Exponentielles Wachstum

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• Einführung in exponentielles Wachstum
• Rekursive Darstellung
• Explizite Darstellung
• Kontinuierliche Darstellung
• Exponentielles Wachstum nachweisen
• Exponentiellen Zerfall nachweisen
• Wachstumsfunktion bestimmen / exponentielles Wachstum
• Zerfallsfunktion bei exponentiellem Zerfall bestimmen
• Wachstumsfunktion aus 2 Datenpunkten bestimmen (Textaufgaben)
• Wachstumsfunktion bei prozentualer Zu- oder Abnahme bestimmen
• Verdoppelungszeit berechnen
• Halbwertszeit berechnen
• Zeit umrechnen in der Wachstumsfunktion

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Einführung in exponentielles Wachstum

Hier zeige ich dir anschaulich, was exponentielles Wachstum bedeutet und wie du es mit einer Folge bzw. einer Funktion beschreiben kannst. Exponentielles Wachstum lässt sich mit Folgen und mit Funktionen beschreiben. Die Darstellung mit einer Folge wird als diskret bezeichnet. Die Darstellung mit einer Funktion heißt kontinuierlich. Bei Folgen sind nur "ganze" Zeitschritte möglich. Der Bestand einer Population kann z.B. nur nach einem Jahr, nach 2 Jahren usw. angegeben werden. Stellt man das Wachstum jedoch mit einer Funktion dar, kann der Bestand z.B. auch nach einem halben Jahr berechnet werden. Eine Folge kann rekursiv oder explizit angegeben werden.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, was exponentielles Wachstum bedeutet. Als Beispiel schauen wir uns dieses Wachstum eines Bestandes an. Damit können z.B. Tiere, Pflanzen, erkrankte Personen usw.

gemeint sein. Der Anfang des Beobachtungszeitraums wird immer mit 0 bezeichnet. An diesem Tag sind also 100 Exemplare vorhanden.

Am nächsten Tag, also an Tag 1, sind es bereits 200, also zweimal so viele. Einen Tag später hat sich der Bestand erneut verdoppelt und beträgt jetzt 400. Und am dritten Tag sind es 800.

Steht hier immer der gleiche Faktor und ist dieser größer als 1, handelt es sich um exponentielles Wachstum. Die 2 wird Wachstumsfaktor genannt. Bei exponentiellem Zerfall wäre der Faktor zwischen 0 und 1. Mit einem Balkendiagramm lässt sich das Wachstum schön veranschaulichen.

Der Anfangsbestand ist 100. Am ersten Tag ist der Bestand 200, am zweiten Tag 400 usw. Jeder neue Balken ist doppelt so hoch wie der davor, weil der neue Bestand immer zweimal so groß ist wie der alte.

Exponentielles Wachstum lässt sich auch durch eine Funktion darstellen. Die Tage werden dann mit x bezeichnet und der Bestand mit f von x. Hier kommt der Anfangsbestand 100 hin, hier der Wachstumsfaktor 2 und hier das x. So sieht der Graph dieser Funktion aus. Der Anfangsbestand ist 100, an Tag 1 ist der Bestand 200, an Tag 2 400 und an Tag 3 800.

Diese Funktion kannst du auch mit der Basis e aufschreiben. Dazu berechnest du den natürlichen Logarithmus von 2 und schreibst diese Zahl vor das x.

Rekursive Darstellung

Eine Folge kann rekursiv oder explizit angegeben werden.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, exponentielles Wachstum rekursiv zu beschreiben. Als Beispiel schauen wir uns dieses Wachstum eines Bestandes an. Diese Tabelle kennst du schon aus dem letzten Video.

Der Anfang des Beobachtungszeitraums wird immer mit 0 bezeichnet. An diesem Tag sind also 100 Exemplare vorhanden. Das können zum Beispiel Tiere, Pflanzen oder erkrankte Personen sein.

Am nächsten Tag, also an Tag 1, sind es bereits 200. Also doppelt so viele. Einen Tag später hat sich der Bestand erneut verdoppelt und beträgt jetzt 400.

Und am dritten Tag sind es 800. Wie groß wird der Bestand wohl am vierten Tag sein? Weißt du es? Na klar, das Doppelte von 800, nämlich 1600. Das liegt daran, dass der Wachstumsfaktor immer 2 ist.

Wenn du den aktuellen Bestand kennst, kannst du damit sofort den Bestand des Folgetages ausrechnen bzw. vorhersagen. Formelmäßig schreibt man das so auf.

Der Bestand zum Zeitpunkt n ist zweimal der Bestand zum Zeitpunkt n-1. Der Bestand an Tag 4 ist demnach zweimal der Bestand an Tag 3, also zweimal 800. Und das ergibt 1600.

Die 2 ist der sogenannte Wachstumsfaktor, der allgemein mit a bezeichnet wird. Diese Darstellung nennt man rekursiv. Die Entwicklung des Bestandes lässt sich damit nur schrittweise berechnen.

Du kannst zum Beispiel nicht sofort sagen, wie groß der Bestand an Tag 10 sein wird. Denn dazu müsstest du den Bestand an Tag 9 kennen, kennst du aber nicht. Das bedeutet, du müsstest dich Schritt für Schritt bis zu Tag 10 vorarbeiten.

Explizite Darstellung

Eine Folge kann rekursiv oder explizit angegeben werden.

Lösungsbeschreibung

Im letzten Video hast du gelernt, dieses exponentielle Wachstum rekursiv zu beschreiben. Damit lässt sich die Entwicklung des Bestandes jedoch nur schrittweise berechnen. Du kannst zum Beispiel nicht sofort sagen, wie groß der Bestand an Tag 10 sein wird.

Das geht nur mit der expliziten Darstellung, die wir jetzt herleiten. Wir hatten bereits festgestellt, dass sich der Bestand mit jedem Tag verdoppelt. 200 ist zweimal 100.

Der Bestand an Tag 1 ist also zweimal der Bestand an Tag 0. 400 ist zweimal 200. Der Bestand an Tag 2 ist also zweimal der Bestand an Tag 1. Und 800 ist zweimal 400. Der Bestand an Tag 3 ist somit zweimal der Bestand an Tag 2. Das ist die rekursive Darstellung.

b von 1 ist zweimal b von 0. Somit ist b von 2 zweimal 2 mal b von 0. Oder 2 zum Quadrat mal b von 0. b von 2 ist zweimal b von 1. Und b von 1 ist wiederum zweimal b von 0. Somit ist b von 3 zweimal 2 mal 2 mal b von 0. Also 2 hoch 3 mal b von 0. Somit brauchst du den Bestand vom Vortag gar nicht mehr. Es reicht, wenn du den Anfangsbestand b von 0 kennst. 2 ist übrigens das gleiche wie 2 hoch 1. Hier steht also immer die gleiche Zahl wie hier.

Kannst du jetzt sagen, wie groß der Bestand an Tag 10 sein wird? Na logisch, b von 10 ist 2 hoch 10 mal b von 0. 2 hoch 10 ist 1024. Und b von 0 ist 100. Das ergibt 102400.

b von n ist also 2 hoch n mal b von 0. Oder umgekehrt, b von 0 mal 2 hoch n. Das ist das gleiche. Die 2 ist der sogenannte Wachstumsfaktor, der allgemein mit a bezeichnet wird. Diese Darstellung heißt explizit, weil man damit den Bestand zu einem beliebigen Zeitpunkt direkt berechnen kann.

Man braucht für n nur den entsprechenden Zeitpunkt einzusetzen. Du kannst bei der expliziten Darstellung auch die e-Funktion verwenden. Hier siehst du nochmal die Formel, die wir gerade hergeleitet haben.

a ist ja das gleiche wie e hoch ln von a. Da sich e und ln gegenseitig aufheben. ln von a kannst du mit dem Taschenrechner ausrechnen und runden. Diesen Wert bezeichnet man als die Wachstumskonstante k. Statt a kannst du also auch e hoch k schreiben.

n kommt wieder dahinter. In unserem Beispiel war a 2. Der natürliche Logarithmus von 2 ist rund 0,693. Statt 2 hoch n kannst du also auch e hoch 0,693n schreiben.

Das ist das gleiche.

Kontinuierliche Darstellung

Da ein Bestand in der Regel nicht sprunghaft wächst, sondern stetig, ist es sinnvoll, das Wachstum mit einer Funktion zu modellieren. Diese Darstellung wird als kontinuierlich bezeichnet.

Lösungsbeschreibung

Bisher haben wir die Entwicklung eines Bestandes nur zu festen Zeitpunkten betrachtet. Zum Beispiel haben wir den Bestand zu Beginn der Beobachtung gezählt, dann an Tag 1, an Tag 2 und an Tag 3. Dieses Wachstum haben wir mit dieser Formel beschrieben, beziehungsweise mit dieser. 0,693 ist der natürliche Logarithmus von 2. Für n darf man aber nur natürliche Zahlen oder 0 einsetzen.

Diese Darstellung wird deshalb als diskret bezeichnet. Aber der Bestand wächst ja nicht genau um Mitternacht sprunghaft an, sondern kontinuierlich über den ganzen Tag. Deshalb macht es Sinn, das Wachstum durch eine Funktion zu modellieren.

Diese Darstellung wird als kontinuierlich bezeichnet. Statt b schreibst du f und statt n schreibst du x. Der Rest bleibt gleich. Hier steht der Anfangsbestand, also f von 0. Hier der Wachstumsfaktor, der allgemein mit a bezeichnet wird, beziehungsweise die Wachstumskonstante, die allgemein mit k bezeichnet wird.

Diese Darstellung ist die gebräuchlichste, da sich e-Funktionen gut analysieren lassen. Für x darfst du jetzt auch Brüche einsetzen, um zum Beispiel den Bestand nach dreieinhalb Tagen zu berechnen. Ebenso kannst du in die Zeit vor Beginn der Aufzeichnung zurückblicken.

Setzt du für x zum Beispiel –1 ein, findest du heraus, wie groß der Bestand einen Tag vor Beginn der Aufzeichnung war. Zur Veranschaulichung dient nun der Graph der Funktion f. Die Tage werden jetzt mit x bezeichnet und der Bestand mit f von x. Der Anfangsbestand war 100. Das bedeutet, f von 0 ist gleich 100.

Das liest du hier ab. An Tag 1 ist der Bestand 200. Das bedeutet, f von 1 gleich 200.

Das liest du hier ab. Entsprechend ist f von 2 gleich 400. Das siehst du hier.

Und f von 3 ist 800. Das siehst du hier.

Exponentielles Wachstum nachweisen

Zeigt eine Tabelle das Wachstum eines Bestandes, kannst du wie folgt nachweisen, dass exponentielles Wachstum vorliegt:

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du nachweist, dass ein Bestand exponentiell wächst. Das ist wirklich ganz einfach. Als Beispiel nehmen wir diese Aufgabe.

Hier hast du den Bestand zu Beginn der Beobachtung gegeben und an den darauf folgenden vier Tagen. Nun sollst du zeigen, dass dieser Bestand exponentiell wächst. Das ist der Fall, wenn sich der Bestand immer mit dem gleichen Faktor vervielfacht, der zudem größer als 1 sein muss.

Um den jeweiligen Faktor zu bestimmen, teilst du den neuen Bestand durch den alten. 529 geteilt durch 400 ist rund 1,3225. Das bedeutet, 400 mal dieser Faktor ergibt 529.

698 geteilt durch 529 ist rund 1,3195. 920 durch 698 ist rund 1,3181 und 1216 geteilt durch 920 ist rund 1,3217. Die Faktoren unterscheiden sich kaum.

Mit jedem Tag vervielfacht sich der Bestand etwa um den Faktor 1,32. Da 1,32 größer als 1 ist, liegt exponentielles Wachstum vor. Hier siehst du anschaulich, wie der Bestand wächst.

Jeder neue Balken ist etwa 1,3 mal so hoch wie der Balken davor.

Exponentiellen Zerfall nachweisen

Anders als im allgemeinen Sprachgebrauch, gilt Zerfall ebenfalls als Wachstum. Der Unterschied ist am Wachstumsfaktor a zu erkennen. In diesem Video lernst du, nachzuweisen, dass ein Bestand exponentiell zerfällt.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du nachweist, dass ein Bestand exponentiell zerfällt bzw. abnimmt. Das geht im Prinzip genauso wie bei exponentiellem Wachstum.

Nicht immer ist in der Aufgabe explizit von Abnahme oder Zerfall die Rede, denn auch das fällt unter den Begriff Wachstum. Als Beispiel nehmen wir diese Aufgabe. Hier hast du den Bestand zu Beginn der Beobachtung gegeben und an den darauf folgenden vier Tagen.

Nun sollst du zeigen, dass dieser Bestand exponentiell abnimmt. Das ist der Fall, wenn sich der Bestand immer mit dem gleichen Faktor zwischen 0 und 1 multipliziert. Um den jeweiligen Faktor zu bestimmen, teilst du den neuen Bestand durch den alten.

217 geteilt durch 400 ist rund 0,5425. Das bedeutet, 400 mal dieser Wert ergibt 217. 119 geteilt durch 217 ist rund 0,5484.

63 geteilt durch 119 ist rund 0,5294 und 34 geteilt durch 63 ist rund 0,5397. Die Faktoren unterscheiden sich kaum. Mit jedem Tag halbiert sich der Bestand etwa.

Der Faktor beträgt rund 0,54. Da 0,54 zwischen 0 und 1 ist, liegt exponentielle Abnahme bzw. exponentieller Zerfall vor.

Hier siehst du anschaulich, wie der Bestand abnimmt. Jeder neue Balken ist etwa halb so hoch wie der Balken davor.

Wachstumsfunktion bestimmen / exponentielles Wachstum

Eine Funktion, die das Wachstum beschreibt, heißt Wachstumsfunktion oder auch Wachstumsgesetz. Jetzt lernst du, solch eine Wachstumsfunktion aus den gegebenen Daten zu ermitteln. Zeigt eine Tabelle das exponentielle Wachstum eines Bestandes, kannst du die Wachstumsfunktion folgendermaßen bestimmen:

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, exponentielles Wachstum mit einer Funktion zu beschreiben. Dazu lösen wir diese Aufgabe. Beschreibe das exponentielle Wachstum mit einer Funktion.

Hier hast du den Bestand zu Beginn der Beobachtung gegeben und an den darauf folgenden vier Tagen. Ermittle zunächst, um welchen Faktor der Bestand von Tag zu Tag wächst. Teile dazu den neuen Bestand durch den alten Bestand.

529 geteilt durch 400 ist rund 1,3225. Das bedeutet, 400 mal dieser Wert ist 529. 698 geteilt durch 529 ergibt rund diesen Wert.

Das geteilt durch das ist das und das geteilt durch das ist das. Die Faktoren sind größer als 1 und unterscheiden sich kaum. Deshalb liegt exponentielles Wachstum vor.

Nun bestimmst du den Wachstumsfaktor a. Das ist der Mittelwert dieser Faktoren. Diesen berechnest du so, wie du deine Durchschnittsnote berechnest. Du addierst die einzelnen Werte und teilst durch die Anzahl, in diesem Fall 4. Das ergibt rund 1,32.

Für die Wachstumsfunktion brauchst du den Wachstumsfaktor 1,32 und den Anfangsbestand 400. Die Wachstumsfunktion hat die Form f von x ist f von 0 mal a hoch x. Dabei steht x für den Tag und f von x für den Bestand an diesem Tag. f von 0 ist der Anfangsbestand 400 und a ist der Wachstumsfaktor 1,32.

Bei exponentiellem Wachstum ist a immer größer als 1. Die Wachstumsfunktion lässt sich auch mit der Basis e schreiben. Dazu musst du die Wachstumskonstante k berechnen. k ist der natürliche Logarithmus von a. In unserem Beispiel ist a 1,32.

Der ln davon ist rund 0,278. Bei exponentiellem Wachstum ist k immer positiv. Der Anfangsbestand ist unverändert 400.

Statt Wachstumsfunktion sagt man auch Wachstumsgesetz. Hier siehst du den Graph der Wachstumsfunktion. Zu Beginn der Beobachtung ist der Bestand 400.

An Tag 2 etwa 700. Da der Graph kontinuierlich ist, kannst du für x auch Brüche einsetzen und zum Beispiel den Bestand nach anderthalb Tagen ermitteln. Das sind etwas über 600.

Statt x kannst du auch die Variable t nehmen. Der Rest bleibt gleich.

Zerfallsfunktion bei exponentiellem Zerfall bestimmen

Da Zerfall bzw. Abnahme ebenfalls zu Wachstum zählen, bestimmst du die Zerfallsfunktion auf die gleiche Weise wie eine Wachstumsfunktion. Die Zerfallsfunktion kann daher auch als Wachstumsfunktion bezeichnet werden.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, exponentiellen Zerfall mit einer Funktion zu beschreiben. Das geht im Prinzip genauso wie bei exponentiellem Wachstum. Dazu lösen wir diese Aufgabe.

Beschreibe den exponentiellen Zerfall mit einer Funktion. Hier hast du den Bestand zu Beginn der Beobachtung gegeben und an den darauf folgenden vier Tagen. Nicht immer ist in der Aufgabe explizit von Abnahme oder Zerfall die Rede, denn auch das fällt unter den Begriff Wachstum.

Ermittle zunächst, mit welchem Faktor sich der Bestand von Tag zu Tag multipliziert. Teile dazu den neuen Bestand durch den alten Bestand. 217 geteilt durch 400 ist rund 0,5425.

Das bedeutet, 400 mal dieser Wert ist 217. 119 geteilt durch 217 ergibt rund diesen Wert. Das geteilt durch das ist das und das geteilt durch das ist das.

Die Faktoren liegen zwischen 0 und 1 und unterscheiden sich kaum. Deshalb liegt exponentieller Zerfall vor. Nun bestimmst du den Wachstumsfaktor A. Das ist der Mittelwert dieser Faktoren.

Diesen berechnest du so, wie du deine Durchschnittsnote berechnest. Du addierst die einzelnen Werte und teilst durch die Anzahl, in diesem Fall 4. Das ergibt rund 0,54. Für die Zerfallsfunktion brauchst du den Wachstumsfaktor 0,54 und den Anfangsbestand 400.

Die Zerfallsfunktion hat die Form f von x ist f von 0 mal A hoch x. Dabei steht x für den Tag und f von x für den Bestand an diesem Tag. f von 0 ist der Anfangsbestand 400 und A ist der Wachstumsfaktor 0,54. Bei exponentiellem Zerfall ist A immer zwischen 0 und 1. Die Zerfallsfunktion lässt sich auch mit der Basis e schreiben.

Dazu musst du die Zerfallskonstante k berechnen. k ist der natürliche Logarithmus von A. In unserem Beispiel ist A 0,54. Der ln davon ist rund –0,616.

Bei exponentiellem Zerfall ist k immer negativ. Der Anfangsbestand ist unverändert 400. Hier siehst du den Graph der Zerfallsfunktion.

Zu Beginn der Beobachtung ist der Bestand 400. An Tag 1, 217 und so weiter. Da der Graph kontinuierlich ist, kannst du für x auch Brüche einsetzen und zum Beispiel den Bestand nach anderthalb Tagen ermitteln.

Das sind etwas über 150. Statt x kannst du auch die Variable t nehmen. Der Rest bleibt gleich.

Wachstumsfunktion aus 2 Datenpunkten bestimmen (Textaufgaben)

Bei Textaufgaben ohne zusätzliche Tabellen musst du die relevanten Daten aus dem Text entnehmen. Hier siehst du beispielhaft, wie du Textaufgaben löst.

Lösungsbeschreibung

Oft hast du keine Tabelle gegeben, sondern einen Text mit ein paar Daten, aus denen du eine Wachstumsfunktion modellieren sollst. So wie in dieser Aufgabe. Die Weltbevölkerung beträgt 2019 rund 7,75 mal 10 hoch 9 Menschen.

Im Jahr 2000 waren es rund 6,13 mal 10 hoch 9. Modelliere das Bevölkerungswachstum anhand dieser Daten durch exponentielles Wachstum. Hier hast du also nur zwei Datenpunkte gegeben. Als erstes übersetzt du die Jahreszahlen in brauchbare Zeitangaben.

Am weitesten zurück liegt das Jahr 2000. Deshalb entspricht das t gleich 0. 2019 ist 19 Jahre später. Also muss das t gleich 19 entsprechen.

t ist dabei in Jahren. Der Ansatz für exponentielles Wachstum lautet f von t ist gleich f von 0 mal e hoch kt. Der Anfangsbestand f von 0 ist die Bevölkerungszahl aus dem Jahr 2000, also 6,13 mal 10 hoch 9. Nun musst du nur noch k bestimmen.

Dazu setzt du in diese Funktion den zweiten Datenpunkt ein. t ist 19. Das muss dann hier und hier stehen.

f von 19 ist die Bevölkerungszahl im Jahr 2019. Das sind 7,75 mal 10 hoch 9. Hier waren wir stehen geblieben. Nun setzt du für f von 19, wie gerade gesagt, 7,75 mal 10 hoch 9 ein.

k mal 19 ist das gleiche wie 19k. Nach diesem k musst du nun auflösen. Teile dazu als erstes durch 10 hoch 9. Dadurch fällt es auf beiden Seiten weg.

Teile nun durch 6,13. 7,75 geteilt durch 6,13 ist 1,264. Rechts bleibt e hoch 19k übrig.

Nun logarithmierst du. ln und e heben sich gegenseitig auf, sodass hier 19k übrig bleibt. Auf der linken Seite schreibst du ln von 1,264.

Nun teilst du noch durch 19, damit k allein auf einer Seite steht. Hier habe ich zusätzlich die Seiten getauscht. k ist somit ln von 1,264 geteilt durch 19.

Das sind rund 0,0123. Nun nimmst du dir die Funktion her, die du bereits aufgestellt hattest, und setzt für k diese Zahl ein. Das ist die gesuchte Wachstumsfunktion.

Du kannst mal 10 hoch 9 auch weglassen, wenn du vermerkst, dass f von t in Milliarden ist. Denn 10 hoch 9 ist ja eine Milliarde. Dann kannst du mal 10 hoch 9 überall in der Rechnung weglassen.

Außerdem solltest du bei deiner Lösung noch dazu schreiben, was du als Startzeitpunkt definiert hast. Hier entspricht t gleich 0 dem Jahr 2000.

Wachstumsfunktion bei prozentualer Zu- oder Abnahme bestimmen

Prozentuale Zu- oder Abnahme lässt sich wie exponentielles Wachstum modellieren.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, prozentuale Zu- bzw. Abnahme mit einer Wachstumsfunktion zu modellieren. Die Aufgabe lautet, ein Kapital von 5000 Euro wird mit einem Zinssatz von 4% jährlich verzinst.

Beschreibe die zeitliche Entwicklung des Kapitals mit einer Funktion. Prozentuale Zu- bzw. Abnahme lässt sich wie exponentielles Wachstum modellieren.

Als Ansatz nimmst du daher diese Funktion. Nun bestimmst du den Wachstumsfaktor A wie folgt. A ist 1 ± P durch 100.

Wenn du Zinsen erhältst, wird dein Kapital mehr. Deshalb nimmst du in diesem Fall Plus und nicht Minus. Nun setzt du für P die Prozentzahl 4 ein.

1 ± 4 Hundertstel sind 1,04. Und das setzt du nun hier für A ein. F von 0 ist der Anfangsbestand.

Am Anfang beträgt das Kapital 5000 Euro. Schon hast du die prozentuale Zunahme durch eine Funktion modelliert. Das kannst du natürlich auch mit der e-Funktion ausdrücken.

ln von 1,04 sind rund 0,0392. Das musst du dann hier hinschreiben.

Verdoppelungszeit berechnen

Nach welcher Zeit hat sich der Anfangsbestand verdoppelt? So berechnest du die Verdoppelungszeit. Hinweis: Die Verdoppelungszeit gilt nicht nur für den Anfangsbestand! Verdoppelt sich der Anfangsbestand zum Beispiel nach 3 Jahren, verdoppelt sich der Bestand immer wieder alle 3 Jahre.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, die Verdoppelungszeit eines Bestandes zu berechnen. Als Beispiel lösen wir folgende Aufgabe. Das Wachstum einer Population kann durch folgende Funktion beschrieben werden.

f von x ist gleich 100 e hoch 0,232x, wobei x in Jahren ist. Wann hat sich der Anfangsbestand verdoppelt? Gesucht ist ein Zeitpunkt, also ein x-Wert. Nennen wir diesen mal xv für Verdoppelung.

Der Bestand f soll zum Zeitpunkt xv doppelt so groß sein wie am Anfang, also 2 mal f von 0. f von xv bedeutet, dass du für x, xv einsetzen sollst. Also schreibst du die Funktion ab und schreibst hier xv. Der Anfangsbestand ist immer diese Zahl, also 100.

Nun löst du nach xv auf. Teile zuerst durch 100. Damit fällt die 100 auf beiden Seiten weg.

Nun logarithmierst du. ln und e heben sich gegenseitig auf, sodass links 0,232xv übrig bleibt. Rechts schreibst du ln von 2. Nun teilst du noch durch 0,232, damit xv alleine auf einer Seite steht.

Das gibst du in den Taschenrechner ein und erhältst rund 2,99. x ist ja in Jahren. Das bedeutet, nach etwa 3 Jahren hat sich der Anfangsbestand verdoppelt.

Hier siehst du den Graph der Wachstumsfunktion. Zu Anfang, also zum Zeitpunkt 0, beträgt der Bestand 100. Nach 3 Jahren hat sich der Anfangsbestand auf 200 verdoppelt.

Interessant ist, dass die Verdoppelungszeit für jeden Bestand gilt. Das bedeutet, nach weiteren 3 Jahren hat sich dieser Bestand auf 400 verdoppelt. Alle 3 Jahre verdoppelt sich der jeweilige Bestand.

Halbwertszeit berechnen

Nach welcher Zeit hat sich ein Anfangsbestand halbiert? Oder wie lange dauert es, bis nur noch 50% eines radioaktiven Stoffes vorhanden sind? Hier ist jeweils die Halbwertszeit gesucht, die du wie folgt berechnest. Hinweis: Die Halbwertszeit gilt nicht nur für den Anfangsbestand! Halbiert sich der Anfangsbestand zum Beispiel nach 3 Jahren, halbiert sich der Bestand immer wieder alle 3 Jahre.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, die Halbwertszeit eines Bestandes zu berechnen. Genauso würdest du übrigens die Halbwertszeit bei radioaktivem Zerfall bestimmen. Als Beispiel lösen wir folgende Aufgabe.

Das Aussterben einer Population kann durch folgende Funktion beschrieben werden. f von x ist gleich 600 e hoch minus 0,198x, wobei x in Jahren ist. Wann hat sich der Anfangsbestand halbiert? Gesucht ist ein Zeitpunkt, also ein x-Wert.

Nennen wir diesen mal xH für Halbierung. Der Bestand f soll zum Zeitpunkt xH halb so groß sein wie am Anfang, also 0,5 mal f von 0. f von xH bedeutet, dass du für x, xH einsetzen sollst. Also schreibst du die Funktion ab und schreibst hier xH.

Der Anfangsbestand ist immer diese Zahl, also 600. Nun löst du nach xH auf. Teile zuerst durch 600.

Damit fällt die 600 auf beiden Seiten weg. Nun logarithmierst du. ln und e heben sich gegenseitig auf, sodass links minus 0,198xH übrig bleibt.

Rechts schreibst du ln von 0,5. Nun teilst du noch durch minus 0,198, damit xH allein auf einer Seite steht. Das gibst du in den Taschenrechner ein und erhältst rund 3,5.

x ist ja in Jahren. Das bedeutet, nach etwa 3,5 Jahren hat sich der Anfangsbestand halbiert. Hier siehst du den Graph der Zerfallsfunktion.

Zu Anfang, also zum Zeitpunkt 0, beträgt der Bestand 600. Nach 3,5 Jahren hat sich der Anfangsbestand auf 300 halbiert. Interessant ist, dass die Halbwertszeit für jeden Bestand gilt.

Das bedeutet, nach weiteren 3,5 Jahren hat sich dieser Bestand nochmals halbiert auf 150. Alle 3,5 Jahre halbiert sich der jeweilige Bestand.

Zeit umrechnen in der Wachstumsfunktion

Angenommen, eine Funktion beschreibt das Wachstum von Bakterien mit t (bzw. x) in Minuten. Wie muss die Funktion dann aussehen, wenn t (bzw. x) in Stunden oder Sekunden ist?

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, wie man bei einer Wachstumsfunktion die Zeit umrechnet. Als erstes rechnen wir Minuten in Stunden um. Bei dieser Funktion ist t in Minuten.

Eine Stunde hat 60 Minuten. Zur Umrechnung nimmst du deshalb 0,95 hoch 60. Das ergibt rund 0,0461.

Das schreibst du hier hin. Jetzt ist t in Stunden. Nun machen wir es umgekehrt.

Eine Minute ist ein Sechzigstel einer Stunde. Zur Umrechnung nimmst du deshalb diese Zahl hoch ein Sechzigstel. Das ergibt rund 0,95.

Jetzt ist t wieder in Minuten. Bei der e-Funktion geht das so. Willst du Minuten in Stunden umrechnen, multiplizierst du minus 0,5 mit 60.

Das ergibt minus 30. Und das schreibst du hier hin. Jetzt ist t in Stunden.

Willst du wieder in Minuten umrechnen, teilst du minus 30 durch 60. Das ergibt minus 0,5. Jetzt rechnen wir Stunden in Tage um.

Bei dieser Funktion ist t in Stunden. Ein Tag hat 24 Stunden. Zur Umrechnung nimmst du deshalb 1,08 hoch 24.

Das ergibt rund 6,3412. Das schreibst du hier hin. Jetzt ist t in Tagen.

Nun machen wir es umgekehrt. Eine Stunde ist ein Vierundzwanzigstel eines Tages. Zur Umrechnung nimmst du deshalb diese Zahl hoch ein Vierundzwanzigstel.

Das ergibt rund 1,08. Jetzt ist t wieder in Stunden. Bei der e-Funktion geht das so.

Willst du Stunden in Tage umrechnen, multiplizierst du diese Zahl mit 24. Das ergibt 0,9. Und das schreibst du hier hin.

Jetzt ist t in Tagen. Willst du wieder in Stunden umrechnen, teilst du 0,9 durch 24. Das ergibt 0,0375.

Nach dem gleichen Prinzip kannst du auch andere Zeitangaben ineinander umrechnen, zum Beispiel Minuten in Sekunden, Tage in Wochen und so weiter.