Eine Größe aus ihrer Änderungsrate ermitteln

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Eine Größe aus ihrer Änderungsrate ermitteln

Stell dir vor, du hast nach einer Stunde 8 Kilometer zurückgelegt und bist dann mit einer Geschwindigkeit von 6 Kilometern pro Stunde weiter gelaufen! Wieviele Kilometer hast du nach 3 Stunden insgesamt zurückgelegt? Nach einer Stunde sind es 8 Kilometer, nach 2 Stunden 14 Kilometer (=8+6) und nach 3 Stunden 20 Kilometer (=8+6+6). Der zurückgelegte Weg lässt sich also aus einem Anfangswert (8 Kilometer nach der ersten Stunde) und der Änderungsrate des Weges (Geschwindigkeit) rekonstruieren. Bei schwierigeren Aufgaben geht das auch, aber dann brauchst du dafür ein Integral! In diesem Video lernst du, wie du eine Größe aus ihrer Änderungsrate und einem Anfangswert ermittelst. Die Änderungsrate ist einfach die Ableitung!

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Größe aus ihrer Änderungsrate ermittelst. Das geht mit dieser Formel. Zum Beispiel kannst du damit den zurückgelegten Weg bestimmen, wenn du die Geschwindigkeit kennst.

Diese wird üblicherweise mit V bezeichnet und der Weg mit S. Die Geschwindigkeit ist nämlich die Änderungsrate des Weges. Zum Beispiel ändert sich der zurückgelegte Weg um 6 km pro Stunde. Die Änderungsrate ist einfach die Ableitung.

Ebenso kannst du mit dieser Formel die Geschwindigkeit bestimmen, wenn du die Beschleunigung kennst. Diese wird meist mit A bezeichnet. Ebenso lässt sich damit die Höhe einer Pflanze aus ihrer Wachstumsgeschwindigkeit ermitteln.

Oder die Flüssigkeitsmenge aus der Zuflussrate. Oder die Konzentration eines Medikaments aus der Änderungsrate der Konzentration. Wie das geht, zeige ich dir jetzt an einem Beispiel.

Die Aufgabe lautet, die Geschwindigkeit eines Autos wird für 0 ≤ t ≤ 8 t in Sekunden durch die Funktion V von t gleich minus ein Viertel t hoch 3 plus 3t² beschrieben. Welche Strecke hat das Auto nach 8 Sekunden zurückgelegt? Hier siehst du nochmal die Formel. Jetzt ordnen wir zu.

f von b steht für die gesuchte Größe. Bei uns ist der Weg gesucht, der nach 8 Sekunden zurückgelegt wurde. Für den Weg schreiben wir wie üblich s, also s von 8. f von a steht für einen Anfangswert.

Bei uns ist das s von 0. Nun kommt das Integral von a bis b über die Ableitung. a ist 0 und b ist 8. Nun kommt die Ableitung der Funktion. Die Ableitung vom Weg ist die Geschwindigkeit v. Die haben wir hier gegeben.

Das schreibst du nun hier rein. Und dahinter dt. s von 0 ist 0, da das Auto ja erst losfährt.

Zu Anfang hat es also noch keinen Weg zurückgelegt. Da hier kein Platz mehr ist, geht's auf der nächsten Seite weiter. Soweit waren wir schon.

Nun brauchst du eine Stammfunktion. Eine Stammfunktion von t hoch 3 ist ein Viertel t hoch 4. Statt wie sonst x, schreibst du also einfach t. Der Faktor minus ein Viertel bleibt erhalten. Eine Stammfunktion von t Quadrat ist ein Drittel t hoch 3. Der Faktor 3 kommt wieder davor.

Dann machst du eckige Klammern drumherum und überträgst die Integrationsgrenzen. Nun fasst du zusammen. Ein Viertel mal ein Viertel ist ein Sechzehntel.

Die Dreien kürzen sich und übrig bleibt t hoch 3. Nun setzt du für t die obere Grenze 8 ein. Also hier und hier. Dann kommt ein Minuszeichen und dann setzt du für t die untere Grenze 0 ein.

Also wieder hier und hier. Da das alles abgezogen werden soll, musst du es in Klammern setzen. Die Klammer wird allerdings 0. Den vorderen Teil gibst du in den Taschenrechner ein.

Das Ergebnis ist 256. Das bedeutet, nach 8 Sekunden hat das Auto 256 Meter zurückgelegt.