Beschränktes Wachstum
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Einführung in beschränktes Wachstum
Das Wachstum einer Population wird unter anderem durch das vorhandene Nahrungsangebot beschränkt. Die Population kann somit nicht größer werden als eine bestimmte Schranke (auch Sättigungsgrenze genannt). Hier erfährst du, wie beschränktes und exponentielles Wachstum zusammenhängen. Daraus ergibt sich die Folge bzw. die Funktion, mit der sich das beschränkte Wachstum beschreiben lässt.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video lernst du, was beschränktes Wachstum bedeutet und wie man die Formel dafür herleitet. Beschränktes Wachstum liegt vor, wenn ein Bestand wächst, aber nicht größer werden kann als eine bestimmte Schranke. In diesem Beispiel beträgt der Bestand zu Anfang 400.
Das können zum Beispiel Tiere oder Pflanzen sein. Der Bestand wächst, doch der Prozess verlangsamt sich und kommt zum Erliegen. In dieser Tabelle siehst du den Bestand zu Anfang und an den darauf folgenden fünf Tagen.
Am Anfang wächst der Bestand stark. Doch hier ändern sich die Werte im Vergleich dazu kaum noch. Als Schranke kannst du deshalb 1000 annehmen.
Das ist auch am Diagramm gut zu erkennen. Oft ist die Schranke auch in der Aufgabenstellung gegeben. Statt Schranke sagt man auch Sättigungsgrenze.
Nun rechnest du für jeden Tag aus, wie viel noch bis zur Schranke fehlt. Dieser Wert wird als Manko oder auch Sättigungsmanko bezeichnet. Von 400 bis 1000 fehlen noch 600.
Von 700 bis 1000 fehlen noch 300 und so weiter. Lenden wir mal den Bestand aus und konzentrieren uns auf das Manko. 300 ist die Hälfte von 600.
150 ist die Hälfte von 300. Das bedeutet, mit jedem Tag halbiert sich das Manko. Oder anders ausgedrückt, das alte Manko mal 0,5 ergibt das neue Manko.
Der Faktor muss nicht immer glatt 0,5 sein. Hier ist der Faktor zum Beispiel 0,49 und hier 0,51. Im Mittel ist er aber 0,5.
Hier siehst du die Abnahme des Mankos grafisch dargestellt. Am Anfang beträgt das Manko 600. Mit jedem Tag halbiert es sich.
Das heißt, jeder neue Balken ist halb so groß wie der Balken davor. Wenn hier immer der gleiche Faktor steht, muss es bei dir klick machen. Das ist dann nämlich exponentielles Wachstum.
Da die Werte kleiner werden, ist die Bezeichnung exponentieller Abnahme oder exponentieller Zerfall noch treffender. Und wie man das formelmäßig beschreibt, hast du schon gelernt. Hier kommt der Faktor hin.
Der wird hoch N genommen. Und hier vorn schreibst du den Anfangswert 600 hin. Das Manko lässt sich für jeden Tag N mit dieser Formel berechnen.
Jetzt stellen wir die Balken auf den Kopf und setzen sie auf die roten Balken obendrauf. Am Anfang beträgt der Bestand zum Beispiel 400. Das heißt, der erste rote Balken geht bis 400.
Das Manko beträgt 600. Wenn du das obendrauf setzt, geht der Balken insgesamt bis 1.000. Denn 400 plus 600 macht 1.000. Da das Manko ja jeweils die Lücke bis 1.000 auffüllt, geht nun jeder Balken bis 1.000. Dieser rote Balken ist dann 1.000 minus den dunklen Balken. Hier genauso.
Wenn du von 1.000 den dunklen Balken abziehst, bleibt dieser rote Balken übrig. Das gilt für jeden Tag, also für jedes N. Das bedeutet, der Bestand B von N ist 1.000 minus das Manko M von N. Und das haben wir ja gerade mit dieser Formel ausgedrückt. Das kannst du also hier einsetzen.
Somit ist B von N 1.000 minus 600 mal 0,5 hoch N. Das Ganze kannst du auch mit der Basis E schreiben. Dann musst du den ln von 0,5 berechnen und das Ergebnis hier hinschreiben. Dahinter kommt dann das N. Der Rest bleibt gleich.
Hier siehst du noch mal das Wachstumsgesetz aus unserem Beispiel mit und ohne Basis E. In Formelsammlungen werden dafür meist folgende Variablen verwendet. Der Wachstumsfaktor 0,5 wird mit a bezeichnet. Und diese Zahl mit k. Der natürliche Logarithmus von a ergibt also minus k. 600 war ja das Manko vom Anfangsbestand bis zur Schranke 1.000. Diese Zahl wird meist mit c bezeichnet.
Und 1.000 ist die Schranke S. Für N dürfen nur 0 und natürliche Zahlen wie 1, 2, 3 usw. eingesetzt werden. Du kannst den Bestand also nur nach vollen Tagen berechnen.
Deshalb wird diese Darstellung als diskret bezeichnet. Der Bestand wächst aber in Wirklichkeit nicht sprunghaft an, sondern kontinuierlich über den ganzen Tag. Deshalb macht es Sinn, das Wachstum durch eine Funktion zu modellieren.
Diese Darstellung wird als kontinuierlich bezeichnet. Statt b schreibst du f und statt n schreibst du x. Der Rest bleibt gleich. Für x darfst du jetzt auch Brüche einsetzen, um zum Beispiel den Bestand nach dreieinhalb Tagen zu berechnen.
Zur Veranschaulichung dient nun der Graph der Funktion f. Das ist nochmal die zugehörige Funktionsgleichung ohne und mit Basis e. Die Tage werden jetzt mit x bezeichnet und der Bestand mit f von x. Der Anfangsbestand war 400. Das bedeutet, f von 0 ist gleich 400. Das liest du hier ab.
Entsprechend ist f von 1 gleich 700. Das siehst du hier. Der Graph nähert sich der Schranke 1000.
Diese Gerade ist eine waagerechte Asymptote. Neben beschränktem Wachstum gibt es auch beschränktem Zerfall. Dabei nimmt ein Bestand ab, aber er wird nicht kleiner als eine bestimmte Schranke.
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Beschränktes Wachstum nachweisen
Zeigt eine Tabelle das Wachstum eines Bestandes, kannst du wie folgt nachweisen, dass beschränktes Wachstum vorliegt:
Lösungsbeschreibung
In diesem Video zeige ich dir, wie du beschränktes Wachstum nachweist. Als Beispiel nehmen wir diese Aufgabe. Weise nach, dass für den Bestand beschränktes Wachstum mit der Schranke s gleich 1000 vorliegt.
Dazu bildest du jeweils diesen Quotienten. Wenn dabei immer der gleiche Wert rauskommt, handelt es sich um beschränktes Wachstum. Du beginnst bei n gleich 1. Der Bestand nach einem Jahr ist 705.
Der Bestand davor ist 400. Die Schranke s ist 1000. Und hier setzt du wieder diesen Bestand ein.
Wenn du das in den Taschenrechner eingibst, kommt rund 0,51 raus. Nun machst du das gleiche für die nächste Zeile. Der aktuelle Bestand ist jetzt 849.
Der Bestand im Jahr davor war 705. Die Schranke s ist immer gleich, nämlich 1000. Und hier kommt nochmal der Bestand vom Vorjahr hin.
Das ergibt rund 0,49. Auf die gleiche Weise füllst du die übrigen Felder aus. Offensichtlich kommt jedes Mal etwa der gleiche Wert raus.
Das bedeutet, dass beschränktes Wachstum vorliegt. Schauen wir uns das nochmal genauer an. Dieser Quotient ergibt im Mittel 0,5.
Wenn du jetzt mit dem Nenner multiplizierst, steht das da. Die linke Seite ist die Änderung des Bestandes vom jeweiligen Jahr zum Vorjahr. Diese Differenz gibt an, wie viel noch fehlt vom Vorjahreswert bis zur Schranke 1000.
Das wird als Sättigungsmanko bezeichnet. Der Faktor 0,5 bedeutet, dass die absolute Änderung des Bestandes immer 0,5 Mal so groß ist wie das Sättigungsmanko, also halb so groß. Somit sind Sättigungsmanko und absolute Änderung proportional.
Genau das ist das Kriterium für beschränktes Wachstum. Formuliere einen Antwortsatz, wie zum Beispiel, da B von N minus B von N minus 1 proportional zu 1000 minus B von N minus 1 ist, liegt beschränktes Wachstum mit der Schranke S gleich 1000 vor. Hier siehst du anschaulich, was Proportionalität bedeutet.
Der blaue Balken ist immer die absolute Änderung des Bestandes und der rote Balken ist immer das Sättigungsmanko. Jedes Jahr ist der blaue Balken etwa halb so hoch wie der rote, weil sie zueinander proportional sind.
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Wachstumsfunktion bestimmen
Eine Funktion, die das Wachstum beschreibt, heißt Wachstumsfunktion oder auch Wachstumsgesetz. Jetzt lernst du, solch eine Wachstumsfunktion aus den gegebenen Daten zu ermitteln.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video lernst du, beschränktes Wachstum mit einer Funktion zu beschreiben. Dazu lösen wir diese Aufgabe. In einer Petrischale, Fläche 20 cm², wird eine Bakterienkultur gezüchtet, die anfangs 2 cm² überdeckt.
Nach einem Tag sind es bereits 7 cm². Bestimme eine Funktion, die das Wachstum beschreibt, wenn man von beschränktem Wachstum ausgeht. Das Wachstum wird durch die Größe der Petrischale beschränkt.
Die Schranke ist somit 20 cm². Die Wachstumsfunktion hat die Form f von x ist gleich s minus c mal e hoch minus kx. Dabei steht x für den Tag und f von x für die Fläche, die an diesem Tag von Bakterien überdeckt wird.
s kennst du schon. s ist 20. Um c zu bestimmen, bildest du immer f von 0. Du setzt also hier und hier für x 0 ein.
f von 0 ist der Anfangsbestand. Anfangs bedecken die Bakterien 2 cm². Die Schranke s ist wie gesagt 20.
0 mal irgendwas ist immer 0. Und e hoch 0 ist 1. c mal 1 ist c. Nun löst du einfach nach c auf. Bringe zum Beispiel c auf die andere Seite und bringe nun die 2 rüber, damit c allein steht. 20 minus 2 ist 18.
Nun fehlt dir nur noch k. Es muss also noch eine weitere Angabe in der Aufgabe stehen, die du nutzen kannst. Nach einem Tag werden 7 cm² bedeckt. Das bedeutet f von 1 ist 7. Bilde also nun f von 1. Dazu setzt du in den Ansatz hier und hier für x 1 ein.
Außerdem weißt du inzwischen, dass die Schranke 20 ist und c 18. f von 1 ist 7. Minus k mal 1 ist minus k. Nach diesem k löst du nun auf. Bringe zum Beispiel 18 e hoch minus k rüber auf die andere Seite und bringe nun die 7 auf die andere Seite.
20 minus 7 ist 13. Teile nun durch 18. Jetzt logarithmierst du.
Der natürliche Logarithmus ln und die e-Funktion heben sich gegenseitig auf, sodass links minus k übrig bleibt. Rechts bildest du den ln von diesem Bruch. Das ist rund minus 0,3254.
In der Formel brauchen wir sowieso minus k, deshalb ist es nicht nötig, noch das Minus wegzubekommen. Nun setzt du alles in die allgemeine Funktion ein. s ist 20.
c ist 18. Und minus k ist minus 0,3254. Diese Funktion beschreibt das beschränkte Wachstum der Bakterien.
Hier siehst du zum Vergleich den Graph der Funktion. Auf dieser Achse werden die Tage abgetragen. Und hier die bedeckte Fläche in Quadratzentimetern.
Am Anfang werden 2 cm² bedeckt. Das Wachstum ist auf 20 cm² beschränkt. Nach 9 Tagen ist fast die komplette Fläche bedeckt.
Die gleiche Aufgabe könnte auch in dieser abgewandelten Form gestellt werden. Die Tabelle zeigt den zeitlichen Verlauf der Ausbreitung einer Bakterienkultur. Bestimme eine Funktion, die das Wachstum beschreibt, wenn man von beschränktem Wachstum ausgeht.
Die Schranke lässt sich leicht bestimmen. Nach 10 Tagen sind 19,3 cm² bedeckt. Nach der doppelten Zeit sind es gerade einmal 19,97 cm² und nach weiteren 10 Tagen 19,999 cm².
Offenbar ist die Schranke 20 cm². Der Anfangsbestand ist 2 cm² und nach einem Tag sind es bereits 7 cm². Das waren alle Angaben, die du zuvor im Text gegeben hattest.
Diese Angaben reichen also schon, um die Wachstumsfunktion zu bestimmen. S hast du schon und C und K bestimmst du genauso wie vorher.
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