Integralfunktion
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So bestimmst du eine Integralfunktion
Hier hast du gelernt, eine Größe aus ihrer Änderungsrate zu rekonstruieren. Damit kannst du z.B. den zurückgelegten Weg aus der Geschwindigkeit ermitteln. Das ging bisher aber nur für konkrete Zeitpunkte (z.B. der nach 3 Stunden zurückgelegte Weg). Die Integralfunktion ermöglicht es, die Größe schnell und einfach für jeden beliebigen Zeitpunkt zu berechnen! Sie stellt die Größe nämlich in Abhängigkeit von der Zeit dar. In diesem Video lernst du, wie solch eine Integralfunktion aussieht und wie du sie bestimmst.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video lernst du, eine Integralfunktion zu bestimmen. Die markierte Fläche zwischen dem roten Graphen und der x-Achse kannst du mit folgendem Integral berechnen. Die Grenzen sind 0 und 1. Und du integrierst über x dx.
Die Rechnung lasse ich jetzt mal weg und schreibe nur das Ergebnis 0,5 hin. Der Flächeninhalt ist also eine halbe Flächeneinheit. Möchtest du diese Fläche berechnen, brauchst du nur die obere Grenze des Integrals auszutauschen.
Diese ist jetzt 2 statt 1. Würdest du das Integral berechnen, käme 2 raus. Das ist eine Flächeneinheit und diese beiden Stücke zusammen ergeben eine weitere. Bei dieser Fläche ist die obere Grenze 3. Würdest du das Integral berechnen, käme 4,5 raus.
1, 2, 3, 4 und 4,5. Es wäre schön, nicht jedes Mal ein Integral berechnen zu müssen, wenn sich die obere Grenze ändert. Und genau dafür gibt es die Integralfunktion.
Für die Integralfunktion schreibst du I von x. Meist wird als Index noch die untere Grenze dran geschrieben, da sich diese ja nicht verändert. Bei uns ist die untere Grenze 0. Nun musst du das Integral noch ein einziges Mal berechnen. Die obere Grenze legst du dabei aber nicht fest, sondern schreibst dafür x. So kann man für x verschiedene Zahlen einsetzen, wie 1, 2, 3 und so weiter.
Da die Variable x jetzt schon weg ist, kannst du hier nicht nochmal x schreiben. Nimm einfach eine andere Variable, wie zum Beispiel t. Nun bildest du eine Stammfunktion davon. Die einfachste Stammfunktion ist ein halb t².
Das schreibst du in eckige Klammern und dann überträgst du die Integrationsgrenzen. Nun setzt du für t die obere Grenze x ein. Dann kommt ein Minuszeichen und nun setzt du für t die untere Grenze 0 ein.
0² ist 0 und ½ mal 0 ist immer noch 0. Das ergibt ½x². Die Rechnung blende ich mal aus. I0 von x ist also ½x².
Setzt du nun für x zum Beispiel 2 ein, muss das gleiche rauskommen, wie hier. Testen wir das doch mal für die Werte 1, 2 und 3. Da hier kein Platz mehr ist, geht's damit auf der nächsten Seite weiter. Das war das erste Integral.
Nun setzt du in die Integralfunktion für x 1 ein, also hier und hier. 1² ist 1 und ½ mal 1 ist 0,5. Es kommt also tatsächlich das gleiche raus.
Das kannst du auch am Schaubild ablesen. Rot dargestellt ist der Graph der Ausgangsfunktion f. Und blau der Graph der Integralfunktion, die du gerade bestimmt hast. Gehe von x gleich 1 hoch auf den blauen Graph und dann rüber zur y-Achse.
Dort liest du das Ergebnis 0,5 ab. Prüfen wir das nächste Integral. Diesmal setzt du für x 2 ein, also wieder hier und hier.
2² ist 4 und ½ mal 4 ist 2. Es kommt also wieder das gleiche raus. Am Schaubild startest du diesmal bei x gleich 2 und liest hier das Ergebnis 2 ab. Nun prüfen wir noch das letzte Integral.
Diesmal setzt du für x 3 ein, also wieder hier und hier. 3² ist 9 und die Hälfte von 9 ist 4,5. Es kommt wieder das gleiche raus.
Am Schaubild startest du diesmal bei x gleich 3 und liest hier das Ergebnis 4,5 ab.
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Textaufgabe zur Integralfunktion
So löst du eine typische Textaufgabe zur Integralfunktion.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video lösen wir eine typische Textaufgabe zur Integralfunktion. Textaufgabe a lautet, in einen leeren Tank wird 10 Minuten lang Wasser eingeleitet. Die Zunahme der Wassermenge kann durch folgende Funktion beschrieben werden.
f von t gleich 3t². Dabei ist t in Minuten und f von t in Liter pro Minute. Bestimme eine Funktion, die die Wassermenge in Abhängigkeit von der Zeit angibt.
In dieser Textaufgabe gibt es drei Signalwörter, die du erkennen musst. Das erste ist Zunahme. Das steht für die Änderungsrate der Wassermenge.
Aus dieser lässt sich die Wassermenge rekonstruieren. Dazu musst du diese Funktion integrieren. Auf Abimatte gibt es ein Tutorial zu diesem Thema, das ich dir verlinkt habe.
Du sollst die Wassermenge aber nicht für einen bestimmten Zeitpunkt berechnen, sondern allgemein in Abhängigkeit von der Zeit angeben. Das geht nur mithilfe der Integralfunktion. Du musst also die Integralfunktion über diese Funktion bilden.
Die Variable t wird die obere Grenze. Die untere Grenze ist 0, denn zu Anfang ist ja noch keine Zeit vergangen. Nun schreibst du die Funktion aus der Aufgabe ab und änderst dabei die Variable.
t ist schon vergeben, also nimmst du zum Beispiel x. Das ergibt 3x² und dahinter kommt dx. Hier muss die gleiche Variable stehen wie hier und hier muss die gleiche Variable stehen wie hier. Nun bildest du eine Stammfunktion.
Eine Stammfunktion von x² ist ein Drittel x³. Der Faktor 3 bleibt erhalten. Nun machst du eckige Klammern drumherum und überträgst die Integrationsgrenzen.
Die Dreien kürzen sich und übrig bleibt x³. Nun setzt du für x die obere Grenze t ein. Dann kommt ein Minuszeichen und nun setzt du für x die untere Grenze 0 ein.
0³ ist 0. Das ist somit t³. Nun formulierst du einen passenden Antwortsatz, zum Beispiel Die Funktion I0 von t gleich t³ gibt die Wassermenge in Abhängigkeit von der Zeit t an. Für t dürfen Zahlen von 0 bis 10 eingesetzt werden, denn der Tank wird 10 Minuten lang befüllt.
Nun kommt Aufgabe b. Wie viel Wasser ist nach 10 Minuten im Tank? Das kannst du mit der Integralfunktion ganz leicht ausrechnen. Dazu setzt du für t 10 ein. 10³ ist 1000.
Somit sind nach 10 Minuten 1000 Liter Wasser im Tank. Achte immer auf die Einheit. Die Änderungsrate war in Liter pro Minute angegeben.
Die Wassermenge ist somit in Liter. Das gleiche Ergebnis hättest du erhalten, wenn du ganz normal über diese Funktion von 0 bis 10 integriert hättest.
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