NEW-regel
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Die NEW-Regel oder wie alles zusammenhängt
In diesem Video lernst du, wie Stammfunktion, Funktion und Ableitung zusammenhängen. Als einfache Merkregel zeige ich dir die NEW-Regel. Das sind typische Aufgaben, die du damit lösen kannst: 1. Grafisches Ableiten: zum Graph einer Funktion den Graph der Ableitung skizzieren,oder zum Graph einer Stammfunktion den Graph der Funktion. 2. Grafisches Aufleiten: zum Graph einer Funktion den Graph einer Stammfunktion skizzieren. 3. Zuordnen, welcher Graph die Funktion, die Stammfunktion bzw. die Ableitung darstellt
Lösungsbeschreibung
In diesem Video geht es um den Zusammenhang von Stammfunktion, Funktion und Ableitung. Als Merkregel zeige ich dir die µ-Regel. Zunächst geht es um den Zusammenhang von Stammfunktion und Funktion.
Hier siehst du den Graph einer Stammfunktion. Blau dargestellt ist der Graph der zugehörigen Funktion f. Die beiden Graphen sind abhängig voneinander. Links siehst du eine Liste mit Eigenschaften der Stammfunktionen und rechts die zugehörigen Eigenschaften der Funktion f. Du kannst von diesen Eigenschaften auf diese schließen und umgekehrt.
Beachte dabei, dass eine Funktion f unendlich viele Stammfunktionen hat. Auch das ist eine Stammfunktion von f. Der rote Graph wurde einfach nach oben verschoben. Genauso könnte man den roten Graph nach unten verschieben.
Diese beiden Stammfunktionen haben dieselbe Ableitung, nämlich die Funktion f. Nun gehen wir die Liste der Eigenschaften durch. Eine Maximumstelle der Stammfunktion ist eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel von ±. Statt Maximumstelle sagt man auch Maximalstelle. Eine Minimumstelle der Stammfunktion ist dann eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel von ±. Statt Minimumstelle sagt man auch Minimalstelle.
Eine Wendestelle der Stammfunktion ist eine Extremstelle von f. Hier hat f an dieser Stelle einen Hochpunkt. Und hier einen Tiefpunkt. Hier hat die Stammfunktion einen Sattelpunkt.
Das ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Deshalb hat f an der Sattelstelle ebenfalls eine Extremstelle und gleichzeitig eine Nullstelle wegen der waagerechten Tangente. Denn f ist ja die Ableitung von F. Ist der Graph der Stammfunktion monoton wachsend, wie in diesem Intervall, dann ist der Graph von f oberhalb oder genau auf der x-Achse.
Ist der Graph der Stammfunktion dagegen monoton fallend, wie in diesen beiden Intervallen, dann ist der Graph von f unterhalb oder genau auf der x-Achse. f ist ja die Ableitung von F. Diese Übersicht gilt somit entsprechend für F' und F. Denn F' ist ja die Ableitung von F. Hier könnte also genauso gut F und hier F' stehen. Und jetzt fassen wir das alles in einer Übersicht zusammen.
Das ist die sogenannte New-Regel. N steht für Nullstelle, E für Extremstelle und W für Wendestelle. Nun schreibst du das Wort new dreimal versetzt untereinander.
Dieses Schema gilt für Groß-F, F und F'. Du kannst das Schema aber auch mit F beginnen. Dann kommt wie hier als nächstes F' und danach logischerweise F2'.
Bleiben wir aber erstmal bei dieser Übersicht. Eine Extremstelle von Groß-F ist demnach eine Nullstelle von F. Und eine Wendestelle von Groß-F ist eine Extremstelle von F. F ist die Ableitung von Groß-F. Wenn du F jetzt nochmal ableitest, gelten die gleichen Zusammenhänge.
Eine Extremstelle von F ist eine Nullstelle von F'. Entsprechend wie hier. Und eine Wendestelle von F ist eine Extremstelle von F'.
Entsprechend wie hier. Somit ist eine Wendestelle von Groß-F, eine Extremstelle von F und eine Nullstelle von F'. Beachte, dass hier Nullstellen mit Vorzeichenwechsel gemeint sind.
Die gleichen Zusammenhänge gelten entsprechend für F, F' und F2'.
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