Flächen berechnen

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• Einführung
• Fläche zwischen Graph und x-Achse berechnen
• 1. Fall: Fläche liegt oberhalb der x-Achse
• 2. Fall: Fläche liegt unterhalb der x-Achse
• 3. Fall: Fläche liegt ober- und unterhalb der x-Achse
• Fläche zwischen 2 Graphen berechnen
• 1. Fall: Graphen schneiden sich nicht innerhalb des Integrationsintervalls
• 2. Fall: Graphen schneiden sich innerhalb des Integrationsintervalls
• Fläche zwischen Graph, Gerade und x-Achse berechnen
• Unbegrenzte Flächen berechnen

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Einführung

In der Geometrie nutzt man Formeln, um Flächeninhalte von Rechtecken, Dreiecken und Kreisen zu bestimmen. Doch wie lassen sich krummlinige Flächen berechnen, für die es keine Formeln gibt? Mit Hilfe von Integralen! Wie das möglich ist, siehst du in diesem Video!

Lösungsbeschreibung

Dieses Video ist eine kurze Einführung in die Berechnung von Flächen durch Integrale. Als Beispiel berechnen wir den Flächeninhalt dieses Rechtecks. Normalerweise rechnest du dafür einfach Länge mal Breite, in diesem Fall also 3 mal 2. Der Flächeninhalt beträgt somit 6 Flächeneinheiten.

fe brauchst du aber nicht unbedingt dazuschreiben. Eine Flächeneinheit ist so ein Quadrat der Länge 1. 6 solcher Quadrate ergeben das Rechteck. Bis hierhin war alles bekannt.

Jetzt zeige ich dir, wie du diesen Flächeninhalt auch mit einem Integral berechnen kannst. Dazu legst du eine Gerade entlang der Oberkante. Diese Gerade ist der Graph einer Funktion, nämlich der Funktion f von x gleich 2. Das bedeutet, egal welche Zahl du für x einsetzt, die y-Koordinate ist immer 2. Setzt du für x zum Beispiel 5 ein, ist die y-Koordinate 2. Setzt du für x 1 ein, dann genauso und so weiter.

Diese Gleichung beschreibt also die rote Gerade. Das Rechteck ist die Fläche zwischen der Gerade und der x-Achse in den Grenzen von x gleich 1 bis x gleich 4. Und diese Fläche kannst du auch mit einem Integral berechnen. Erst kommt das Integralsymbol, dann die Funktion und dahinter kommt immer dx.

Die untere Grenze 1 kommt hier hin und die obere Grenze 4 kommt hier hin. Prüfen wir mal, ob wirklich das gleiche rauskommt wie hier. Eine Stammfunktion von 2 ist 2x, denn die Ableitung von 2x ist 2. Das schreibst du in eckige Klammern und außen schreibst du wieder die Integrationsgrenzen dran.

Nun setzt du für x die obere Grenze 4 ein. Das macht 2 mal 4. Dann kommt ein Minuszeichen und nun setzt du für x die untere Grenze 1 ein. Das macht 2 mal 1. 2 mal 4 ist 8 und 2 mal 1 ist 2. 8 minus 2 ist 6. Also kommt tatsächlich das gleiche raus wie hier.

Schauen wir uns das nochmal genauer an. 2x war ja eine Stammfunktion. Für die Stammfunktion schreibt man Groß F von x. Dann haben wir 4 in die Stammfunktion eingesetzt.

Dann kam das Minuszeichen und dann haben wir 1 in die Stammfunktion eingesetzt. Den Graph dieser Stammfunktion siehst du hier. Hier ist das Rechteck, dessen Flächeninhalt wir berechnet haben.

Es wirkt jetzt nur kleiner, weil das Koordinatensystem größer ist. F von 4 liest du hier ab. Das ist 8. Und F von 1 liest du hier ab.

Das ist 2. Hier rechnest du 8 minus 2. Das entspricht genau dem Abstand dieser beiden Werte, nämlich 6. Und das entspricht dem Inhalt dieser Fläche. Testen wir doch mal, ob das auch für ein kleineres Rechteck funktioniert. Machen wir das Rechteck mal halb so groß, also 3 Flächeneinheiten.

Die obere Grenze ist nun 2,5. Groß F von 2,5 ist 5. Die untere Grenze ist unverändert. Groß F von 1 ist 2. Die Differenz von 5 und 2 ist 3. Es kommt also wieder der Flächeninhalt heraus.

Hier siehst du die entsprechende Rechnung. Statt 4 steht jetzt hier 2,5. F von 2,5 ist 5. Und 5 minus 2 ergibt den Flächeninhalt 3. Du kannst Flächeninhalte also auch mit Integralen berechnen.

Hier haben wir den Inhalt dieses Rechtecks berechnet. Genauso kannst du diese Fläche berechnen. Setze einfach diese Funktion hier ein und berechne das Integral.

Oder diese Fläche. Setze die Funktion hier ein und berechne das Integral. Die Integrationsgrenzen kannst du natürlich verändern.

Um diesen Flächeninhalt zu bestimmen, müsstest du hier eine 2 schreiben und hier eine 3.

Fläche zwischen Graph und x-Achse berechnen

Bei einer Fläche zwischen dem Graph einer Funktion und der x-Achse musst du unterscheiden, ob die Fläche ober- oder unterhalb der x-Achse liegt oder beides. Davon hängt der genaue Rechenweg ab. In diesem Video erfährst du, worauf du in diesen 3 Fällen achten musst.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video bekommst du einen Überblick, wie du Flächen zwischen einem Graphen und der x-Achse berechnest. Dabei gibt es drei Fälle, die ich dir nacheinander zeigen werde. Im einfachsten Fall liegt die Fläche oberhalb der x-Achse.

Ihren Flächeninhalt berechnest du mit folgendem Integral. Erst kommt das Integralsymbol, dann die Funktion f von x und dahinter dx. Die Fläche beginnt bei x gleich 0. Das wird die untere Grenze des Integrals.

Und die Fläche endet bei x gleich 2. Das wird die obere Grenze. Berechnest du das Integral, kommt in diesem Fall 4 raus. Der Flächeninhalt a ist genau dieser Wert.

Dahinter kannst du noch fe für Flächeneinheiten schreiben, musst du aber nicht. Auf die gleiche Weise kannst du diese Fläche berechnen. Jetzt sind die Integrationsgrenzen 0 und 1. Da die Fläche oberhalb der x-Achse liegt, liefert das Integral sofort den Flächeninhalt, nämlich zwei Flächeneinheiten.

Kommen wir zum zweiten Fall. Diesmal liegt die Fläche unterhalb der x-Achse. Berechnest du wie gerade eben das Integral von 0 bis 2 über f von x dx, kommt diesmal –4 raus.

Das Integral ist negativ, da die Fläche unterhalb der x-Achse liegt. Ein Flächeninhalt kann aber nicht negativ sein. Der Flächeninhalt ist der Betrag davon, also diese Zahl ohne das Minuszeichen.

Auf die gleiche Weise kannst du diese Fläche berechnen. Jetzt sind die Integrationsgrenzen 0,5 und 1,5. Da die Fläche unterhalb der x-Achse liegt, liefert das Integral einen negativen Wert.

Der gesuchte Flächeninhalt ist der Betrag davon. Nun kommen wir zum dritten Fall. Die Fläche, die du berechnen sollst, liegt nun teilweise oberhalb und teilweise unterhalb der x-Achse.

Insgesamt ist der Flächeninhalt 8. Das Integral ergibt aber 0. Würdest du nur von –2 bis 0 integrieren, käme 4 raus. Würdest du anschließend von 0 bis 2 integrieren, käme –4 raus. Und 4 – 4 ist 0. Deshalb kommt hier 0 raus, wenn du gleich von –2 bis 2 integrierst.

Das Integral ist in diesem Fall nämlich die Flächenbilanz. Und diese ist 0, da sich 4 und –4 ausgleichen. Willst du den Flächeninhalt wissen, musst du stattdessen beide Flächen getrennt berechnen und die Ergebnisse zusammenrechnen.

a ist also a1 plus a2. a1 ist 4 und a2 ist der Betrag von –4, also auch 4. Das ergibt zusammen 8 Flächeneinheiten. Bevor du losrechnest, bestimme zuerst die Nullstellen.

Hier sind die Nullstellen –2, 0 und 2. 2 und –2 stören nicht, da das schon Integrationsgrenzen sind. Doch diese Nullstelle liegt dazwischen. Wenn du über sie hinweg integrierst, wie hier, kommt ein falscher Flächeninhalt heraus.

Du musst das Intervall stattdessen an dieser Nullstelle splitten. Erst integrierst du bis 0 und dann integrierst du ab 0. Auf die gleiche Weise kannst du diese Fläche berechnen. Berechne die Flächenstücke wieder einzeln.

Dazu integrierst du zuerst von –1 bis 0 und dann von 0 bis 1,5. Um den Gesamtinhalt zu berechnen, addierst du beide Flächeninhalte. a1 ist das und a2 ist der Betrag hiervon, also rund 3,23.

Zusammen ergibt das rund 4,98 Flächeneinheiten. Würdest du gleich von –1 bis 1,5 integrieren, käme rund –1,48 raus und nicht der Flächeninhalt. Das ist die Flächenbilanz.

Die Fläche, die unterhalb der x-Achse liegt, ist um 1,48 Einheiten größer als die Fläche oberhalb der x-Achse. Somit ist das Integral negativ. Wenn du kein Schaubild zur Verfügung hast, berechne also zuerst die Nullstellen und achte darauf, nicht über eine Nullstelle hinweg zu integrieren.

Außer es handelt sich um eine doppelte Nullstelle, wie hier. Denn an einer doppelten Nullstelle wird die x-Achse nur berührt statt geschnitten. Deshalb liegen diese beiden Flächenstücke auf der gleichen Seite, in diesem Fall oberhalb der x-Achse.

Somit kannst du gleich von –1 bis 2 integrieren. Da die Fläche oberhalb der x-Achse liegt, entspricht das Integral dem Flächeninhalt. Zum Schluss möchte ich dir noch verschiedene Schreibweisen zeigen, wenn die Fläche unterhalb der x-Achse liegt.

Vorhin haben wir diese Schreibweise benutzt. Wir haben dieses Integral berechnet und für den Flächeninhalt den Betrag davon genommen. Genauso gut kannst du gleich das ganze Integral in Betragsstriche setzen.

Da das Integral –4 ergibt, steht hier dann Betrag von –4. Und das ist wieder 4. Somit kannst du A istgleich davor schreiben. Wenn du nicht auf den Betrag zurückgreifen willst, kannst du auch ein Minus vor das Integral schreiben.

Das Integral ergibt –4 und davor überträgst du dieses Minus. –-4 ist wieder 4. Bei diesen beiden Schreibweisen ist das Ergebnis gleich der Flächeninhalt. Bei dieser Schreibweise nicht.

Dennoch finde ich diese Schreibweise praktischer, vor allem wenn du noch gar nicht weißt, ob die Fläche unterhalb der x-Achse liegt.

1. Fall: Fläche liegt oberhalb der x-Achse

Das ist der einfachste Fall. Hier rechne ich dir ein komplettes Beispiel dazu vor.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, eine Fläche zu berechnen, die oberhalb der x-Achse liegt. Die Aufgabe lautet wie folgt. Der Graph der Funktion f mit f von x gleich 6x minus 3x² schließt mit der x-Achse im Intervall von 0 bis 2 eine Fläche ein.

Berechne ihren Inhalt. Bevor du loslegst, prüfe, ob in diesem Intervall Nullstellen von f liegen. Denn dann musst du das Intervall splitten.

Um die Nullstellen zu berechnen, setzt du die Funktion gleich Null. Hier kannst du x ausklammern. x mal 6 sind 6x und x mal minus 3x sind minus 3x².

Jetzt ist die linke Seite ein Produkt. Ein Produkt ist Null, wenn ein Faktor Null ist. Wenn dieser Faktor Null ist, ist diese Gleichung also erfüllt.

Genauso kann aber auch dieser Faktor Null sein. Löse hier einfach nach x auf. Rechne plus 3x und teile nun durch 3. 6 geteilt durch 3 ist 2. Hier habe ich noch die Seiten getauscht.

Nun prüfst du, ob die Nullstellen innerhalb dieses Intervalls liegen. Das ist nicht der Fall, da die Nullstellen genau den Grenzen entsprechen. Somit brauchst du das Intervall nicht zu splitten.

Nun berechnest du das Integral. Schreibe die Funktion ab und dahinter dx. Die Intervallgrenzen 0 und 2 kommen hier hin.

Die größere steht immer oben. Nun benötigst du eine Stammfunktion. Eine Stammfunktion von x ist ein halb x².

Die 6 schreibst du wieder davor. Eine Stammfunktion von x² ist ein Drittel x hoch 3. Die 3 kommt wieder davor und dazwischen überträgst du das Minuszeichen. Dann machst du eckige Klammern drumherum und überträgst die Integrationsgrenzen.

6 mal ein Halb ist 3 und 3 mal ein Drittel ist 1. Eine 1 kannst du weglassen. Nun setzt du für x die obere Grenze 2 ein. Also hier und hier.

Dann kommt ein Minuszeichen und dann setzt du für x die untere Grenze 0 ein. Also wieder hier und hier. Da das alles abgezogen werden soll, musst du es in Klammern setzen.

2 zum Quadrat ist 4 und 3 mal 4 ist 12. 2 hoch 3 ist 8. 0 zum Quadrat ist 0 und 3 mal 0 ist immer noch 0. Ebenso kommt hier 0 raus. Das kannst du gleich weglassen.

12 minus 8 ist 4. Da das Ergebnis positiv ist, entspricht es dem Flächeninhalt. Deshalb kannst du hier gleich ein großes A für Flächeninhalt davor schreiben. Hier siehst du das Schaubild zu dieser Aufgabe.

Die Nullstellen sind 0 und 2. Das waren auch die Integrationsgrenzen. Somit hast du die Fläche berechnet, die auf diesem Intervall von der x-Achse und dem Graphen begrenzt wird. Da die Fläche oberhalb der x-Achse liegt, ist das Integral positiv.

Das Ergebnis 4 kannst du grob überprüfen. Das sind schon mal zwei Flächeneinheiten und der Rest ergibt zwei weitere. Falls du zu der Aufgabe ein Schaubild wie dieses gegeben hast, brauchst du die Nullstellen nicht zu berechnen, sondern kannst sie einfach am Schaubild ablesen.

2. Fall: Fläche liegt unterhalb der x-Achse

Liegt die Fläche unterhalb der x-Achse, liefert das Integral ein negatives Ergebnis. Ein Flächeninhalt kann aber nicht negativ sein. Hier siehst du, was du in diesem Fall tun musst.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, eine Fläche zu berechnen, die unterhalb der x-Achse liegt. Die Aufgabe lautet wie folgt. Der Graph der Funktion f mit f von x gleich 3x²–6x schließt mit der x-Achse im Intervall von 0 bis 2 eine Fläche ein.

Berechne ihren Inhalt. Bevor du loslegst, prüfe, ob in diesem Intervall 0 Stellen von f liegen. Denn dann musst du das Intervall splitten.

Um die 0 Stellen zu berechnen, setzt du die Funktion gleich 0. Hier kannst du x ausklammern. Du könntest auch noch die 3 ausklammern, aber x reicht schon. x mal 3x sind 3x² und x mal –6 sind –6x.

Jetzt ist die linke Seite ein Produkt. Ein Produkt ist 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Wenn dieser Faktor 0 ist, ist diese Gleichung also erfüllt.

Genauso kann aber auch dieser Faktor 0 sein. Löse hier einfach nach x auf. Rechne plus 6 und teile nun durch 3. 6 geteilt durch 3 ist 2. Nun prüfst du, ob die 0 Stellen innerhalb dieses Intervalls liegen.

Das ist nicht der Fall, da die 0 Stellen genau den Grenzen entsprechen. Somit brauchst du das Intervall nicht zu splitten. Nun berechnest du das Integral.

Schreibe die Funktion ab und dahinter dx. Die Intervallgrenzen 0 und 2 kommen hier hin. Die größere steht immer oben.

Nun benötigst du eine Stammfunktion. Eine Stammfunktion von x² ist ⅓x³. Die 3 schreibst du wieder davor.

Eine Stammfunktion von x ist ½x². Die 6 kommt wieder davor und dazwischen überträgst du das Minuszeichen. Dann machst du eckige Klammern drumherum und überträgst die Integrationsgrenzen.

Die 3en kürzen sich und übrig bleibt x³. 6 und 2 kürzen sich zu 3. Nun setzt du für x die obere Grenze 2 ein, also hier und hier. Dann kommt ein Minuszeichen und dann setzt du für x die untere Grenze 0 ein, also wieder hier und hier.

Da das alles abgezogen werden soll, musst du es in Klammern setzen. 2³ ist 8. 2² ist 4 und 3 · 4 ist 12. 0³ ist 0, ebenso 3 · 0².

Das kannst du gleich weglassen. 8 – 12 ist –4. Ein Flächeninhalt kann aber nicht negativ sein.

Der Flächeninhalt a ist somit der Betrag von –4 und das ist 4. Hier siehst du das Schaubild zu dieser Aufgabe. Die Nullstellen sind 0 und 2. Das waren auch die Integrationsgrenzen. Somit hast du die Fläche berechnet, die auf diesem Intervall von der x-Achse und dem Graphen begrenzt wird.

Da die Fläche unterhalb der x-Achse liegt, ist das Integral negativ. Falls du zu der Aufgabe ein Schaubild wie dieses gegeben hast, brauchst du die Nullstellen nicht zu berechnen, sondern kannst sie einfach am Schaubild ablesen.

3. Fall: Fläche liegt ober- und unterhalb der x-Achse

In diesem Fall musst du das Integrationsintervall splitten. Andernfalls liefert dir das Integral nicht den Flächeninhalt, sondern die Flächenbilanz.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, eine Fläche zu berechnen, die teilweise ober- und teilweise unterhalb der x-Achse liegt. Die Aufgabe lautet wie folgt. Der Graph der Funktion f mit f von x gleich x hoch 3 minus 4x schließt mit der x-Achse im Intervall von minus 2 bis 2 eine Fläche ein.

Berechne ihren Inhalt. Bevor du loslegst, prüfe, ob in diesem Intervall Nullstellen von f liegen. Denn dann musst du das Intervall splitten.

Um die Nullstellen zu berechnen, setzt du die Funktion gleich Null. Hier kannst du x ausklammern. x mal x Quadrat sind x hoch 3 und x mal minus 4 ist minus 4x.

Jetzt ist die linke Seite ein Produkt. Ein Produkt ist Null, wenn ein Faktor Null ist. Wenn dieser Faktor Null ist, ist diese Gleichung also erfüllt.

Genauso kann aber auch dieser Faktor Null sein. Löse nun nach x auf. Rechne plus 4 und ziehe nun die Wurzel.

Das ergibt die beiden Lösungen 2 und minus 2. Nun prüfst du, ob die Nullstellen innerhalb dieses Intervalls liegen. 2 und minus 2 entsprechen genau den Grenzen. Das ist nicht problematisch.

Aber Null liegt dazwischen. Somit musst du das Intervall bei Null splitten. Berechne zunächst das Integral von minus 2 bis Null.

Schreibe die Funktion ab und dahinter dx. Nun benötigst du eine Stammfunktion. Eine Stammfunktion von x hoch 3 ist ein Viertel x hoch 4. Eine Stammfunktion von x ist ein Halb x Quadrat.

Die 4 schreibst du wieder davor und dazwischen überträgst du das Minuszeichen. Dann machst du eckige Klammern drumherum und überträgst die Integrationsgrenzen. 4 und 2 kürzen sich zu 2. Nun setzt du für x die obere Grenze 0 ein.

Also hier und hier. Dann kommt ein Minuszeichen und dann setzt du für x die untere Grenze minus 2 ein. Also wieder hier und hier.

Da das alles abgezogen werden soll, musst du es in Klammern setzen. 0 hoch 4 ist 0 und ein Viertel mal 0 ist immer noch 0. Ebenso kommt hier 0 raus. Das kannst du gleich weglassen.

Minus 2 hoch 4 ist 16 und minus 2 zum Quadrat ist 4. 4 und 16 kürzen sich zu 4 und 2 mal 4 ist 8. 4 minus 8 ist minus 4 und minus minus 4 ist 4. Da das Ergebnis positiv ist, entspricht es dem Flächeninhalt. Deshalb kannst du hier gleich A1 für den Inhalt der ersten Fläche davor schreiben. Hier siehst du das Schaubild zu dieser Aufgabe.

Die Nullstellen sind minus 2, 0 und 2. Die erste Fläche hast du nun berechnet. Dazu hast du von minus 2 bis 0 integriert. Da die Fläche oberhalb der x-Achse liegt, ist das Integral positiv.

Nun kommt noch das Integral von 0 bis 2. Die Rechnung ist im Prinzip die gleiche, nur dass du andere Zahlen einsetzt, nämlich 0 und 2. Das Ergebnis ist dann minus 4. Ein Flächeninhalt kann aber nicht negativ sein. Der Inhalt der zweiten Fläche ist somit der Betrag von minus 4 und das ist 4. Du kannst dir die Rechnung aber auch sparen. Offensichtlich ist diese Fläche nämlich genauso groß wie diese.

Das kannst du mit der Symmetrie begründen. Der Graph ist nämlich punktsymmetrisch zum Ursprung. Würdest du ihn wie einen Propeller drehen, würde er nach einer halben Drehung wieder genauso aussehen wie jetzt.

Am Funktionsterm erkennst du das daran, dass die Potenzen x³ und x beide ungerade sind. Somit muss A2 genauso groß sein wie A1, nämlich 4. Die Gesamtfläche ist dann A1 plus A2, also 4 plus 4 und das ergibt 8. Falls du zu der Aufgabe ein Schaubild gegeben hast, brauchst du die Nullstellen nicht zu berechnen, sondern kannst sie einfach am Schaubild ablesen.

Fläche zwischen 2 Graphen berechnen

Bei Flächen zwischen 2 Graphen brauchst du nicht darauf zu achten, ob sie ober- oder unterhalb der x-Achse liegen. Dafür musst du aber Schnittstellen der Graphen innerhalb des Integrationsintervalls berücksichtigen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video bekommst du einen Überblick, wie du Flächen zwischen zwei Graphen berechnest. Dabei gibt es zwei Fälle, die ich dir nacheinander zeigen werde. Im einfachsten Fall schneiden sich die Graphen nicht innerhalb des Integrationsintervalls.

Häufig geht das Intervall sogar von einer Schnittstelle zur anderen. Dazwischen schneiden sich die Graphen nicht nochmal. Den Flächeninhalt berechnest du mit folgendem Integral.

Erst kommt das Integralsymbol und dann der obere Graph. Das ist in diesem Fall f von x. Dann kommt ein Minuszeichen und dann der untere Graph, hier also g von x. Dahinter kommt wie üblich dx. Die Fläche beginnt bei x gleich minus 1. Das ist die untere Grenze.

Und die Fläche endet bei x gleich 2. Das ist die obere Grenze. Berechnest du das Integral, kommt in diesem Fall 9 raus. Der Flächeninhalt a ist genau dieser Wert.

Dahinter kannst du noch fe für Flächeneinheiten schreiben, musst du aber nicht. Aber was ist, wenn du nicht weißt, welcher Graph oben liegt? Kein Problem. Hätten wir die beiden Graphen vertauscht, käme hier minus 9 raus.

Dann nimmst du für den Flächeninhalt einfach den Betrag davon, also 9. Übrigens ist es völlig egal, ob die eingeschlossene Fläche ober- oder unterhalb der x-Achse liegt. Oder wie hier teilweise ober- und unterhalb. Schauen wir uns noch ein Beispiel dazu an.

Hier sollst du die Fläche zwischen den Graphen im Intervall von 0 bis Pi berechnen. Die Graphen berühren sich hier zwar, aber sie schneiden sich nicht. Deshalb kannst du gleich von 0 bis Pi integrieren.

Und erhältst den Inhalt dieser beiden Flächenstücke. Der Flächeninhalt ist Pi, also rund 3,14. Kommen wir zum zweiten Fall.

Diesmal schneiden sich die Graphen innerhalb des Integrationsintervalls. Der Inhalt dieser beiden Flächenstücke beträgt insgesamt rund 3,09. Das Integral ergibt aber nur 2,25.

Das liegt daran, dass der Graph von f nur bis zu dieser Schnittstelle oben liegt. Ab hier ist es umgekehrt. Nun ist der Graph von g oben und der Graph von f unten.

Würdest du nur von –1 bis 1 integrieren, käme rund 2,67 raus. Würdest du anschließend von 1 bis 2 integrieren, käme rund –0,42 raus. Und 2,67 – 0,42 ergibt genau 2,25.

Das Integral ist in diesem Fall nämlich die Flächenbilanz. Der Wert 2,25 bedeutet, dass diese Fläche um 2,25 Einheiten größer ist als diese. Willst du den Flächeninhalt wissen, musst du stattdessen beide Flächen getrennt berechnen und die Ergebnisse addieren.

a ist also a1 plus a2. a1 ist rund 2,67 und a2 ist der Betrag hiervon, also rund 0,42. Das ergibt zusammen rund 3,09 Flächeneinheiten.

Du hättest hier auch g von x minus f von x rechnen können. Dann wäre gleich der positive Wert 0,42 rausgekommen. Bevor du losrechnest, bestimme zuerst die Schnittstellen.

Hier sind die Schnittstellen –1, 1 und 2. 2 und –1 stören nicht, da das schon Integrationsgrenzen sind. Doch diese Schnittstelle liegt dazwischen. Wenn du über sie hinweg integrierst, wie hier, kommt ein falscher Flächeninhalt heraus.

Du musst das Intervall stattdessen an dieser Schnittstelle splitten. Erst integrierst du bis 1 und dann integrierst du ab 1.

1. Fall: Graphen schneiden sich nicht innerhalb des Integrationsintervalls

Das ist der einfachste Fall. Hier siehst du eine Beispielrechnung dazu.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, eine Fläche zwischen zwei Graphen zu berechnen. Die Aufgabe lautet wie folgt. Der Graph der Funktion f mit f von x gleich 2x minus 2 und der Graph der Funktion g mit g von x gleich x² minus 2 begrenzen eine Fläche.

Berechne ihren Inhalt. Wenn keine Integrationsgrenzen angegeben sind, musst du die Schnittstellen von f und g bestimmen. Das sind dann die Integrationsgrenzen.

Dazu setzt du die beiden Funktionen gleich. Also f von x gleich g von x. f von x ist ja 2x minus 2. Und g von x ist x² minus 2. Bringe nun alles auf eine Seite. Um 2x rüberzubringen, rechnest du minus 2x.

Und um minus 2 rüberzubringen, rechnest du plus 2. Hier habe ich noch die Seiten getauscht. Diese Seite ist also 0. Minus 2 plus 2 hebt sich auf. Somit bleibt x² minus 2x übrig.

Hier kannst du x ausklammern. x mal x sind x² und x mal minus 2 sind minus 2x. Jetzt ist die linke Seite ein Produkt.

Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist. Wenn dieser Faktor 0 ist, ist diese Gleichung also erfüllt. Genauso kann aber auch dieser Faktor 0 sein.

Rechne plus 2 und du erhältst x² gleich 2. Die Graphen schneiden sich also an den Stellen 2 und 0. Dazwischen begrenzen sie eine Fläche, die wir jetzt berechnen. Hier siehst du nochmal die Funktionen f und g und die Schnittstellen, die wir gerade herausgefunden haben. Nun integrierst du von Schnittstelle zu Schnittstelle.

Da 0 kleiner ist als 2, ist das die untere Grenze und 2 ist die obere Grenze. Nun kommt f von x minus g von x dx. f von x ist 2x minus 2. Dann überträgst du das Minuszeichen und g von x ist x² minus 2. Da das alles abgezogen werden soll, musst du es in Klammern setzen.

Löse als nächstes die Klammer auf. Durch das Minus davor ändern sich alle Vorzeichen. Aus x² wird minus x² und aus minus 2 wird plus 2. Minus 2 plus 2 fällt weg.

Übrig bleibt 2x minus x². Nun benötigst du eine Stammfunktion. Eine Stammfunktion von x ist ein halb x².

Die 2 kommt wieder davor. Und eine Stammfunktion von x² ist ein Drittel x hoch 3. Das Minus überträgst du einfach. Dann machst du eckige Klammern drumherum und überträgst die Integrationsgrenzen.

Die 2 kürzen sich, übrig bleibt hier x². Nun setzt du für x die obere Grenze 2 ein, also hier und hier. Dann kommt ein Minuszeichen und dann setzt du für x die untere Grenze 0 ein, also wieder hier und hier.

Da das alles abgezogen werden soll, musst du es in Klammern setzen. 2² ist 4. 2 hoch 3 ist 8. Somit macht das Minus 8 Drittel. 0² ist 0. Ebenso kommt hier 0 raus.

Das kannst du gleich weglassen. Bringe die 4 auf Drittel. Dazu rechnest du 3 mal 4 und schreibst das Ergebnis 12 in den Zähler.

12 geteilt durch 3 ist ja 4. 12 minus 8 ist 4. Und der Nenner 3 wird beibehalten. Da das Ergebnis positiv ist, entspricht es dem Flächeninhalt. Deshalb kannst du hier gleich ein großes A für Flächeninhalt davor schreiben.

Wäre das Ergebnis negativ, wäre das auch nicht schlimm. Der gesuchte Flächeninhalt wäre dann einfach der Betrag davon. Hier siehst du das Schaubild zu dieser Aufgabe.

Die Graphen schneiden sich bei x gleich 0 und bei x gleich 2. Dazwischen schließen sie die markierte Fläche ein. Deshalb sind die Schnittstellen die Integrationsgrenzen. In diesem Fall liegt der Graph von f oben und der von g unten.

Deshalb ergibt das Integral gleich den Flächeninhalt 4 Drittel. Das sind rund 1,3. Falls du zu der Aufgabe ein Schaubild wie dieses gegeben hast, brauchst du die Schnittstellen nicht zu berechnen, sondern kannst sie einfach am Schaubild ablesen.

2. Fall: Graphen schneiden sich innerhalb des Integrationsintervalls

In diesem Fall musst du das Intervall an der Schnittstelle splitten. Wie das genau geht, siehst du in diesem Video.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, eine Fläche aus mehreren Stücken zwischen zwei Graphen zu berechnen. Die Aufgabe lautet wie folgt. Der Graph der Funktion f mit f von x gleich x hoch 3 und der Graph der Funktion g mit g von x gleich x schließen eine Fläche ein, berechnen ihren Inhalt.

Wenn keine Integrationsgrenzen angegeben sind, musst du die Schnittstellen von f und g bestimmen. Das sind dann die Integrationsgrenzen. Dazu setzt du die beiden Funktionen gleich, also f von x gleich g von x. f von x ist ja x hoch 3 und g von x ist x. Rechne minus x, um alles auf eine Seite zu bringen.

Nun kannst du x ausklammern. x mal x Quadrat sind x hoch 3 und x mal minus 1 ist minus x. Jetzt ist die linke Seite ein Produkt. Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist.

Wenn dieser Faktor 0 ist, ist diese Gleichung also erfüllt. Genauso kann aber auch dieser Faktor 0 sein. Rechne plus 1 und ziehe nun die Wurzel.

Die Wurzel aus x Quadrat ergibt immer zwei Lösungen, in diesem Fall 1 und minus 1. Die Graphen schneiden sich also an den Stellen 0, 1 und minus 1. Dazwischen begrenzen sie zwei Flächenstücke, die wir jetzt berechnen. Hier siehst du nochmal die Funktionen f und g und die Schnittstellen, die wir gerade berechnet haben. Nun integrierst du von Schnittstelle zu Schnittstelle.

Minus 1 ist der kleinste Wert. Dann kommt 0 und dann kommt 1. Zuerst integrierst du deshalb von minus 1 bis 0 und dann nochmal von 0 bis 1. Beginnen wir mit dem Integral von minus 1 bis 0. Nun kommt f von x minus g von x dx. f von x ist x hoch 3. Dann überträgst du das Minuszeichen.

Und g von x ist x. Nun benötigst du eine Stammfunktion. Eine Stammfunktion von x hoch 3 ist ein Viertel x hoch 4. Das Minus überträgst du einfach. Und eine Stammfunktion von x ist ein Halb x Quadrat.

Nun setzt du für x die obere Grenze 0 ein, also hier und hier. Dann kommt ein Minuszeichen und dann setzt du für x die untere Grenze minus 1 ein, also wieder hier und hier. Da das alles abgezogen werden soll, musst du es in Klammern setzen.

0 hoch 4 ist 0 und irgendwas mal 0 ist immer noch 0. Ebenso kommt hier 0 raus. Das kannst du gleich weglassen. Minus 1 hoch 4 ist 1 und ein Viertel mal 1 ist ein Viertel.

Minus 1 zum Quadrat ist 1 und ein Halb mal 1 ist ein Halb. Der Hauptnenner ist 4. Erweitere ein Halb daher mit 2. 1 mal 2 ist 2. Ein Viertel minus zwei Viertel ist minus ein Viertel. Und minus minus ein Viertel ist ein Viertel.

Das erste Flächenstück hat somit den Flächeninhalt ein Viertel, also 0,25. Auf die gleiche Weise berechnest du nun das zweite Flächenstück. Diesmal integrierst du von 0 bis 1. Bis auf die Integrationsgrenzen ist hier alles gleich.

Nun setzt du für x die obere Grenze 1 ein, also hier und hier. Dann kommt ein Minuszeichen und dann setzt du für x die untere Grenze 0 ein, also wieder hier und hier. Da das alles abgezogen werden soll, musst du es in Klammern setzen.

1 hoch 4 ist 1 und ein Viertel mal 1 ist ein Viertel. 1 zum Quadrat ist 1 und ein Halb mal 1 ist ein Halb. Die Klammer wird 0. Das kannst du gleich weglassen.

Der Hauptnenner ist wieder 4. Erweitere ein Halb daher mit 2. Ein Viertel minus zwei Viertel ist minus ein Viertel. Da ein Flächeninhalt nicht negativ sein kann, musst du den Betrag davon nehmen. Das ist einfach diese Zahl ohne das Minuszeichen.

Ein Viertel ist das gleiche wie 0,25. Du hättest hier auch f von x und g von x vertauschen können. Dann wäre gleich ein Viertel herausgekommen.

Aber dann hättest du hier überall die Reihenfolge ändern müssen. Hier siehst du das Schaubild zu dieser Aufgabe. Die Graphen schneiden sich bei x gleich minus 1, bei x gleich 0 und bei x gleich 1. Dazwischen schließen sie die zwei markierten Flächenstücke ein.

Deshalb sind die Schnittstellen die Integrationsgrenzen. Beide Flächenstücke sind gleich groß, nämlich 0,25. Um den Gesamtinhalt zu berechnen, addierst du die beiden Werte.

Das ergibt 0,5. In diesem Intervall liegt der Graph von f oben und der von g unten. Hier ist es genau umgekehrt.

Da wir hier beim Integrieren somit untere Funktion minus obere Funktion gerechnet haben, kam ein negativer Wert raus. Du kannst nicht direkt von minus 1 bis 1 integrieren. Das Integral wäre die Flächenbilanz und somit 0, da beide Flächen gleich groß sind.

Falls du zu der Aufgabe ein Schaubild wie dieses gegeben hast, brauchst du die Schnittstellen nicht zu berechnen, sondern kannst sie einfach am Schaubild ablesen.

Fläche zwischen Graph, Gerade und x-Achse berechnen

Viele Schüler sind erstmal ratlos, wenn sie vor solch einer Aufgabe sitzen. Irgendwie scheint sich die Fläche nicht mit den bekannten Methoden berechnen zu lassen. Entweder fehlt ein Stück oder es ist ein Stück zu viel. Mit diesem Trick löst du das Problem.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Fläche zwischen einem Graphen einer Gerade und der X-Achse berechnest. Dazu habe ich dir zwei Beispiele mitgebracht. Als erstes wollen wir diese Fläche berechnen.

Wenn du einfach die Fläche zwischen Graph und X-Achse berechnen würdest, wäre das offensichtlich zu viel. Dann müsstest du noch diese kleine Fläche berechnen und von der anderen abziehen. Einfacher geht es aber wie folgt.

Du kannst die gesuchte Fläche nämlich in zwei Stücke unterteilen. Das ist eine Fläche zwischen Graph und X-Achse und das ist ein rechtwinkliges Dreieck. Nun berechnest du die zwei Flächenstücke einzeln und addierst die Ergebnisse.

a ist also a1 plus a2. a1 ist das Integral von 0 bis 2 über f von x dx. Das ergibt 7,3 Periode 3. Periode 3 bedeutet, dass nach dem Komma unendlich viele 3 kommen.

a2 ist die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks. Die ist wirklich ganz leicht zu berechnen. Erstmal kannst du dir vorstellen, das Dreieck zu einem Rechteck zu ergänzen.

Der Flächeninhalt davon ist Länge mal Breite, also 1 mal 4. Das Dreieck ist genau die Hälfte des Rechtecks, deshalb musst du noch durch 2 teilen. 1 mal 4 ist 4 und 4 geteilt durch 2 ist 2. Nun addierst du beide Werte. 7,3 Periode 3 plus 2 macht 9,3 Periode 3. Das ist der Inhalt der gesamten gelben Fläche.

Als zweites Beispiel berechnen wir diese Fläche. Zunächst könnte man denken, das wäre die Fläche zwischen dem roten Graphen und der blauen Gerade. Aber diese Fläche würde hier unten noch weiter gehen.

Eine einfache Möglichkeit, die gesuchte Fläche zu berechnen, ist folgende. Erst berechnest du diese Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse. Nennen wir diese große Fläche mal a1.

Und dann ziehst du davon den Flächeninhalt a2, das Dreiecks, ab. Denn dann bleibt ja die gesuchte Fläche übrig. a ist also a1 minus a2.

a1 ist das Integral von 2 bis 4 über f von x dx. Das ergibt 3,3 Periode 3. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist wie zuvor 1 mal 4 geteilt durch 2. Und das ergibt 2. a ist also 3,3 Periode 3 minus 2. Und das macht 1,3 Periode 3.

Unbegrenzte Flächen berechnen

Flächen, die ins Unendliche reichen, müssen nicht automatisch unendlich groß werden. Sie können trotzdem einen endlichen Flächeninhalt haben. So findest du heraus, ob das der Fall ist.

Lösungsbeschreibung

So untersuchst du, ob eine ins Unendlich reichende Fläche einen endlichen Flächeninhalt hat. Als Beispiel lösen wir folgende Aufgabe. Der Graph der Funktion f mit f von x gleich e hoch minus 0,5x, die x- und die y-Achse, begrenzen eine nach rechts offene Fläche.

Untersuche, ob diese Fläche einen endlichen Inhalt hat. Hier siehst du den Graph der Funktion f. Hier ist die x-Achse und hier ist die y-Achse. Somit muss diese Fläche gemeint sein.

Bei dieser e-Funktion ist die x-Achse eine waagerechte Asymptote. Das bedeutet, der Graph nähert sich ihr immer weiter an, aber berührt sie nie. Deshalb hat diese Fläche kein Ende, sondern geht immer weiter nach rechts.

Dabei wird dieses Stück immer schmaler. Deshalb kann es sein, dass der Flächeninhalt ein endlicher Wert ist, obwohl die Fläche unendlich weiter geht. Damit du dir vorstellen kannst, dass das möglich ist, nehmen wir zum Vergleich die Zahl 1,9.

Und jetzt hängst du immer mehr Neunen dran. Das heißt, die Zahl wird immer größer. Doch wird diese Zahl jemals größer als 2? Nein! Ob das bei dieser Fläche auch so ist, wollen wir jetzt herausfinden.

Dazu schneidest du die Fläche erstmal ab, zum Beispiel hier. Diese Stelle nennst du z. Nun berechnest du den Flächeninhalt dieser abgeschlossenen Fläche. Diesen bezeichnest du am besten mit a von z, weil das Ergebnis keine Zahl ist, sondern ein Ausdruck, der noch von z abhängt.

Nun integrierst du von 0 bis z. Hier schreibst du einfach die Funktion aus der Aufgabe ab. Und dahinter kommt wie üblich dx. Nun benötigst du eine Stammfunktion.

Diese erhältst du durch lineare Substitution. Dazu schreibst du diesen Ausdruck ab. Und davor kommt 1 durch das, was vor dem x steht.

Dann machst du eckige Klammern drumherum und überträgst die Integrationsgrenzen. 0,5 passt zweimal in 1 hinein. Das Minus kannst du ganz vorn hinschreiben.

Zur Probe kannst du die Ableitung hiervon bilden. Das muss diesen Ausdruck ergeben. Nun setzt du für x die obere Grenze z ein.

Dann kommt ein Minuszeichen. Und dann setzt du für x die untere Grenze 0 ein. Das kannst du abschreiben.

Minus 0,5 mal 0 ist 0. Und e hoch 0 ist 1. Minus 2 mal 1 ist minus 2. Und minus minus 2 ist plus 2. Wenn du jetzt für z 2,5 einsetzt, kannst du ausrechnen, wie groß diese Fläche ist. Aber das interessiert uns nicht. Stattdessen lassen wir z jetzt gegen unendlich laufen.

Wir machen die Fläche also immer größer und schauen, ob dieser Wert dennoch gegen eine feste Zahl geht. Bilde dazu den Limes für z gegen unendlich von A von z. Hierfür setzt du den Ausdruck ein, den du gerade bestimmt hast. Ist der Exponent negativ wie hier, kannst du das Ganze als Bruch schreiben.

Das kommt in den Nenner, und zwar ohne das Minuszeichen. Und die 2 kannst du in den Zähler schreiben. Die e-Funktion ist streng monoton steigend.

Wenn z also gegen unendlich geht, geht auch e hoch 0,5z gegen unendlich. Wenn aber der Nenner eines Bruchs gegen unendlich geht, geht der Bruch gegen 0. Dann spielt auch das Minus hiervor keine Rolle. 0 plus 2 macht 2. Somit geht der Flächeninhalt gegen einen endlichen Wert, obwohl die Fläche ins Unendliche reicht.

Die Fläche hat den Inhalt 2. Gäbe es kein Grenzwert wie hier die 2, würde die Fläche unendlich groß werden.