Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Springe zu den Inhalten
Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.
Zurück zur Übersicht
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist eine Kurzanleitung, wie du Integrale berechnest. Falls du das schon mal gemacht hast, hast du diesen Satz also bereits angewandt. Den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung benötigst du zum Beispiel, um Flächeninhalte zu bestimmen.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video geht es um den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung. Dieser Satz gibt an, wie du ein solches Integral berechnen kannst. Allgemein kann man dafür schreiben, Integral von a bis b über f von x dx.
Um dieses Integral zu berechnen, nimmst du eine beliebige Stammfunktion F und setzt dort die obere Grenze b ein. Dann kommt ein Minuszeichen und dann setzt du die untere Grenze a ein. Das Ergebnis ist eine reelle Zahl.
Machen wir das mal für unser Beispiel. Eine Stammfunktion von 2x ist x², denn die Ableitung von x² ist 2x. Üblicherweise schreibst du das in eckige Klammern und außen schreibst du wieder die Integrationsgrenzen dran.
Nun setzt du für x die obere Grenze 3 ein. Das ergibt 3². Dann kommt ein Minuszeichen und nun setzt du für x die untere Grenze 1 ein.
Das ergibt 1². 3² ist 9 und 1² ist 1. 9-1 macht 8. Dieses Integral ergibt also 8. Der Hauptsatz besagt, dass es egal ist, welche Stammfunktion du nimmst. Lass uns das doch mal testen.
Eine andere Stammfunktion von 2x ist x²-5, denn die Ableitung von x² ist wieder 2x und –5 fällt beim Ableiten weg. Nun setzt du wieder die obere Grenze 3 ein. Das ergibt 3²-5.
Dann kommt ein Minuszeichen und nun setzt du für x die untere Grenze 1 ein. Das ergibt 1²-5. Da das alles abgezogen werden soll, musst du es in Klammern setzen.
Als nächstes löst du diese Klammer auf. Wegen dem Minus davor ändern sich alle Vorzeichen. Aus 1² wird –1² und aus –5 wird plus 5. Das schreibst du einfach ab.
–5 plus 5 hebt sich auf, sodass 3²-1² übrig bleibt. Das ist tatsächlich das gleiche wie hier. Somit muss auch hier 8 rauskommen.
Da es egal ist, welche Stammfunktion du nimmst, wählst du natürlich immer die einfachste, in diesem Fall also diese.
Zurück zur Übersichtnoch oben