Logistisches Wachstum
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Einführung in logistisches Wachstum
Logistisches Wachstum verläuft erst annähernd exponentiell und dann beschränkt. Damit lässt sich die Ausbreitung einer Infektionskrankheit gut beschreiben. Logistisches Wachstum lässt sich übrigens auch mit einer Differentialgleichung beschreiben. Hier erkläre ich dir logistisches Wachstum am Beispiel der Ausbreitung einer Infektionskrankheit. Hinweis: Für logistisches Wachstum lässt sich keine explizite Folge angeben, nur eine rekursive.
Lösungsbeschreibung
Die dritte wichtige Wachstumsart ist das logistische Wachstum. In diesem Video lernst du, was logistisches Wachstum bedeutet. Am Anfang verläuft dieses Wachstum nahezu exponentiell.
Doch dann wird die Zunahme pro Zeitschritt immer geringer und kommt zum Erliegen, wie bei beschränktem Wachstum. Damit lässt sich zum Beispiel die Ausbreitung einer Infektionskrankheit beschreiben. Nehmen wir mal an, in einem Dorf mit 300 Einwohnern haben sich ein paar mit einer Krankheit infiziert.
Jeder einzelne von ihnen steckt weitere Dorfbewohner an. Die Zahl der Neuinfizierten hängt somit von der Zahl der bereits Infizierten ab. Das bedeutet, die Zunahme der Infizierten ist proportional zur Zahl der bereits Infizierten.
Formelmäßig drückt man das so aus. Die Zunahme ist B von N minus B von N minus 1. Das ist die aktuelle Zahl der Infizierten und das die Zahl vom Vortag. Die Differenz davon ist die Anzahl der neu Hinzugekommenen.
Und diese ist proportional zur Zahl der Infizierten vom Vortag. Doch je mehr in dem Dorf bereits infiziert sind, desto weniger Leute kann ein Infizierter noch anstecken. Deshalb ist die Zunahme der Infizierten dann eher proportional zur Zahl der noch nicht Infizierten.
Formelmäßig sieht das dann so aus. Das ist wieder die Zunahme der Infizierten und diese ist jetzt proportional zu S minus B von N minus 1. S ist die Schranke 300. Wenn diese erreicht wird, ist das ganze Dorf infiziert.
B von N minus 1 ist die Zahl der Infizierten vom Vortag. Die Differenz davon ist somit die Anzahl der noch nicht Infizierten. Irgendwann sind alle infiziert oder immun.
Somit steigt die Zahl der Infizierten nicht weiter an. Das Wachstum ist deshalb beschränkt. Die Zunahme der Infizierten ist anfangs proportional hierzu und dann hierzu.
Zusammengefasst ist die Zunahme dann proportional zu dem Produkt daraus. Proportional bedeutet, dass beide Ausdrücke gleich groß sind bis auf einen Faktor Q. Dieser Faktor bleibt ungefähr gleich, egal welchen Tag man für N einsetzt. Damit lässt sich die Zahl der Infizierten am nächsten Tag voraussagen.
Bringe einfach B von N minus 1 auf die andere Seite. Dann erhältst du eine reklusive Darstellung für B von N. Eine explizite Darstellung für B von N gibt es nicht. Die Zahl der Infizierten lässt sich immer nur von einem Tag zum nächsten berechnen.
Deshalb ist es bei logistischem Wachstum besonders sinnvoll, eine Wachstumsfunktion zu ermitteln, mit der man die Zahl der Infizierten für beliebige Zeitpunkte berechnen kann. Die Wachstumsfunktion für logistisches Wachstum sieht so aus. Die Schranke S ist in unserem Beispiel 300.
Die Werte a und k können aus den bekannten Daten berechnet werden. In unserem Beispiel ergibt das diese Wachstumsfunktion. Dabei steht x für den Tag und f von x für die Zahl der Infizierten an diesem Tag.
Der zugehörige Graph sieht so aus. Am Anfang sind sehr wenige infiziert. Doch die Infektion breitet sich schnell, also exponentiell aus.
Bis zum Wendepunkt. Ab da wird die Ausbreitung wieder langsamer, schreitet jedoch voran, bis praktisch alle Dorfbewohner infiziert sind, wie bei beschränktem Wachstum. Der Graph nähert sich der Schranke 300 an.
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Logistisches Wachstum nachweisen
Zeigt eine Tabelle das Wachstum eines Bestandes, kannst du wie folgt nachweisen, dass logistisches Wachstum vorliegt:
Lösungsbeschreibung
In diesem Video zeige ich dir, wie du logistisches Wachstum nachweist. Als Beispiel nehmen wir diese Aufgabe. Weise nach, dass für den Bestand logistisches Wachstum mit der Schranke S gleich 10 vorliegt.
Dazu bildest du jeweils diesen Quotienten. Wenn dabei immer der gleiche Wert rauskommt, handelt es sich um logistisches Wachstum. Du beginnst bei n gleich 1. Der Bestand nach einem Jahr ist 3,00.
Der Bestand davor ist 2,00. Hier und hier setzt du wieder diesen Bestand ein. Die Schranke S ist 10.
Wenn du das in den Taschenrechner eingibst, kommt rund 0,0625 raus. Nun machst du das gleiche für die nächste Zeile. Der aktuelle Bestand ist jetzt 4,31.
Der Bestand im Jahr davor war 3,00. Hier und hier kommt nochmal der Bestand vom Vorjahr hin. Die Schranke S ist immer gleich, nämlich 10.
Das ergibt rund 0,0624. Auf die gleiche Weise füllst du die übrigen Felder aus. Offensichtlich kommt jedes Mal etwa der gleiche Wert raus.
Der Mittelwert ist 0,06. Das bedeutet, dass logistisches Wachstum vorliegt. Denn wenn hier immer etwa der gleiche Wert rauskommt, sind Zähler und Nenner proportional zueinander.
Genau das ist das Kriterium für logistisches Wachstum. Formuliere einen Antwortsatz, wie zum Beispiel Da b von n minus b von n minus 1 proportional zu b von n minus 1 mal 10 minus b von n minus 1 ist, liegt logistisches Wachstum mit der Schranke S gleich 10 vor.
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Wachstumsfunktion bestimmen
Eine Funktion, die das Wachstum beschreibt, heißt Wachstumsfunktion oder auch Wachstumsgesetz. Jetzt lernst du, solch eine Wachstumsfunktion aus den gegebenen Daten zu ermitteln. Bei logistischem Wachstum hat die Wachstumsfunktion einen Wendepunkt.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video lernst du, logistisches Wachstum mit einer Funktion zu beschreiben. Dazu lösen wir diese Aufgabe. Die Tabelle zeigt das Wachstum einer Pflanze.
Modelliere die Werte durch logistisches Wachstum. Als die Pflanze gesetzt wurde, war sie 6 cm hoch und nach 10 Monaten bereits 299 cm. Wie bei beschränktem Wachstum musst du zuerst die Schranke S bestimmen, denn die Pflanze wächst ja nicht unendlich hoch.
Da sich die Höhe hier in einem Monat nur noch um 1 cm ändert, kannst du annehmen, dass die Schranke 300 cm ist. S ist somit 300 cm. Das ist die allgemeine Funktion für logistisches Wachstum.
Dabei steht x für den Monat und f von x für die Höhe der Pflanze in cm. S kennst du schon. S ist 300.
Um a zu bestimmen, bildest du immer f von 0. Du setzt also hier und hier für x 0 ein. Am Anfang ist die Pflanze 6 cm hoch. Das ist f von 0. Die Schranke S ist wie gesagt 300.
0 mal irgendwas ist immer 0 und e hoch 0 ist 1. a mal 1 ist a. Nun löst du nach a auf. Multipliziere zuerst mit dem Nenner, um a hochzuholen. Links steht dann 6 mal 1 plus a und rechts steht nur noch die 300.
Teile nun durch 6. 300 geteilt durch 6 ist 50. Rechne nun noch minus 1, damit a allein auf einer Seite steht. 50 minus 1 ist 49.
Nun fehlt dir nur noch k. Dazu nimmst du einen weiteren Datenpunkt. Bei logistischem Wachstum solltest du dafür einen Punkt aus der Mitte nehmen, um den Wendepunkt zu treffen oder zumindest nah dran zu kommen. Nach 5 Monaten ist die Pflanze 223 cm hoch.
Das bedeutet f von 5 ist 223. Bilde also nun f von 5. Dazu setzt du in den Ansatz hier und hier für x5 ein. Außerdem weißt du inzwischen, dass die Schranke 300 ist und a 49.
f von 5 ist 223. Minus k mal 5 sind minus 5k. Nach diesem k löst du nun auf.
Multipliziere zuerst wieder mit dem Nenner. Teile nun durch 223. Hier waren wir stehen geblieben.
Bringe nun die 1 rüber. Dieser Bruch, minus 1, ergibt 77,223. Teile nun durch 49.
Schreibe die 49 dazu mit in den Nenner. 49 und 77 kannst du durch 7 kürzen. 77 geteilt durch 7 ist 11 und 49 geteilt durch 7 ist 7. Jetzt logarithmierst du.
Der natürliche Logarithmus ln und die e-Funktion heben sich gegenseitig auf, sodass links minus 5 k übrig bleibt. Rechts bildest du den ln von diesem Bruch. 223 mal 7 ist übrigens 1561.
Nun teilst du noch durch minus 5. Das gibst du in den Taschenrechner ein und erhältst rund 0,991. Nun setzt du alles in die allgemeine Funktion ein. s ist 300, a ist 49 und k ist 0,991.
Diese Funktion beschreibt das logistische Wachstum der Pflanze. Hier siehst du zum Vergleich den Graph der Funktion. Auf dieser Achse werden die Monate abgetragen und hier die Höhe in Zentimeter.
Am Anfang ist die Pflanze 6 cm hoch. Am Anfang wächst sie etwa exponentiell, doch dann gibt es einen Wendepunkt und ab da wächst sie beschränkt. Die Pflanze kann nicht höher werden als 300 cm.
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