Rotationsvolumen

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• Einführung in Rotationskörper und Rotationsvolumen
• Fläche liegt zwischen Graph und x-Achse
• Fläche liegt zwischen 2 Graphen

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Einführung in Rotationskörper und Rotationsvolumen

Ein Rotationskörper entsteht, wenn eine Fläche um die x-Achse rotiert. Dabei kann diese Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse liegen oder zwischen 2 Funktionsgraphen. Mit Rotationskörpern können Gegenstände wie z.B. Vasen, Gläser, Schalen, Töpfe, Fässer, Düsen usw. modelliert werden. In diesem Video siehst du, welche Typen von Rotationskörpern du unterscheiden musst und wie die jeweilige Formel für ihr Volumen lautet.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, was ein Rotationskörper ist und wie du sein Volumen berechnest. Hier siehst du den Graph einer Funktion f. Wenn du nun diese Fläche um die x-Achse rotierst, entsteht ein sogenannter Rotationskörper. Man sagt auch Drehkörper.

Sein Volumen lässt sich mit dieser Formel berechnen. Statt Volumen sagt man auch Rauminhalt. Hier setzte die Grenzen a und b ein, in diesem Fall 0 und 4. Und dann kommt der Funktionsterm, den du noch quadrieren musst.

Die Fläche muss aber nicht bei 0 anfangen. Sie kann zum Beispiel auch erst bei 1 anfangen. Diese Körper sind massiv, im Gegensatz zu Hohlkörpern, die wir uns jetzt anschauen.

Stell dir vor, die Fläche zwischen diesen beiden Graphen rotiert um die x-Achse. Dann entsteht ein Körper, der innen hohl ist. Das könnte zum Beispiel eine Düse sein.

Um das Volumen eines Hohlkörpers zu berechnen, berechnest du das Volumen wie zuvor und ziehst davon das Volumen des Hohlraums ab. Dann bleibt das gesuchte Volumen übrig. Hier setzt du deshalb die Funktion f ein und hier die Funktion g. Mit dem Volumen des Hohlkörpers ist also nicht das Volumen des Hohlraums gemeint.

Wenn du wissen möchtest, wie viel in diesen Körper hineinpasst, dann brauchst du nur diesen Teil. Denn das ist genau das Volumen des Hohlraums. Für a setzt du in diesem Beispiel 0 ein und für b 2. Hier wird beide Male über das gleiche Intervall integriert.

Das muss aber nicht so sein. Als Beispiel lassen wir diese Fläche um die x-Achse rotieren. Äußerlich sind die Intervallgrenzen 0 und 4. Dieses Intervall nimmst du hier.

Der Hohlraum beginnt aber erst bei 2. Hier integrierst du also nur von 2 bis 4.

Fläche liegt zwischen Graph und x-Achse

Dieses Beispiel kannst du als Muster verwenden, wenn die rotierende Fläche zwischen Graph und x-Achse liegt.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, das Volumen eines Rotationskörpers zu berechnen. Die Aufgabe lautet, die Seite eines Blumentopfes kann für 0 kleiner gleich x kleiner gleich 2, x in Dezimeter, durch die Funktion f von x gleich ein Achtel x hoch 3 plus 1 beschrieben werden. Wie viel Erde passt in den Topf? Das bedeutet, hier ist der Rauminhalt bzw.

das Volumen des Topfes gesucht. Hier siehst du den Graph von f. x soll von 0 bis 2 gehen. Das sind später in der Formel a und b. Lässt du diese Fläche um die x-Achse rotieren, entsteht ein Drehkörper, der den Blumentopf darstellen soll.

Der Topf liegt sozusagen auf der Seite. Hier ist oben und hier ist unten. Nun berechnest du das Volumen dieses Rotationskörpers.

Dazu brauchst du die Formel für das Rotationsvolumen. x geht bei uns von 0 bis 2. Die Funktion f von x schreibst du aus der Aufgabe ab. Diese muss zunächst quadriert werden.

Das geht mit der ersten binomischen Formel. a entspricht ein Achtel x hoch 3 und b entspricht 1. a plus b zum Quadrat ist das gleiche wie a² plus 2ab plus b². Sowas musst du auswendig wissen.

a² ist bei uns ein Achtel x hoch 3 zum Quadrat. Dann kommt ein Plus und der Faktor 2. Nun schreibst du a ab und multiplizierst das mit b, also mit 1. Dann kommt wieder ein Plus und dann b², also 1 zum Quadrat. Hier kannst du ein Achtel und x hoch 3 einzeln quadrieren.

Ein Achtel mal ein Achtel ist ein 64. x hoch 3 zum Quadrat ist x hoch 6. Dazu rechnest du 3 mal 2 gleich 6. 2 und 8 kürzen sich. Übrig bleibt ein Viertel.

Mal 1 kannst du weglassen. Und 1 zum Quadrat ist 1. Da hier kein Platz mehr ist, geht's auf der nächsten Seite weiter. Soweit waren wir schon.

Nun bildest du eine Stammfunktion. Der Faktor 1 vierundsechzigste bleibt erhalten. Eine Stammfunktion von x hoch 6 ist ein Siebtel x hoch 7. Ebenso bleibt der Faktor ein Viertel erhalten.

Eine Stammfunktion von x hoch 3 ist ein Viertel x hoch 4. Und eine Stammfunktion von 1 ist x. Nun machst du eckige Klammern drumherum und überträgst die Integrationsgrenzen. 1 mal 1 ist 1 und 64 mal 7 ist 448. 1 mal 1 ist wieder 1 und 4 mal 4 ist 16.

Nun setzt du für x die obere Grenze 2 ein. Also hier, hier und hier. Dann kommt ein Minuszeichen und nun setzt du für x die untere Grenze 0 ein.

Das wird aber alles 0. Nun gibst du das in den Taschenrechner ein. Vergiss nicht den Faktor Pi davor. Das Ergebnis 23 Siebtel Pi ist rund 10,3.

Das bedeutet, es passen 10,3 Kubikdezimeter Erde in den Topf. Achte auf die Einheit. x war in Dezimeter.

Das Volumen ist immer die Einheit hoch 3, also Kubikdezimeter. 1 Kubikdezimeter ist 1 Liter. Somit entspricht das 10,3 Liter.

Fläche liegt zwischen 2 Graphen

An diesem Beispiel kannst du dich orientieren, wenn die rotierende Fläche zwischen 2 Funktionsgraphen liegt.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, das Rotationsvolumen zu berechnen, wenn eine Fläche zwischen zwei Graphen um die x-Achse rotiert. Die Aufgabe lautet, die markierte Fläche zwischen den Graphen von f mit f von x gleich Wurzel x und g mit g von x gleich Wurzel aus x-2 rotiert um die x-Achse. Berechne das Volumen des Rotationskörpers.

Der Graph von f fängt bei x gleich 0 an, der Graph von g jedoch erst bei x gleich 2. Integriert werden soll bis x gleich 4. Somit gibt es drei Integrationsgrenzen. Das sind später in der Formel a, b und c. Lässt du diese Fläche um die x-Achse rotieren, entsteht dieser Rotationskörper, der innen hohl ist. Berechne das Volumen zunächst so, als wäre es ein massiver Körper und ziehe davon das Volumen des Hohlraums ab.

Für das Rotationsvolumen brauchst du diese Formel. Von außen betrachtet geht der Körper von 0 bis 4 und wird durch die Funktion f von x beschrieben. Das ist bei uns Wurzel x. Diese Funktion muss laut der Formel quadriert werden.

Der Hohlraum geht von 2 bis 4 und wird durch die Funktion g von x beschrieben. Das ist bei uns Wurzel aus x-2. Auch diese Funktion muss quadriert werden.

Wurzel ziehen und quadrieren heben sich gegenseitig auf, sodass hier x übrig bleibt und hier x-2. Nun berechnest du beide Integrale. Dazu benötigst du jeweils eine Stammfunktion.

Eine Stammfunktion von x ist ein halb x². Hier genauso. Und eine Stammfunktion von 2 ist 2x.

Das Minus überträgst du einfach. Beides muss in eckige Klammern. Hier sind die Integrationsgrenzen 0 und 4 und hier sind die Integrationsgrenzen 2 und 4. Da hier kein Platz mehr ist, geht's auf der nächsten Seite weiter.

Soweit waren wir schon. Nun setzt du für x 4 ein. Dann kommt ein Minuszeichen und nun setzt du für x 0 ein.

Einhalb mal 0² ist 0. Das Ganze muss in Klammern und der Faktor Pi muss davor. Nun kommt dieses Minuszeichen und jetzt machst du das gleiche nochmal. Erst setzt du für x 4 ein, also hier und hier.

Dann kommt ein Minuszeichen und nun setzt du für x 2 ein, also wieder hier und hier. Da das alles abgezogen werden soll, musst du es in Klammern setzen. Nun setzt du den ganzen Ausdruck in Klammern und schreibst wieder den Faktor Pi davor.

14² ist 16 und die Hälfte davon ist 8. 8 minus 0 ist 8 und Pi mal 8 sind 8 Pi. Hier kommt ebenfalls 8 raus. 2 mal 4 ist ebenfalls 8. 2 zum Quadrat ist 4 und die Hälfte davon ist 2. 2 mal 2 ist 4. 8 minus 8 fällt weg.

Wir haben also Pi, dann dieses Minus und 2 minus 4 ist minus 2. Minus minus 2 ist 2 und minus Pi mal 2 sind minus 2 Pi. 8 Pi minus 2 Pi sind 6 Pi. Der Rotationskörper hat somit ein Volumen von 6 Pi.

Das ist knapp 19.