Tipps zum Rechnen mit Integralen
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Faktorregel
Konstante Faktoren (Zahlen) darfst du vor das Integral ziehen sowie aus der Stammfunktion ausklammern.
Lösungsbeschreibung
Die Faktorregel kann dir das Rechnen mit Integralen erleichtern. Du darfst konstante Faktoren nämlich vor das Integral ziehen. In diesem Beispiel darfst du also die 2 vor das Integral ziehen.
Eine Stammfunktion von cos x ist sin x. Die 2 schreibst du einfach wieder davor. Und dahinter schreibst du wie üblich plus c. Die Faktorregel gilt auch für bestimmte Integrale. Hier integrieren wir die gleiche Funktion im Intervall von 0 bis pi halbe.
Die 2 darfst du wieder vor das Integral ziehen. Eine Stammfunktion von cos x ist sin x. Das schreibst du wie üblich in eckige Klammern. Außen kommen wieder die Integrationsgrenzen dran.
Und die 2 kommt wieder davor. Nun setzt du für x die obere Grenze pi halbe ein. Dann kommt ein Minuszeichen und dann setzt du für x die untere Grenze 0 ein.
Das alles soll mit 2 multipliziert werden. Deshalb musst du es in Klammern setzen. Sinus von pi halbe ist 1 und Sinus von 0 ist 0. 1 minus 0 macht 1 und 2 mal 1 macht 2. Außerdem darfst du konstante Faktoren aus der Stammfunktion ausklammern.
Als Beispiel berechnen wir das Integral von 0 bis 3 über x² dx. Eine Stammfunktion von x² ist ein Drittel x hoch 3. Das schreibst du wie üblich in eckige Klammern. Außen kommen wieder die Integrationsgrenzen dran.
Nun darfst du den Faktor 1 Drittel rausziehen. Setze nun für x die obere Grenze 3 ein. Dann kommt ein Minuszeichen und dann setzt du für x die untere Grenze 0 ein.
Das alles soll mit 1 Drittel multipliziert werden. Deshalb musst du es in Klammern setzen. 3 hoch 3 ist 27.
0 hoch 3 ist immer noch 0. 27 minus 0 ist 27 und ein Drittel mal 27 ist das gleiche wie 27 geteilt durch 3, nämlich 9.
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Summenregel
Du darfst Integrale "auseinander oder zusammenziehen".
Lösungsbeschreibung
Die Summregel kann dir das Rechnen mit Integralen erleichtern. Du darfst Integrale nämlich auseinander oder zusammenziehen. Schauen wir uns zwei Beispiele dazu an.
Hier integrierst du die Funktion Sinus X plus Cosinus X. Das ist eine Summe aus den Funktionen Sinus X und Cosinus X. Deshalb darfst du diese beiden Funktionen auch einzeln integrieren und dann davon die Summe bilden. Würde hier ein Minuszeichen stehen, müsstest du auch hier ein Minuszeichen schreiben. Umgekehrt dürftest du natürlich auch diese beiden Integrale zu einem Integral zusammenziehen.
Die Summregel gilt auch für bestimmte Integrale. Sind die Integrationsgrenzen gleich, kannst du die beiden Integrale zusammenziehen. Du schreibst also nur ein Integral.
Erst kommt 2X, dann überträgst du das Rechenzeichen, dann kommt die 1 und dahinter wie üblich dx. Würde hier ein Pluszeichen stehen, müsstest du auch hier ein Pluszeichen schreiben. Durch das Zusammenfassen wird die Rechnung übersichtlicher und du sparst dir etwas Schreibarbeit.
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Intervalle zusammenfassen
Du darfst angrenzende Intervalle zusammenfassen, wenn du über die gleiche Funktion integrierst.
Lösungsbeschreibung
Hier kommt ein weiterer Tipp zum Rechnen mit Integralen. Du darfst angrenzende Intervalle zusammenfassen. Hier sollst du über die gleiche Funktion integrieren, und zwar von 0 bis 1 und von 1 bis 3. Anschließend sollst du die Ergebnisse zusammenrechnen.
Das ist aber unnötige Schreibarbeit. Da dieses Intervall genau dort beginnt, wo dieses Intervall aufhört, kannst du beide Intervalle zu einem großen Intervall zusammenfassen. Dieses große Intervall geht dann von 0 bis 3.
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