Trigonometrische Gleichungen

Springe zu den Inhalten

• Was sind trigonometrische Gleichungen?
• Die Sinusfunktion
• Die Kosinusfunktion
• Die Tangensfunktion
• Wie lese ich eine Wertetabelle?
• Kannst du mir den Einheitskreis erklären?
• Wie löse ich eine trigonometrische Gleichung?
• Trigonometrische Gleichungen lösen mit der Umkehrfunktion
• Trigonometrische Gleichungen lösen durch Substitution
• Trigonometrische Gleichungen lösen durch Substitution und die pq-Formel / abc-Formel / Mitternachtsf
• Winkelfunktionen ineinander umformen

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Was sind trigonometrische Gleichungen?

In trigonometrischen Gleichungen kommen die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus oder Tangens vor.

Lösungsbeschreibung

Hier siehst du einige Beispiele für trigonometrische Gleichungen. In trigonometrischen Gleichungen kommen die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus oder Tangens vor. Manchmal werden sie sogar quadriert und manchmal kommen verschiedene Winkelfunktionen in einer Gleichung vor.

Die Sinusfunktion

Was muss ich über die Winkelfunktionen wissen? Von allen 3 Winkelfunktionen solltest du die Periode und die Nullstellen wissen. Außerdem solltest du die Graphen skizzieren können. Bei Sinus und Kosinus solltest du außerdem den Wertebereich und beim Tangens den Definitionsbereich kennen. All das zeige ich dir in den folgenden 3 Videos.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video stelle ich dir die Sinusfunktion vor. Hier siehst du den Graph der Sinusfunktion. Als erstes geht es um die Einteilung der x-Achse.

Hier liegt Pi. Die Kreiszahl Pi ist eine irrationale Zahl. Merke dir, dass Pi rund 3,14 ist.

Wenn hier Pi ist, dann müssen hier logischerweise 2 Pi sein. Hier sind Pi Halbe, hier sind 3 Halbe Pi und so weiter. Das ist die Einteilung der x-Achse im Bogenmaß.

Genauso gut können wir sie im Gradmaß einteilen. Pi entspricht 180°. Folglich sind hier 360°, hier sind 90° und so weiter.

Die Sinusfunktion hat die Periode 2 Pi. Das bedeutet, nach 2 Pi wiederholt sich der Kurvenverlauf. Du könntest also diesen Abschnitt des Graphen kopieren und immer wieder davor und dahinter anfügen.

Die Nullstellen liegen bei 0, Pi, 2 Pi, –Pi, –2 Pi und so weiter. Da die Sinusfunktion periodisch ist, hat sie unendlich viele Nullstellen, die wir nicht alle einzeln aufschreiben können. Da die Nullstellen aber vielfache von Pi sind, können wir einfach K mal Pi schreiben, wobei K eine beliebige ganze Zahl ist.

Setzt du für K 1 ein, erhältst du die Nullstelle Pi. Setzt du für K –2 ein, erhältst du die Nullstelle –2 Pi und so weiter. Wichtig bei der Sinusfunktion ist noch der Wertebereich.

Alle Funktionswerte liegen nämlich zwischen –1 und 1, die Grenzen eingeschlossen. Der Graph bewegt sich nur innerhalb der orangen Linien. Ein paar Funktionswerte solltest du auswendig wissen oder dir herleiten können.

Zum Beispiel den Sinus von 90°. Dazu suchst du 90° auf der x-Achse, gehst hoch auf den Funktionsgraphen und rüber zur y-Achse. Dort liest du den zugehörigen Funktionswert 1 ab.

Sinus von 90° ist also 1. 90° entsprechen Pi halbe im Bogenmaß. Also ist Sinus von Pi halbe ebenfalls 1. Den Sinus von 90° bzw. von Pi halbe kannst du auch mit deinem Taschenrechner ausrechnen.

Je nachdem, ob du im Gradmaß oder im Bogenmaß rechnen willst, musst du deinen Taschenrechner entsprechend einstellen. Was bei dir eingestellt ist, erkennst du oben im Display. Der Buchstabe D oder die Abkürzung DEG stehen für den englischen Begriff degree, also Grad.

Der Buchstabe R oder die Abkürzung Rad steht für Bogenmaß. Wie du deinen Taschenrechner umstellst, steht in der Bedienungsanleitung. Die meisten Taschenrechner muss man vorher umstellen.

Bei manchen kann man die Einheit aber auch direkt eingeben. Weitere wichtige Werte sind Sinus von 0° bzw. Sinus von 0 ist 0, denn hier hat der Graph eine Nullstelle.

Ebenso bei 180° bzw. bei Pi und bei 360° bzw. bei 2Pi.

Der Sinus von 270° bzw. 3 halbe Pi ist –1. Es macht wenig Sinn, diese Werte auswendig zu lernen.

Besser ist es, wenn du sie dir herleiten kannst, indem du den Graphen der Sinusfunktion skizzierst oder den Einheitskreis zur Hilfe nimmst. Den Einheitskreis zeige ich dir in einem anderen Video.

Die Kosinusfunktion

Lösungsbeschreibung

In diesem Video stelle ich dir die Cosinus-Funktion vor. Im letzten Video haben wir die Sinus-Funktion besprochen, deren Graph hier rot dargestellt ist. Verschiebst du diesen Graph um Pi halbe nach links, erhältst du den Graph der Cosinus-Funktion und umgekehrt.

Die Periode und der Wertebereich der Cosinus-Funktion und der Sinus-Funktion sind gleich. Die Periode ist 2Pi, das bedeutet, nach 2Pi wiederholt sich der Kurvenverlauf. Du könntest also diesen Abschnitt des Graphen kopieren und immer wieder davor und dahinter anfügen.

Die Funktionswerte liegen zwischen –1 und 1, die Grenzen eingeschlossen. Der Graph bewegt sich nur innerhalb der orangen Linien. Die Nullstellen liegen bei Pi halbe, 3 halbe Pi, –Pi halbe, –3 halbe Pi und so weiter.

Da die Cosinus-Funktion periodisch ist, hat sie unendlich viele Nullstellen, die wir nicht alle einzeln aufschreiben können. Der Abstand zwischen zwei benachbarten Nullstellen ist jedoch immer Pi. Also erreichst du jede beliebige Nullstelle, indem du von Pi halbe aus in Schritten der Länge Pi immer weiter nach rechts oder nach links gehst.

Das schreibt man so auf. Die Nullstellen sind Pi halbe plus kPi, wobei k eine beliebige ganze Zahl ist. k ist im Prinzip die Anzahl der Schritte und ein Schritt hat die Länge Pi.

Ist k positiv, gehst du nach rechts, ist k negativ, gehst du nach links. Setzt du für k zum Beispiel die Zahl 1 ein, erreichst du die Nullstelle 3 halbe Pi. Setzt du für k die Zahl –1 ein, erreichst du die Nullstelle –Pi halbe.

Setzt du für k die Zahl –0 ein, bleibst du bei der Nullstelle –Pi halbe. Ein paar Funktionswerte solltest du auswendig wissen oder dir herleiten können, zum Beispiel den Kosinus von 0°. Dazu suchst du 0° auf der x-Achse, gehst hoch auf den Funktionsgrafen und liest den zugehörigen Funktionswert auf der y-Achse ab.

Kosinus von 0° ist 1. 0° ist auch 0 im Bogenmaß, also ist Kosinus von 0 ebenfalls 1. Da die Kosinusfunktion die Periode 2Pi hat, ist auch Kosinus von 2Pi gleich 1. Da 2Pi 360° entsprechen, gilt Kosinus von 360° gleich 1. Weitere wichtige Werte sind Kosinus von 90° bzw. Kosinus von Pi halbe ist 0, denn hier hat der Graph eine Nullstelle. Ebenso bei 270° bzw.

bei 3 halbe Pi. Der Kosinus von 180° bzw. Pi ist –1.

Es macht wenig Sinn, diese Werte auswendig zu lernen. Besser ist es, wenn du sie dir herleiten kannst, indem du den Graphen der Kosinusfunktion skizzierst oder den Einheitskreis zur Hilfe nimmst. Den Einheitskreis zeige ich dir in einem anderen Video.

Die Tangensfunktion

Lösungsbeschreibung

Die dritte wichtige Winkelfunktion ist der Tangens. Der Tangens eines Winkels x ist Sinus x durch Cosinus x. Du brauchst aber nicht jedes Mal diese Formel zu benutzen. Mit Wertetabellen oder dem Taschenrechner kannst du den Tangens direkt bestimmen.

Kommen wir als erstes zum Definitionsbereich. Wie du weißt, darf der Nenner eines Bruchs nie 0 werden. Wir müssen also alle x ausschließen, für die Cosinus x 0 ist.

Das sind gerade die Nullstellen der Cosinus-Funktion. Diese sind Pi halbe plus kPi, wie ich dir im letzten Video gezeigt habe. Da der Tangens an diesen Stellen nicht definiert ist, hat er dort Asymptoten, wie hier rot dargestellt.

Die Nullstellen der Tangensfunktion sind 2Pi, Pi, 0, –Pi, –2Pi und so weiter. Das sind genau die Nullstellen der Sinus-Funktion. Dafür schreibt man kPi, wie ich dir im Video zur Sinus-Funktion gezeigt habe.

Kommen wir nun zur Periode der Tangensfunktion. Offensichtlich könnte man diesen Abschnitt des Graphen kopieren und immer wieder davor und dahinter anfügen. Dieser Abschnitt hat die Länge Pi.

Somit ist die Periode Pi.

Wie lese ich eine Wertetabelle?

In jeder Formelsammlung ist eine Wertetabelle der Winkelfunktionen abgedruckt. Darin findest du die wichtigsten Werte der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion. In diesem Video zeige ich dir, wie du die Wertetabelle richtig liest und dazu benutzen kannst, Gleichungen zu lösen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Wertetabelle liest. Solch eine Wertetabelle ist in deiner Formelsammlung abgedruckt. Es kann aber sein, dass deine Wertetabelle umfangreicher ist oder aber weniger Werte enthält als diese.

Hier siehst du die Winkel im Gradmaß und im Bogenmaß. Und hier die entsprechenden Werte der Sinusfunktion und der anderen Winkelfunktionen Cosinus und Tangens. Jetzt zeige ich dir am Beispiel der Sinusfunktion, wie du eine solche Wertetabelle liest.

Die Zeilen für Cosinus und Tangens habe ich daher ausgeblendet. Angenommen, du möchtest wissen, was der Sinus von 30° ist. Dann suchst du in der Zeile mit den Winkeln 30° und liest hier den zugehörigen Wert der Sinusfunktion ab.

Der Sinus von 30° ist ein Halb. 30° sind im Bogenmaß Pi Sechstel. Somit ist auch der Sinus von Pi Sechstel ein Halb.

Du kannst die Wertetabelle auch dazu benutzen, Gleichungen zu lösen. Angenommen, du möchtest diese Gleichung lösen. Dann musst du die Wertetabelle genau umgekehrt lesen.

Denn diesmal hast du den Wert der Sinusfunktion gegeben und suchst den zugehörigen Winkel x. Du suchst den Wert ein Halb in der Zeile mit den Sinuswerten und gehst dann hoch, um den zugehörigen Winkel abzulesen. Die erste Lösung ist somit Pi Sechstel oder 30°. Denke daran, dass es bei Sinus und Cosinus immer noch eine zweite Lösung gibt.

In diesem Fall ist die zweite Lösung 5 Sechstel Pi beziehungsweise 150°. Die zweite Lösung muss aber nicht automatisch mit abgedruckt sein. Würdest du in der Tabelle keine zweite Lösung finden, müsstest du diese von Hand berechnen.

Bei Sinus rechnest du dazu Pi-x1 und bei Cosinus rechnest du dazu 2Pi-x1.

Kannst du mir den Einheitskreis erklären?

Hast du auch nichts kapiert, als dein Lehrer versucht hat, dir den Einheitskreis zu erklären? Dann ist dieses Video für dich! Die Werte der Sinus- und Kosinusfunktion lassen sich auf verblüffende Weise am Einheitskreis veranschaulichen. Genau wie am Graphen, lassen sich allerdings nur wenige Werte exakt ablesen, weshalb der Einheitskreis meist nicht ausreicht, um eine Aufgabe zu lösen. Gerade für visuelle Menschen, die sich nicht so gerne Formeln merken, ist der Einheitskreis aber sehr nützlich, um die zweite Lösung einer Gleichung zu bestimmen, die der Taschenrechner nicht anzeigt.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video erkläre ich dir den Einheitskreis. Die Werte der Sinus- und Kosinusfunktion lassen sich leicht am Einheitskreis veranschaulichen. Der Einheitskreis heißt so, weil er den Radius 1 hat.

Auf dieser Achse liest du die Kosinuswerte ab. Und auf dieser Achse liest du die Sinuswerte ab. Jetzt zeige ich dir, wie du diese einfache Wertetabelle mithilfe des Einheitskreises erstellen kannst.

In der Mathematik trägt man die Winkel immer gegen den Uhrzeigersinn ab. Der Winkel 90° geht bis hier. Der Sinus von 90° ist 1. Das schreibst du hier in die Tabelle.

Um den Kosinus von 90° zu bestimmen, gehst du runter auf die andere Achse. Der Kosinus von 90° ist 0. Der Winkel 180° geht bis hier. Der Kosinus von 180° ist somit –1.

Um den Sinus von 180° zu bestimmen, gehst du nach rechts auf die andere Achse. Dort liest du den Wert 0 ab. Der Winkel 270° geht bis hier.

Der Sinus von 270° ist somit –1. Um den Kosinus von 270° zu bestimmen, gehst du nach oben auf die andere Achse. Dort liest du den Wert 0 ab.

Der Winkel 360° geht bis hier. Jetzt haben wir den vollen Kreis. Der Kosinus von 360° ist 1. Um den Sinus von 360° zu bestimmen, gehst du nach links auf die andere Achse.

Dort liest du den Wert 0 ab. Ende und Anfang des Kreises liegen aufeinander. Der Winkel 0° hat deshalb die gleichen Sinus- und Kosinuswerte wie der Winkel 360°.

Das ist auch logisch, da die Sinus- und Kosinusfunktionen periodisch sind. Die Periode ist 360° bzw. 2π.

Würden wir zweimal den ganzen Kreis durchlaufen, also 720°, wären wir wieder hier und würden die gleichen Werte erhalten wie bei 0° oder 360°. Kommen wir jetzt zu den Winkeln im Bogenmaß. Stell dir mal vor, der Kreis wäre ein Band, das du durchschneiden kannst.

Wenn du das Band nun gerade ziehst und die Länge misst, sind das etwa 6,28 cm. Vorausgesetzt, dieses Stück ist wirklich 1 cm lang. Denn dann ist der Umfang des Kreises ca.

6,28 cm. Der exakte Wert ist 2π. Erinnere dich, π ist rund 3,14.

Also sind 2π rund 6,28. Deshalb entspricht im Einheitskreis der Winkel 360° 2π. Der Winkel 180° entspricht dann π. Der Winkel 90° entspricht dann π½.

Und der Winkel 270° entspricht dann 3½π. Somit ist zum Beispiel der Sinus von 3½π minus 1, genauso wie der Sinus von 270°. Leider lassen sich viele Werte nicht exakt am Einheitskreis ablesen.

Nehmen wir zum Beispiel diesen Winkel hier. Der zugehörige Sinuswert ist ungefähr 0,7 und der zugehörige Cosinuswert ist ungefähr 0,8. Die Werte lassen sich nur ungefähr ablesen, weshalb der Einheitskreis für die meisten Aufgaben zu ungenau ist.

Der Einheitskreis ist aber eine super Hilfe, um beim Lösen von Gleichungen die zweite Lösung zu bestimmen, die dir der Taschenrechner nicht anzeigt. Verlängerst du die gestrichelte Linie, siehst du, dass dieser größere Winkel den gleichen Sinuswert hat. Offensichtlich sind diese beiden Winkel gleich groß.

Da hier π liegt, kannst du den zweiten Winkel deshalb berechnen, indem du π minus den ersten Winkel rechnest. Dann gilt also x² ist π minus x¹. Das gleiche können wir für den Cosinuswert machen.

Verlängerst du die gestrichelte Linie, siehst du, dass dieser riesige Winkel den gleichen Cosinuswert hat wie der erste Winkel. Diesmal sind offensichtlich diese beiden Winkel gleich groß. Da hier 2π liegen, kannst du deshalb den zweiten Winkel berechnen, indem du 2π minus den ersten Winkel rechnest.

Beim Cosinus gilt also x² ist 2π minus x¹.

Wie löse ich eine trigonometrische Gleichung?

Bei trigonometrischen Gleichungen gibt es 4 Typen, die du kennen musst. Für jeden Typ gibt es den passenden Lösungsansatz. In diesem Video stelle ich dir die 4 Typen und die passenden Lösungsansätze vor. In den folgenden Abschnitten rechne ich dir die Beispiele vor.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video stelle ich dir die vier wichtigsten Typen von trigonometrischen Gleichungen vor und verrate dir den Lösungsansatz. In den folgenden Videos rechne ich dir die Beispiele vor. Bei Typ 1 kommt nur einmal Sinus X, Cosinus X oder Tangens X vor.

Solche Gleichungen löst du mithilfe der entsprechenden Umkehrfunktionen Sinus hoch minus 1, Cosinus hoch minus 1 bzw. Tangens hoch minus 1. Bei Typ 2 steht an dieser Stelle nicht nur X, sondern ein anderer Ausdruck mit X, zum Beispiel ein Halb X. Solche Gleichungen löst du durch Substitution. Statt Sinus könnte hier natürlich auch Cosinus oder Tangens stehen.

Bei Typ 3 ist eine Seite der Gleichung 0 und auf der anderen Seite stehen Sinus Quadrat X, Sinus X und eine einfache Zahl. Auch hier benötigst du eine Substitution, allerdings eine andere als bei Typ 2. Durch die Substitution erhältst du eine quadratische Gleichung, die du mit der pq-Formel oder der abc-Formel bzw. Mitternachtsformel löst.

Statt Sinus könnte hier auch jeweils Cosinus oder Tangens stehen. Bei Typ 4 kommen verschiedene Winkelfunktionen wie hier Sinus und Cosinus zusammen vor. Hier musst du die Winkelfunktionen geschickt ineinander umformen, um sie auf eine zu reduzieren.

Übrigens kann es sein, dass du deine Gleichung zunächst vereinfachen oder umformen musst, damit du den Typ erkennst. In den folgenden Videos rechne ich dir alle Beispiele vor.

Trigonometrische Gleichungen lösen mit der Umkehrfunktion

Kommt nur einmal sinx, cosx oder tanx vor, löst du die Gleichung mit der entsprechenden Umkehrfunktion. Wie das geht, zeige ich dir in diesem Video.

Lösungsbeschreibung

Einfache trigonometrische Gleichungen löst du mithilfe der Umkehrfunktion. Wie das geht, zeige ich dir in diesem Video. Dafür habe ich dir drei Beispiele mitgebracht.

Eines mit Sinus, eines mit Kosinus und eines mit Tangens. Kommen wir zum ersten Beispiel. Hier sollst du die Gleichung Sinus x gleich 1 halb lösen.

Das machst du mit der Umkehrfunktion Sinus hoch minus 1. So wird die Umkehrfunktion auch auf deinem Taschenrechner bezeichnet. Die Umkehrfunktion hebt den Sinus auf, sodass auf der linken Seite nur x stehen bleibt. Auf der rechten Seite schreibst du Sinus hoch minus 1 von 1 halb.

Das gibst du jetzt in den Taschenrechner ein. Als Lösung erhältst du 1 Sechstel Pi oder Pi Sechstel. Das ist die erste Lösung im Intervall von 0 bis 2 Pi.

Jetzt zeige ich dir die Lösung am Schaubild. Suche ein Halb auf der y-Achse und gehe von dort nach rechts, bis du auf den Graphen triffst. Dort gehst du runter auf die x-Achse.

Hier ist die Lösung 1 Sechstel Pi, die wir gerade bestimmt haben. Es gibt aber noch eine zweite Lösung, nämlich 5 Sechstel Pi. Da du nicht immer ein Schaubild zur Verfügung hast, kannst du die zweite Lösung auch einfach berechnen.

x2 ist Pi minus x1. In unserem Fall ist x2 also Pi minus 1 Sechstel Pi. Und das sind 5 Sechstel Pi.

Dieses Stück ist genauso lang wie dieses Stück, nämlich 1 Sechstel Pi. Deshalb kannst du die zweite Lösung berechnen, indem du von Pi 1 Sechstel Pi abziehst. Die zweite Lösung musst du immer selbst ausrechnen.

Der Taschenrechner gibt dir nur die erste Lösung aus. Das sind alle Lösungen im abgeschlossenen Intervall von 0 bis 2 Pi. Manchmal ist in der Aufgabe kein Intervall angegeben, sondern du sollst alle Lösungen bestimmen.

Aber das sind ja unendlich viele, da die Sinusfunktion periodisch ist. Aber keine Panik, dafür gibt es einen einfachen Trick. Schreibe deine gefundenen Lösungen hin und plus 2k Pi dahinter.

Für k darf jede beliebige ganze Zahl eingesetzt werden, wie 0, 1, 2, 3, minus 1, minus 2 und so weiter. Jetzt erkläre ich dir, was dieser Ausdruck bedeutet. Da die Sinusfunktion periodisch ist, gelangst du zu weiteren Lösungen, indem du die Periode 2 Pi zu den gefundenen Lösungen dazurechnest oder abziehst.

Ziehst du zum Beispiel von der ersten Lösung die Periode ab, erhältst du diese weitere Lösung. Ziehst du von der zweiten Lösung die Periode ab, erhältst du eine andere weitere Lösung. Das lässt sich in beide Richtungen unendlich fortsetzen.

Statt weitere Lösungen schrittweise zu bestimmen, kannst du auch größere Sprünge machen, indem du ein Vielfaches der Periode addierst oder subtrahierst. Dafür steht 2k Pi, denn die Periode ist 2 Pi und durch den Faktor k erhältst du ein Vielfaches davon. Ist k positiv, bewegst du dich auf der x-Achse nach rechts.

Ist k negativ, dann bewegst du dich nach links. Ist k null, fällt der hintere Teil weg und du erhältst die Ausgangslösung. Statt den Taschenrechner kannst du auch eine Wertetabelle benutzen, die in jeder Formelsammlung abgedruckt ist.

Wie du eine Wertetabelle richtig liest, zeige ich dir in einem extra Video. Kommen wir zum zweiten Beispiel. Hier sollst du die Gleichung cos x gleich minus 1 Halbwurzel 2 lösen.

Das machst du mit der Umkehrfunktion cos hoch minus 1. So wird die Umkehrfunktion auch auf deinem Taschenrechner bezeichnet. Die Umkehrfunktion hebt den Cos auf, sodass auf der linken Seite nur x stehen bleibt. Auf der rechten Seite schreibst du cos hoch minus 1 von minus 1 Halbwurzel 2. Das gibst du jetzt in den Taschenrechner ein.

Als Lösung erhältst du 3 Viertel Pi. Das ist die erste Lösung im Intervall von 0 bis 2 Pi. Jetzt zeige ich dir die Lösung am Schaubild.

Minus 1 Halbwurzel 2 ist ungefähr minus 0,7. Diesen Wert suchst du auf der y-Achse. Von dort aus gehst du nach rechts, bis du auf den Graphen triffst.

Von hier aus gehst du hoch auf die x-Achse. Hier ist die Lösung 3 Viertel Pi, die wir gerade bestimmt haben. Es gibt aber noch eine zweite Lösung, nämlich 5 Viertel Pi.

Da du nicht immer ein Schaubild zur Verfügung hast, kannst du die zweite Lösung auch einfach berechnen. x2 ist 2 Pi minus x1. In unserem Fall ist x2 also 2 Pi minus 3 Viertel Pi.

Und das sind 5 Viertel Pi. Dieses Stück ist genauso lang wie dieses Stück, nämlich 3 Viertel Pi. Deshalb kannst du die zweite Lösung berechnen, indem du von 2 Pi 3 Viertel Pi abziehst.

Die zweite Lösung musst du immer selbst ausrechnen. Der Taschenrechner gibt dir nur die erste Lösung aus. Das sind alle Lösungen im abgeschlossenen Intervall von 0 bis 2 Pi.

Manchmal ist in der Aufgabe kein Intervall angegeben, sondern du sollst alle Lösungen bestimmen. Da die Cosinusfunktion periodisch ist, gibt es unendlich viele Lösungen. Schreibe deshalb wie bei der Sinusfunktion deine gefundenen Lösungen hin und plus 2k Pi dahinter.

Für k darf wieder jede beliebige ganze Zahl eingesetzt werden. Setzt du für k zum Beispiel minus 1 ein, musst du von der ersten Lösung einmal die Periode abziehen. Das heißt, wir bewegen uns auf der x-Achse nach links und erhalten diese weitere Lösung.

Machst du das gleiche bei der zweiten Lösung, erhältst du diese weitere Lösung. Setzt du für k positive ganze Zahlen ein, erhältst du Lösungen, die rechts von den Ausgangslösungen liegen. Kommen wir zum dritten Beispiel.

Hier sollst du die Gleichung tangens x gleich minus 1 lösen. Das machst du mit der Umkehrfunktion tangens hoch minus 1. So wird die Umkehrfunktion auch auf deinem Taschenrechner bezeichnet. Die Umkehrfunktion hebt den Tangens auf, sodass auf der linken Seite nur x stehen bleibt.

Auf der rechten Seite schreibst du tangens hoch minus 1 von minus 1. Das gibst du jetzt in den Taschenrechner ein. Als Lösung erhältst du minus 1 Viertel Pi oder minus Pi Viertel. Dass die Lösung negativ ist, liegt daran, dass dir der Taschenrechner die Lösung immer aus diesem Intervall angibt.

Starte bei minus 1 auf der y-Achse. Gehe von dort auf den Graphen und dann auf die x-Achse. Dort landest du bei minus 1 Viertel Pi.

Beim Tangens brauchst du keine zweite Lösung zu bestimmen, nur bei Sinus und Kosinus. Wie immer gelangst du zu weiteren Lösungen, indem du die Periode zu der gefundenen Lösung addierst oder subtrahierst. Die Periode beim Tangens ist Pi.

Das gleiche kannst du dann mit der neuen Lösung machen. Und das Ganze unendlich fortsetzen. Hier sind also weitere Lösungen der Gleichung.

Sind beispielsweise nur Lösungen im Intervall von 0 bis Pi gesucht, musst du zur Lösung minus 1 Viertel Pi einmal die Periode addieren. Das ergibt die Lösung 3 Viertel Pi, die im gewünschten Intervall liegt. Um alle Lösungen anzugeben, schreibst du deine gefundene Lösung hin und plus k Pi dahinter, da die Periode beim Tangens nur Pi und nicht 2 Pi ist.

Für k darf wieder jede beliebige ganze Zahl eingesetzt werden.

Trigonometrische Gleichungen lösen durch Substitution

Ist das Argument der Winkelfunktion nicht nur x, sondern z.B. 1/2x , benötigst du eine Substitution. Dadurch erhältst du eine Gleichung vom Typ 1, die du mit der Umkehrfunktion lösen kannst. Um die Lösungen der Ausgangsgleichung zu bestimmen, musst du die Substitution zum Schluss allerdings wieder rückgängig machen (Rücksubstitution). Außerdem ist meist die Periode anders. Um weitere Lösungen anzugeben, musst du also erst noch die Periode bestimmen. In diesem Video zeige ich dir, wie du das alles hinbekommst!

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine trigonometrische Gleichung durch Substitution löst. Als Beispiel nehmen wir diese Gleichung. Statt Sinus könnte hier genauso gut Cosinus oder Tangens stehen.

Das Vorgehen wäre das gleiche. Ist das Argument nicht nur x, sondern ein anderer Ausdruck mit x, wie hier ein Halb-x, brauchst du eine Substitution. Und zwar ersetzt du den kompletten Ausdruck in der Klammer durch z. Statt ein Halb-x schreibst du also z. Wenn Verwechslungen ausgeschlossen sind, darf die Klammer auch weggelassen werden.

Nun hast du eine einfache Gleichung, die du schon lösen kannst. Dazu brauchst du nur die Umkehrfunktion Sinus hoch minus 1. Die Umkehrfunktion hebt den Sinus auf, sodass auf der linken Seite nur z stehen bleibt. Auf der rechten Seite schreibst du Sinus hoch minus 1 von ein Halbwurzel 3. Diesen Ausdruck gibst du in den Taschenrechner ein und erhältst die Lösung z1 gleich ein Drittel Pi.

Beim Taschenrechner muss dabei Bogenmaß eingestellt sein. Wie immer beim Sinus musst du noch die zweite Lösung bestimmen. Die Formel für die zweite Lösung ist Pi minus die erste Lösung z1.

z1 ist ein Drittel Pi. Das ergibt zwei Drittel Pi. Statt den Taschenrechner kannst du auch eine Wertetabelle benutzen.

Nun musst du die Substitution wieder rückgängig machen, denn du suchst ja nicht z, sondern x. Als erstes wandelst du z1 in x um. Dafür schreibst du ein Halb x gleich z1. Ein Halb x war der Ausdruck, den wir durch z ersetzt hatten.

z1 haben wir gerade berechnet. z1 war ein Drittel Pi. Nun löst du die Gleichung nach x auf.

Dazu rechnest du mal 2. Das ergibt die erste Lösung x1 gleich zwei Drittel Pi. Das gleiche machst du nun für z2. z2 war zwei Drittel Pi.

Rechne wieder mal 2 und du erhältst die zweite Lösung vier Drittel Pi. Wenn du alle Lösungen angeben sollst, musst du wieder vielfache der Periode addieren bzw. subtrahieren.

Die Periode ist diesmal aber nicht zwei Pi. Das liegt an dem Faktor ein Halb vor dem x. Um die Periode zu bestimmen, benutzt du diese Formel. Die Periode ist zwei Pi geteilt durch den Betrag von b. Mit b ist der Faktor vor dem x gemeint.

Betrag von b bedeutet folgendes. Ist b positiv, setzt du einfach b ein. Ist b negativ, lässt du beim Einsetzen das negative Vorzeichen weg.

b ist positiv, nämlich ein Halb. Du setzt hier also einfach ein Halb ein. Um durch einen Bruch zu teilen, musst du mit dem Kehrwert multiplizieren.

Du rechnest also zwei Pi mal zwei Eintel. Du drehst ein Halb, also einfach um. Die zweite Form wird mit dem Zähler multipliziert.

2 mal 2 ist 4. Und 4 geteilt durch 1 ist immer noch 4. Das ergibt 4 Pi. Nun kannst du ganz leicht alle Lösungen der Gleichung angeben. Schreibe die beiden Lösungen x1 und x2 hin und plus 4kPi dahinter.

Statt wie sonst 2kPi, schreibst du also 4kPi, weil die Periode nicht 2Pi, sondern 4Pi ist. Jetzt zeige ich dir die Lösungen am Schaubild. Der Wert ein Halbwurzel 3 ist rund 0,9.

Suche diesen Wert auf der y-Achse und gehe von dort nach rechts, bis du auf den Graphen triffst. Dort gehst du runter auf die x-Achse. Hier ist die erste Lösung, 2 Drittel Pi.

Und hier ist die zweite Lösung, 4 Drittel Pi. Wie du siehst, hat der Graph die Periode 4Pi, da sich der Verlauf im Abstand von 4Pi wiederholt. Steht vor dem x kein Faktor, wie hier, bleibt die Periode 2Pi, wie bei der normalen Sinusfunktion.

Summanden wie plus 1,5 haben keinen Einfluss auf die Periode. Das gleiche gilt entsprechend für Kosinus und Tangens. Das ist eine Form der Substitution bei trigonometrischen Gleichungen.

Es gibt noch eine andere, die ich dir im nächsten Video zeige.

Trigonometrische Gleichungen lösen durch Substitution und die pq-Formel / abc-Formel / Mitternachtsf

Manche trigonometrische Gleichungen lassen sich durch eine geschickte Substitution in eine quadratische Gleichung umwandeln, die du anschließend mit der pq-Formel bzw. der abc-Formel / Mitternachtsformel lösen kannst. Woran du solche Gleichungen erkennst, verrate ich dir in diesem Video. Auch bei solchen Gleichungen musst du die Substitution zum Schluss wieder rückgängig machen (Rücksubstitution).

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wann du bei trigonometrischen Gleichungen eine Substitution machen und anschließend die pq-Formel oder die abc-Formel bzw. Mitternachtsformel benutzen musst. Das Ganze rechne ich dir an diesem Beispiel vor.

Das Vorgehen wäre übrigens das gleiche, wenn hier statt Sinus jeweils Cosinus oder Tangens stehen würde. Ist eine Seite der Gleichung 0 und auf der anderen Seite stehen Sinus², Sinus und eine einfache Zahl, machst du eine Substitution. Und zwar ersetzt du Sinus x durch z. Statt z kannst du auch einen anderen Buchstaben wie u nehmen.

Aus Sinus x wird also z und aus Sinus²x wird z². Der Rest bleibt gleich. Wahrscheinlich kannst du mit Sinus²x wenig anfangen.

Sinus²x ist nur eine elegantere Schreibweise für Sinus x und das Ganze zum Quadrat. Wenn du nun Sinus x durch z ersetzt, hast du z². Die Klammern kannst du dann weglassen.

Also steht hier z². Das ist eine quadratische Gleichung, die du mit der pq-Formel oder der abc-Formel bzw. Mitternachtsformel löst.

Wie das geht, zeige ich dir natürlich ausführlich auf Video. Die Videos habe ich dir verlinkt. Du musst nur darauf achten, diesmal z statt x zu schreiben, wenn du in die Formel einsetzt.

Ich schreibe hier nur die Ergebnisse hin. Diese sind 1 und 1,5. Allerdings heißen die Lösungen z1 und z2.

In unserer Gleichung kommt aber überhaupt kein z vor, sondern x. Deshalb musst du die Substitution nun wieder rückgängig machen. Als erstes wandelst du z1 in x um. Dazu schreibst du Sinus x gleich z1.

z1 war 1. Das ist eine einfache Gleichung, die du mit der Umkehrfunktion Sinus hoch minus 1 lösen kannst, wie ich es dir in einem der vorigen Videos gezeigt habe. Damit bleibt auf der linken Seite nur x stehen. Diesen Ausdruck gibst du in den Taschenrechner ein und erhältst die Lösung x1 gleich 1,5pi.

Beim Taschenrechner muss dabei Bogenmaß eingestellt sein. Alternativ kannst du auch eine Wertetabelle benutzen. Nun bestimmst du noch die zweite Lösung, indem du wie immer bei Sinus pi minus x1 rechnest.

Das ergibt auch 1,5pi. Du erhältst hier also zweimal die gleiche Lösung. Nun wandelst du z2 in x um.

Dazu schreibst du Sinus x gleich z2. z2 war 1,5. Auch diese Gleichung löst du mit der Umkehrfunktion Sinus hoch minus 1. Auf der linken Seite bleibt wieder x stehen.

Und diesen Ausdruck gibst du nun in den Taschenrechner ein. Das ergibt die dritte Lösung, 1,6pi. Auch hier musst du noch eine weitere Lösung per Hand berechnen, indem du pi minus diese Lösung rechnest.

Das ergibt die vierte Lösung, 5,6pi. Jetzt zeige ich dir die Lösungen grafisch. Das war die Gleichung.

Die linke Seite der Gleichung können wir als Funktion interpretieren. Würde man die Nullstellen dieser Funktion berechnen wollen, müsste man die Funktion Null setzen und diese Gleichung lösen. Genau das haben wir ja gemacht.

Die Lösungen, die wir erhalten haben, sind somit Nullstellen dieser Funktion. Hier siehst du den Graphen der Funktion. Jetzt wird auch klar, warum wir 1,5pi zweimal als Lösung erhalten haben.

Bei 1,5pi wird die x-Achse nur berührt statt geschnitten. Das ist bei doppelten Nullstellen immer so. Die Nullstelle 1,6pi liegt hier und die Nullstelle 5,6pi ist diese hier.

Da dies einfache Nullstellen sind, wird die x-Achse dort geschnitten. Wie du siehst, ist der Graph periodisch. Weitere Nullstellen des Graphen erhältst du, indem du wie immer die Periode 2pi zu den bereits gefundenen Nullstellen addierst oder subtrahierst.

Das wären dann gleichzeitig weitere Lösungen dieser Gleichung.

Winkelfunktionen ineinander umformen

Besonders knifflig sind Gleichungen, in denen verschiedene Winkelfunktionen gleichzeitig vorkommen. Dann musst du die Winkelfunktionen so ineinander umformen, dass nur noch eine vorkommt. Besonders hilfreich sind dabei der Tangens und der trigonometrische Pythagoras. In deiner Formelsammlung findest du weitere Möglichkeiten, wie du Winkelausdrücke umformen kannst. Darunter z.B.: - Doppelwinkelformeln - Additionstheoreme

Lösungsbeschreibung

Besonders knifflig sind Gleichungen, in denen verschiedene Winkelfunktionen gleichzeitig vorkommen. In diesem Beispiel kommen Sinus und Kosinus gleichzeitig vor. Solche Gleichungen musst du so umformen, dass nur noch eine Winkelfunktion vorkommt.

Taucht ein Bruch mit Sinus im Zähler und Kosinus im Nenner auf, kannst du den Ausdruck immer in den Tangens umformen. Somit hast du zwei Winkelfunktionen auf eine reduziert. Schauen wir uns die Schritte mal genauer an.

Zuerst teilst du durch 3, damit die Winkelfunktionen allein auf einer Seite stehen. Das ist übrigens das gleiche wie ein Drittel Wurzel 3. Nun kannst du Sinus X geteilt durch Kosinus X durch Tangens X ersetzen, da der Tangens ja genau so definiert ist. Nun benutzt du wie üblich die Umkehrfunktion Tangens hoch minus 1. Dadurch bleibt links X stehen.

Den Ausdruck auf der rechten Seite gibst du einfach in den Taschenrechner ein oder schlägst ihn in einer Wertetabelle nach. Das ergibt die Lösung Pi Sechstel bzw. 1 Sechstel Pi.

Beim Taschenrechner muss dabei Bogenmaß eingestellt sein. Wenn nur die Lösungen im Intervall von 0 bis Pi gesucht sind, bist du schon fertig. Sollst du alle Lösungen angeben, schreibst du einfach plus K Pi dahinter, wobei K eine ganze Zahl ist, also K Element Z. Tipp, merke dir unbedingt diese Gleichung.

Das ist der sogenannte trigonometrische Pythagoras. Wenn irgendwo Sinus-Quadrat X plus Cosinus-Quadrat X steht, kannst du dafür einfach 1 schreiben, denn das ist das gleiche. Genauso ist zum Beispiel Sinus-Quadrat von 3X plus Cosinus-Quadrat von 3X gleich 1. Entscheidend ist, dass in den Klammern der gleiche Ausdruck steht.

Du kannst diese Gleichung auch nach Cosinus-Quadrat X oder Sinus-Quadrat X auflösen. Dadurch könntest du Cosinus-Quadrat X durch diesen Ausdruck ersetzen bzw. Sinus-Quadrat X durch diesen.