutet, die Tangente in diesem Punkt hat eine Steigung von rund 9. Würde die Pflanze mit dieser Geschwindigkeit weiter wachsen, wäre sie einen Monat später 9 cm höher. Aber das tut sie nicht.
Da während dieses Monats die Wachstumsgeschwindigkeit weiter abnimmt, wächst sie etwas weniger als 9 cm.
Zurück zur Übersichtnoch oben
Zeitpunkt zu gegebener Wachstumsgeschwindigkeit berechnen
Wann wächst die Pflanze 12 Zentimeter pro Monat? Wie du solche Aufgaben löst, siehst du hier.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video lösen wir noch eine Aufgabe zur Wachstumsgeschwindigkeit. Der Anfang ist wie bei der letzten Aufgabe. Das Wachstum einer Pflanze kann durch folgende Funktionen beschrieben werden.
f von t ist gleich 100 minus 100e hoch minus 0,3t, wobei t in Monaten und f von t in Zentimetern ist. Wann wächst die Pflanze 12 cm pro Monat? Diesmal ist also die Wachstumsgeschwindigkeit gegeben mit 12 cm pro Monat. Das heißt f' von t gleich 12 und gesucht ist der zugehörige Monat t, da hier das Fragewort Wann steht.
Hier siehst du nochmal die Funktion. Diese leitest du nun genauso ab wie im letzten Video. Die 100 fällt beim Ableiten weg.
Der Faktor 100 und das Minuszeichen bleiben erhalten. Um e hoch minus 0,3t abzuleiten, brauchst du die Kettenregel. Die äußere Ableitung ist wieder e hoch minus 0,3t und die innere Ableitung ist minus 0,3.
Minus mal Minus macht Plus, das kannst du weglassen und 100 mal 0,3 ist 30. Nun setzt du f' von t gleich 12. Du schreibst also das ab und ist gleich 12 dahinter.
Nun musst du nach diesem t auflösen. Teile als erstes durch 30. 12 geteilt durch 30 ist 0,4.
Nun logarithmierst du. Der ln und die e-Funktion heben sich gegenseitig auf, sodass hier minus 0,3t übrig bleibt. Auf der rechten Seite schreibst du ln von 0,4.
Teile nun noch durch minus 0,3, damit t allein auf einer Seite steht. Das Minus kannst du vor dem gesamten Bruch ziehen. Gibst du das in den Taschenrechner ein, kommt rund 3,05 raus.
Formuliere einen passenden Antwortsatz. Zum Beispiel, die Pflanze wächst nach 3 Monaten 12 cm pro Monat. Diese Grafik kennst du schon aus dem letzten Video.
Rot dargestellt ist der Graph der Wachstumsfunktion und blau der Graph der Ableitung. Somit beschreibt der blaue Graph die Wachstumsgeschwindigkeit. Diese soll 12 cm pro Monat betragen.
Also gehst du diesmal von dieser Achse rüber auf den Graph und dann runter auf die Zeitachse. Dort liest du 3 Monate ab. Das bedeutet, an dieser Stelle hat die Tangente an den roten Graphen die Steigung 12.
Würde die Pflanze mit dieser Geschwindigkeit weiter wachsen, wäre sie ein Monat später 12 cm höher. Aber die Wachstumsgeschwindigkeit nimmt währenddessen ab. Das erkennst du auch daran, dass der blaue Graph fällt.
Deshalb wächst die Pflanze in diesem Monat nur etwa 10 cm. Copyright WDR 2021
Zurück zur Übersichtnoch oben