Logarithmusgleichungen

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• Was sind Logarithmen?
• Was sind Logarithmusgleichungen?
• Wie löse ich eine Logarithmusgleichung?
• Logarithmusgleichung lösen durch Exponieren
• Logarithmusgleichung lösen mit dem Satz vom Nullprodukt
• Logarithmusgleichung lösen durch Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt
• Logarithmusgleichung lösen durch Substitution
• Tipps zum Umformen von Logarithmen
• Wichtige Fakten zum Auswendiglernen

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Was sind Logarithmen?

Hast du auch keine Ahnung, was Logarithmen überhaupt sind und was Ausdrücke wie log3^9=2 bedeuten? In diesem Video gebe ich dir eine kurze und einfache Erklärung!

Lösungsbeschreibung

In diesem Video erkläre ich dir, was Logarithmen sind. Die Schreibweise finden die meisten nämlich ziemlich verwirrend. Nehmen wir den Ausdruck log 100 gleich 2. Das bedeutet 100 ist 10 hoch 2. Das kannst du kurz nachrechnen.

10 zum Quadrat ist ja 10 mal 10 und das ist 100. Bei Gleichungen steht an dieser Stelle ein X und du sollst herausfinden, was X sein muss. Wie im Beispiel zuvor können wir schreiben, X ist 10 hoch 3. Und 10 hoch 3 kannst du ausrechnen.

Das ist eine 1 mit drei Nullen, also 1000. X ist also 1000. Somit ist log 1000 gleich 3. Und das bedeutet 1000 ist 10 hoch 3. Wenn die Basis eine andere Zahl als 10 sein soll, musst du sie hier unten hinschreiben.

Dieser Ausdruck liest sich log X zur Basis 3 ist 2. Das bedeutet X ist 3 hoch 2. Das kannst du ausrechnen. 13 Quadrat ist 9. Nun kannst du für X 9 einsetzen. Log 9 zur Basis 3 ist 2. Das bedeutet einfach 9 ist 3 hoch 2. Ist die Basis 10, wie hier, kann man das O in LOG auch weglassen und nur LG schreiben.

In der Oberstufe und im Abitur ist eigentlich nur der Logarhythmus zur Basis E wichtig. Für diesen gibt es eine eigene Schreibweise, nämlich lnx.

Was sind Logarithmusgleichungen?

In Logarithmusgleichungen kommen Logarithmen wie logx oder lnx vor. In diesem Video zeige ich dir 7 Beispiele für Logarithmusgleichungen.

Lösungsbeschreibung

Hier siehst du einige Beispiele für Logarithmusgleichungen. In Logarithmusgleichungen kommen Logarithmen vor. In der Oberstufe und im Abitur ist eigentlich nur noch der natürliche Logarithmus ln relevant, weshalb ich mich in diesem Tutorial darauf konzentrieren werde.

Das Argument ist meist x, kann aber auch ein anderer Ausdruck, wie zum Beispiel x plus 2 oder x² sein. Wenn keine Missverständnisse zu befürchten sind, kann man die Klammer auch weglassen.

Wie löse ich eine Logarithmusgleichung?

Bei Logarithmusgleichungen gibt es 4 Typen, die du kennen musst. Für jeden Typ gibt es den passenden Lösungsansatz. In diesem Video stelle ich dir die 4 Typen und die passenden Lösungsansätze vor. In den folgenden Abschnitten rechne ich dir die Beispiele vor.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir die vier wichtigsten Typen von Logarithmusgleichungen und wie du sie löst. Die Beispiele rechne ich dir in den folgenden Videos ausführlich vor. Kommt nur ein Logarithmus vor oder einmal auf beiden Seiten der Gleichung, kannst du die Gleichung einfach exponieren.

Wie das geht, zeige ich dir im nächsten Video. Es ist wirklich ganz einfach. Bevor du die zweite Gleichung exponierst, musst du allerdings die Zweiter wegbekommen.

Mit diesem Trick kannst du sie in die Klammer ziehen, wo sie nicht mehr stört. Auch die dritte Gleichung gehört zu Typ 1, was man aber nicht sofort erkennt. Diesmal wendest du den Trick umgekehrt an und ziehst die 2 vor den Logarithmus.

Dann kannst du die linke Seite der Gleichung zusammenfassen und erhältst eine ähnliche Gleichung wie diese, die du durch Exponieren löst. Bei Typ 2 ist eine Seite der Gleichung Null und die andere Seite ist ein Produkt. Hier besteht das Produkt aus den Faktoren lnx und x-3.

Solche Gleichungen löst du mit dem Satz vom Nullprodukt. Bei Typ 3 ist eine Seite der Gleichung Null und auf der anderen Seite kommen überall die gleichen Logarithmen vor. Klammere als erstes den Logarithmus aus.

Dadurch erhältst du diese Gleichung vom Typ 2. Anschließend löst du diese Gleichung wie zuvor mit dem Satz vom Nullprodukt. Bei Typ 4 ist eine Seite der Gleichung Null und auf der anderen Seite steht eine einfache Zahl, ein Logarithmus und nochmal der gleiche Logarithmus zum Quadrat. Solche Gleichungen löst du durch Substitution.

Statt x kann hier auch ein anderer Ausdruck mit x stehen, zum Beispiel 2x oder x². Bei Typ 3 und Typ 4 muss es aber jedes Mal der gleiche Ausdruck sein. Wenn hier zum Beispiel x² und hier 2x stehen würde, könntest du gar nichts ausklammern.

Übrigens kann es sein, dass du deine Gleichung zunächst vereinfachen oder umformen musst, damit du den Typ erkennst. In einem weiteren Video gebe ich dir dazu ein paar nützliche Tipps. Außerdem musst du zum Schluss immer überprüfen, ob die Gleichung überhaupt für deine gefundenen Lösungen definiert ist.

Mehr dazu im folgenden Video.

Logarithmusgleichung lösen durch Exponieren

Um die Logarithmen zu beseitigen, exponierst du die Gleichung. Klingt kompliziert - ist aber ganz einfach! In diesem Video rechne ich dir 3 Beispiele vor und zeige dir einen Trick zum Umformen von Logarithmen, den du dabei oft brauchen wirst. Der Definitionsbereich gibt an, welche Zahlen man für x einsetzen darf. Beachte, dass Logarithmen nicht für alle x definiert sind und du die berechneten Lösungen zum Schluss immer überprüfen musst! Lösungen, die nicht im Definitionsbereich liegen, entfallen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir an drei Beispielen, wie du eine Logarithmusgleichung durch Exponieren löst. Kommt nur ein Logarithmus vor oder einmal auf beiden Seiten der Gleichung, kannst du die Gleichung einfach exponieren. Hier musst du zuvor nur die 2 da wegbekommen, was mit einem kleinen Trick aber ganz einfach geht.

Auch die dritte Gleichung gehört zu Typ 1, was man allerdings nicht sofort erkennt. Diesmal wendest du den Trick umgekehrt an und ziehst die 2 vor den Logarithmus. Dann kannst du die linke Seite der Gleichung zusammenfassen und erhältst eine ähnliche Gleichung, wie diese, die du anschließend durch Exponieren löst.

Jetzt rechne ich dir die drei Beispiele ausführlich vor. Kommen wir zu Beispiel 1. Hier brauchst du wirklich nichts weiter zu tun, als die Gleichung zu exponieren. Das Exponieren hebt den Logarithmus auf, sodass auf der linken Seite nur noch 2x steht.

Auf der rechten Seite schreibst du nun statt 1 e hoch 1. Das ist mit Exponieren gemeint. e hoch 1 ist das gleiche wie e. Nun teilst du noch durch 2. Die Lösung ist somit e halbe. Das sind rund 1,36.

Zum Schluss musst du überprüfen, ob die Gleichung überhaupt für diese Lösung definiert ist. Das, was in der Klammer steht, muss nämlich immer größer als 0 sein. e halbe ist größer als 0. Somit ist 2 mal e halbe erst recht größer als 0. Damit ist e halbe die Lösung der Gleichung.

Beim zweiten Beispiel kommen zwei Logarithmen vor. Wichtig ist, dass diese auf getrennten Seiten der Gleichung stehen. Forme deine Gleichung gegebenenfalls entsprechend um.

Bevor du die Gleichung exponierst, beseitige noch die 2 vor dem Logarithmus. Das geht mit dieser Umformung. Einen Faktor vorm Logarithmus darfst du als Hochzahl in die Klammer schreiben.

Damit wird aus x, x². Nun exponierst du die Gleichung. Das Exponieren hebt die Logarithmen auf.

Links bleibt x² übrig. Und rechts x plus 2. Bringe nun alles auf eine Seite, indem du minus x minus 2 rechnest. Du kannst also das x und die 2 gleichzeitig rüberbringen.

Das ist eine quadratische Gleichung, die du mit der PQ-Formel bzw. der ABC-Formel oder Mitternachtsformel löst. Wie das geht, zeige ich dir natürlich Schritt für Schritt auf Video.

Die Videos sind verlinkt. Jetzt schreibe ich nur die Lösungen hin. Diese sind 2 und minus 1. Zum Schluss musst du noch überprüfen, ob die Gleichung überhaupt für diese Lösungen definiert ist.

Das, was in den Klammern steht, muss jeweils größer als 0 sein, wenn du für x die Lösungen einsetzt. Setzen wir die erste Lösung ein. 2 ist größer als 0. Und 2 plus 2 ist 4. Das ist auch größer als 0. Somit ist 2 eine Lösung der Gleichung.

Nun setzt du für x die zweite Lösung ein. Der Logarithmus von minus 1 ist nicht definiert, da minus 1 kleiner als 0 ist. Somit entfällt die zweite Lösung.

Oft sind Gleichungen vom Typ 1 nicht auf den ersten Blick zu erkennen, wie im dritten Beispiel. Auch diese Gleichung lässt sich durch Exponieren lösen, nachdem du sie etwas umgeformt hast. Du könntest zwar auch sofort exponieren, doch dann müsstest du dich gut mit den Potenzgesetzen auskennen, um fortzufahren.

Auch nützt es hier nicht, die Logarithmen auf getrennte Seiten zu bringen, wie in Beispiel 2, da dann noch die 6 stören würde. Der einfachste und schnellste Weg ist, die Gleichung wie folgt umzuformen. Als erstes benutzt du die Umformung aus Beispiel 2, aber diesmal umgekehrt.

Diesmal ziehst du die Hochzahl vor den Logarithmus. Und nun kannst du die linke Seite zusammenfassen. Stell dir einfach vor, statt lnx würde hier Euro stehen.

2 Euro plus 1 Euro macht 3 Euro. Also sind das 3 lnx. Bevor du exponierst, teile noch durch 3, damit der Logarithmus allein auf einer Seite steht.

Nun exponierst du die Gleichung. Das Exponieren hebt den Logarithmus auf. Links bleibt x übrig.

Und rechts schreibst du statt 2 e². e ist rund 2,72, was du dir merken solltest. e² ist rund 7,39.

Zum Schluss musst du noch überprüfen, ob die Ausgangsgleichung überhaupt für diese Lösung definiert ist. Das, was in den Klammern steht, muss größer als 0 sein, wenn du für x die Lösung einsetzt. e² ist größer als 0 und wenn du eine positive Zahl quadrierst, ist das Ergebnis natürlich auch positiv.

Somit ist e² die Lösung dieser Gleichung. Untertitel der Amara.org-Community

Logarithmusgleichung lösen mit dem Satz vom Nullprodukt

Den Satz vom Nullprodukt wendest du an, wenn eine Seite der Gleichung Null und die andere Seite ein Produkt ist. Was du genau machen musst, zeige ich dir in diesem Video. Der Satz vom Nullprodukt besagt übrigens: Ein Produkt ist Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Logarithmusgleichung mit dem Satz vom Nullprodukt löst. Den Satz vom Nullprodukt wendest du an, wenn eine Seite der Gleichung Null und die andere Seite ein Produkt ist. Ein Produkt erkennst du leicht an einem Malpunkt, oft kann der Malpunkt jedoch auch weggelassen werden.

Das Produkt besteht aus den Faktoren lnx und x-3. Der Satz vom Nullprodukt besagt, ein Produkt ist Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist. Wann die Faktoren Null werden, findest du heraus, indem du sie Null setzt.

Setze also den ersten Faktor Null. Dazu schreibst du den Faktor ab und ist gleich Null dahinter. Exponiere nun die Gleichung.

Das Exponieren hebt den Logarithmus auf, sodass auf der linken Seite nur x übrig bleibt. Auf der rechten Seite schreibst du statt Null e hoch Null. Das ist 1, wie du auswendig wissen solltest.

Und schon hast du die erste Lösung. Nun setzt du den zweiten Faktor Null. Das ergibt die Gleichung x-3 gleich Null.

Die Klammern kannst du weglassen. Rechne plus 3 und du erhältst die Lösung x2 ist gleich 3. Zum Schluss musst du noch überprüfen, ob die Ausgangsgleichung überhaupt für diese Lösungen definiert ist. Das, was beim Logarithmus in der Klammer steht, muss immer größer als Null sein.

Diese Bedingung ist erfüllt, wenn du für x die Lösungen 1 und 3 einsetzt. Damit bist du fertig. In diesem Beispiel war nur der erste Faktor ein Logarithmus.

Es können aber auch beide Faktoren Logarithmen sein. Außerdem könnte es auch mehr als zwei Faktoren geben. Solche Gleichungen löst du immer mit dem Satz vom Nullprodukt.

Logarithmusgleichung lösen durch Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt

Oft kannst du den Satz vom Nullprodukt nicht sofort anwenden, sondern musst vorher geschickt ausklammern. In diesem Video zeige ich dir ein Beispiel dafür.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Logarithmusgleichung durch Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt löst. Dazu nehmen wir dieses Beispiel. Hier macht es wenig Sinn, das x in das Argument des Logarithmus zu ziehen, da du mit x hoch x sehr schwer weiterrechnen kannst.

Bringe stattdessen erstmal alles auf eine Seite. Dazu rechnest du –3lnx. Nun ist eine Seite der Gleichung Null und auf der anderen Seite kommen überall die gleichen Logarithmen vor.

Nun kannst du lnx ausklammern. Und was muss dann in der Klammer stehen? Vorne bleibt das x übrig, dann kommt das Minuszeichen und hinten bleibt die 3 übrig. Nun ist eine Seite der Gleichung Null und die andere Seite ist ein Produkt.

Zwischen lnx und der Klammer kannst du dir einen Malpunkt denken. Solche Gleichungen löst man mit dem Satz vom Nullprodukt. Dieser besagt, ein Produkt ist Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist.

Setze die Faktoren deshalb nacheinander Null. Was jetzt kommt, ist übrigens die gleiche Rechnung wie im letzten Video. Setzt du den ersten Faktor Null, erhältst du die Gleichung lnx gleich Null.

Exponiere die Gleichung. Das Exponieren hebt den Logarithmus auf, sodass auf der linken Seite nur x übrig bleibt. Auf der rechten Seite schreibst du statt 0 e hoch 0. Das ist 1, wie du auswendig wissen solltest.

Und schon hast du die erste Lösung x1. Nun setzt du den zweiten Faktor Null. Das ergibt die Gleichung x-3 gleich 0. Die Klammern kannst du weglassen.

Rechne plus 3 und du erhältst die Lösung x2 ist gleich 3. Zum Schluss musst du noch überprüfen, ob die Ausgangsgleichung überhaupt für diese Lösungen definiert ist. Das, was bei den Logarithmen in der Klammer steht, muss immer größer als 0 sein. Diese Bedingung ist erfüllt, wenn du für x die Lösungen 1 und 3 einsetzt.

Damit bist du fertig. Übrigens muss das Argument des Logarithmus nicht einfach x sein. Hier hätte auch x² oder 2x-1 stehen können.

Entscheidend ist nur, dass dann hier der gleiche Ausdruck steht, damit du den Logarithmus ausklammern kannst.

Logarithmusgleichung lösen durch Substitution

Bestimmte Logarithmusgleichungen lassen sich nur durch eine geschickte Substitution lösen. Durch die Substitution wird aus der Gleichung eine quadratische Gleichung, die du mit der pq-Formel oder der abc-Formel / Mitternachtsformel lösen kannst. Um die Lösungen der Ausgangsgleichung zu bestimmen, musst du die Substitution zum Schluss allerdings wieder rückgängig machen (Rücksubstitution). In diesem Video zeige ich dir, wie du das alles schaffst!

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Logarithmusgleichung durch Substitution löst. Dazu nehmen wir dieses Beispiel. Hier habe ich die Klammern um das x weggelassen, damit die Gleichung besser lesbar ist.

Die Klammern kannst du immer weglassen, wenn keine Missverständnisse zu befürchten sind. Ist eine Seite der Gleichung 0 und auf der anderen Seite stehen eine einfache Zahl, ein Logarithmus und nochmal der gleiche Logarithmus zum Quadrat, machst du eine Substitution. Substituieren bedeutet ersetzen.

Und zwar ersetzt du lnx durch z. Statt z kannst du auch einen anderen Buchstaben nehmen, wie u. Aus lnx wird dadurch z und aus lnx zum Quadrat wird z². Die Klammer kannst du dann weglassen. Der Rest bleibt gleich.

Nun hast du eine quadratische Gleichung, die du mit der pq-Formel oder der abc-Formel bzw. Mitternachtsformel lösen kannst. Wie das geht, zeige ich dir in den Videos zur pq- und zur abc-Formel.

Der einzige Unterschied ist, dass du jedes Mal z statt x schreiben musst. Hast du das gemacht, erhältst du die beiden Lösungen 1 und –4. Die Lösungen heißen z1 und z2.

In unserer Ausgangsgleichung kommt aber überhaupt kein z vor, sondern x. Die Lösungen müssen deshalb auch x1, x2 usw. heißen. Deshalb musst du die Substitution nun wieder rückgängig machen.

Als erstes wandelst du die Lösung z1 in x um. Dazu schreibst du lnx gleich z1. Hier schreibst du also den Ausdruck hin, den du am Anfang durch z ersetzt hast.

z1 ist 1. Nun exponierst du. Das Exponieren hebt den Logarithmus auf, sodass links x übrig bleibt. Auf der rechten Seite schreibst du statt 1 e hoch 1. Das ist das gleiche wie e. e ist rund 2,72.

Nun wandelst du noch z2 in x um. Dazu schreibst du lnx gleich z2. z2 ist –4.

Nun exponierst du wieder. Das Exponieren hebt den Logarithmus auf, sodass links x übrig bleibt. Auf der rechten Seite schreibst du statt –4 e hoch –4.

Das sind rund 0,02. Merke dir, dass e hoch irgendwas immer größer als 0 ist, selbst wenn hier oben eine negative Zahl steht. Zum Schluss musst du wieder prüfen, ob die Ausgangsgleichung für die gefundenen Lösungen definiert ist.

Beide Lösungen sind positiv. Das Argument x des Logarithmus muss immer positiv sein, also größer als 0. Das ist erfüllt, wenn du für x die gefundenen Lösungen einsetzt. Übrigens muss das Argument des Logarithmus nicht einfach x sein.

Hier hätte auch x² oder 2x–1 stehen können. Voraussetzung ist nur, dass dann hier das Gleiche steht. Entsprechend würde sich dann dieser Ausdruck ändern, der auch bei der Rücksubstitution nochmal auftaucht.

Tipps zum Umformen von Logarithmen

Manchmal musst du eine Gleichung erst umformen, damit du sie lösen kannst. In diesem Video gebe ich dir ein paar Tipps und Beispiele dafür. Diese Tipps sind eigentlich die 3 Logarithmengesetze, aber Tipps klingt einfach besser!

Lösungsbeschreibung

Manchmal musst du eine Gleichung erst umformen, damit du sie lösen kannst. In diesem Video gebe ich dir ein paar Tipps dafür. Diese Tipps sind eigentlich die 3-Logarithmen-Gesetze, aber Tipps klingt einfach besser.

Mit Argument bezeichnet man das, was in der Klammer steht. Ist das Argument eine Potenz wie a hoch r, dann kannst du das r als Faktor vor den Logarithmus ziehen. Zum Beispiel ist ln von x² das gleiche wie 2·ln von x. Umgekehrt funktioniert das natürlich auch.

Einen Faktor vor dem Logarithmus kannst du als Hochzahl in die Klammer ziehen. Steht in der Klammer ein Produkt wie a·b, kannst du dafür ln von a plus ln von b schreiben. Zum Beispiel ist ln von 2x das gleiche wie ln von 2 plus ln von x. Steht in der Klammer ein Quotient wie a·b, kannst du dafür ln von a minus ln von b schreiben.

Zum Beispiel ist ln von 1·x das gleiche wie ln von 1 minus ln von x. Das kannst du sogar noch weiter vereinfachen. ln von 1 ist nämlich 0, was du auswendig wissen solltest. Die 0 kann man auch weglassen.

Minus ln von x ist somit das gleiche wie ln von 1·x. Bei Anwendung dieser Gesetze ändert sich allerdings manchmal der Definitionsbereich. Das Argument muss ja immer größer als 0 sein.

Hier darfst du für x somit alles außer 0 einsetzen, also auch negative Zahlen, da das Quadrat davon ja immer positiv ist. Aber hier darfst du nur positive Zahlen einsetzen. Der Definitionsbereich hat sich also geändert.

Behalte diesen Hinweis im Hinterkopf.

Wichtige Fakten zum Auswendiglernen

In diesem Video lernst du, was du über die ln-Funktion wissen musst und was sie mit der e-Funktion zu tun hat.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, was du dir zu Ln-Funktionen merken musst. Ln steht für den natürlichen Logarithmus. Die Ln-Funktion und die e-Funktion sind zueinander Umkehrfunktionen.

Das bedeutet, du erhältst den Graph der Ln-Funktion, indem du den Graph der e-Funktion an der grünen Linie spiegelst und umgekehrt. Das Besondere bei Umkehrfunktionen ist, dass sie sich gegenseitig aufheben. Ln von e hoch x ist einfach x. Und auch andersrum.

e hoch lnx ist einfach x. Somit ist Ln von e gleich 1. Die natürliche Logarithmusfunktion ist nur für positive x definiert. Du darfst für x keine negativen Zahlen oder 0 einsetzen. Das ist der Grund, warum du deine Lösungen zum Schluss nochmal überprüfen solltest.

Der Graph der Ln-Funktion verläuft somit nur über den positiven Teil der x-Achse. Außerdem hat der Graph eine Nullstelle bei 1. Das bedeutet, Ln von 1 ist 0. Bis zum nächsten Mal.