Mittelwert einer Funktion

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Mittelwert einer Funktion

So wie du aus deinen einzelnen Noten eine Durchschnittsnote (Mittelwert) ermitteln kannst, lässt sich auch bei Funktionen ein Mittelwert angeben. Dazu benötigst du allerdings ein Integral. Hier lernst du, wie du den Mittelwert einer Funktion berechnest und was er anschaulich bedeutet.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, den Mittelwert einer Funktion zu bestimmen. Den Mittelwert berechnest du mit dieser Formel. Damit kannst du in Textaufgaben z.B. die mittlere Konzentration eines Medikaments berechnen oder die mittlere Geschwindigkeit, die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit, die durchschnittliche Bevölkerungszahl oder die durchschnittlichen Stückkosten.

Der Mittelwert wird immer auf dem Intervall von a bis b berechnet. Bei den ersten vier Beispielen ist das ein Zeitraum. Zum Beispiel ist die mittlere Geschwindigkeit in den ersten 60 Sekunden gesucht.

Dann ist a Null und b ist 60. Deshalb steht hier auch t für die Zeit statt x. Das Intervall muss aber kein Zeitintervall sein. Beim letzten Beispiel sind a und b jeweils eine Anzahl.

So sind z.B. die durchschnittlichen Stückkosten bei einer Menge von 100 bis 1000 Stück gesucht. Dann würde hier statt t x stehen. Jetzt zeige ich dir, wie du die Formel anwendest.

Die Aufgabe lautet, die Konzentration eines Medikaments im Blut wird durch die Funktion f von t gleich 20e hoch minus t minus 20e hoch minus 2t beschrieben. Dabei ist t in Stunden und f von t in Milligramm pro Liter. Wie hoch ist die mittlere Konzentration in den ersten vier Stunden? Damit ist der Mittelwert dieser Funktion gemeint.

Hier siehst du nochmal die Formel für den Mittelwert. Jetzt ordnen wir zu. a und b sind das Zeitintervall.

Bei uns sind das die ersten vier Stunden. a ist somit 0 und b ist 4. Das setzt du nun auch hier ein. Dann kommt die Funktion.

Diese schreibst du einfach ab und dahinter kommt dt. Da hier kein Platz mehr ist, geht's damit auf der nächsten Seite weiter. Soweit waren wir schon.

Die 20 könntest du wie beim Ausklammern vor das Integral ziehen. Aber dann müsstest du später mit Brüchen rechnen. Deshalb lassen wir es so.

4 minus 0 ist 4. Jetzt benötigst du eine Stammfunktion. Diese bildest du mit linearer Substitution. Zunächst schreibst du das ab und dann teilst du durch minus 1, da vor dem t ein Minus, also der Faktor minus 1 steht.

Hier genauso. Das schreibst du ab und dann teilst du durch minus 2. Nun machst du eckige Klammern drumherum und überträgst die Integrationsgrenzen. 20 geteilt durch 1 ist 20.

Und das Minus kannst du davor ziehen. 20 geteilt durch 2 ist 10. Und Minus geteilt durch Minus ergibt Plus.

Wenn du gleich die Integrationsgrenzen einsetzt, musst du Klammern setzen. Damit das alles noch mit ein Viertel multipliziert wird. Nun setzt du für t die obere Grenze 4 ein.

Also hier und hier. Dann kommt ein Minuszeichen. Und nun setzt du für t die untere Grenze 0 ein.

Also wieder hier und hier. Da das alles abgezogen werden soll, musst du es noch in Klammern setzen. Minus 2 mal 4 ist minus 8. e hoch minus 0 ist das gleiche wie e hoch 0, nämlich 1. Minus 20 mal 1 ist minus 20.

Minus 2 mal 0 ist 0 und e hoch 0 ist wieder 1. 10 mal 1 ist 10. Minus 20 plus 10 ist minus 10. Und Minus Minus 10 macht Plus 10.

Nun gibst du das in den Taschenrechner ein und erhältst den Wert 2,4. Das bedeutet, die mittlere Konzentration in den ersten 4 Stunden beträgt 2,4 mg pro Liter. Hier muss also wieder die Einheit stehen, in der f von t ist.

Hier siehst du den Graph der Funktion. Erst steigt die Konzentration stark an und dann sinkt sie kontinuierlich. Dieses Intervall sind die ersten 4 Stunden nach der Einnahme.

In diesem Zeitraum beträgt die mittlere Konzentration 2,4 mg pro Liter. Das ist ein Durchschnittswert, denn hier ist die Konzentration höher als dieser Wert und hier niedriger. Der Mittelwert liegt so, dass diese Fläche genauso groß ist wie diese.

Demnach müssen die beiden blauen Flächen genauso groß sein wie diese rote Fläche.