Integration durch Substitution
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Substitution, Stammfunktionen und unbestimmte Integrale ermittel
Im Unterschied zum Ableiten gibt es beim Integrieren leider kein Verfahren, das immer funktioniert. Falls die Substitution nicht zum Ziel führt, probiere die Produktintegration (Partielle Integration)!
Lösungsbeschreibung
In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Stammfunktion durch Substitutionen bestimmst. Als Beispiel nehmen wir die Funktion f von x gleich x mal e hoch x quadrat. Gesucht ist die Stammfunktion davon, das kannst du auch mit einem Integral ausdrücken.
Erst kommt das Integralzeichen, dann die Funktion und dahinter dx. Integrale wie dieses bestimmst du durch Substitutionen. Das Integral muss folgende Form haben.
Hier steht eine Verkettung. Allgemein schreibt man dafür f von g von x. Hier steht also nicht nur x, sondern eine Funktion g von x. Bei uns ist die Verkettung e hoch x quadrat. Dort wo sonst nur x steht, steht x quadrat.
Deshalb ist das eine Verkettung. g von x nennt man auch die innere Funktion. Außerdem muss in dem Integral dann noch g' von x vorkommen, also die innere Ableitung.
Bei uns ist die innere Funktion x quadrat. Die Ableitung davon ist 2x. 2x kommt hier zwar nicht vor, aber x. Und das reicht auch, wie du gleich sehen wirst.
Dieses Integral lässt sich also durch Substitutionen bestimmen. Bei der Substitution ersetzt du die innere Funktion g von x durch die Variable z, also z gleich g von x. Aus g' von x dx wird dann dz. Warum das so ist, wirst du gleich sehen.
Hier siehst du nochmal die allgemeine Formel für die Substitution. Damit wollen wir nun dieses Integral bestimmen. Als erstes sorgst du dafür, dass es genau diese Form hat.
Die Verkettung f von g von x war ja e hoch x quadrat. Leitest du die innere Funktion x quadrat ab, ergibt das 2x. Das entspricht dann g' von x. In diesem Integral steht aber nur x und nicht 2x.
Um das auszugleichen, schreibst du einfach den Faktor 1 halb davor. Nun kommt die Substitution. Setze z gleich x quadrat.
Aus e hoch x quadrat wird dadurch e hoch z. Nun leitest du z nach x ab. Dafür schreibst du dz nach dx. Die Ableitung von x quadrat ist 2x.
Multipliziere nun mit dx. 2x dx ist also dz. 2x stehen hier und dx steht hier.
Deshalb kannst du 2x dx nun durch dz ersetzen. Jetzt hat das Integral diese Form. Den Faktor 1 halb schreibst du wieder davor.
Und nun integrierst du wie gewohnt, nur dass du statt x z schreibst. Eine Stammfunktion von e hoch z ist e hoch z. Der Faktor 1 halb muss wieder davor. Dahinter kommt wie üblich plus c. Nun machst du die Substitution wieder rückgängig.
Statt z schreibst du wieder x quadrat. Das ist die gesuchte Stammfunktion von f von x. Das kannst du leicht überprüfen. Wenn du das ableitest, muss das rauskommen.
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Bestimmte Integrale berechnen
Die Substitution kannst du auch bei bestimmten Integralen anwenden. Dabei musst du aber die Integrationsgrenzen anpassen.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video zeige ich dir, wie du ein bestimmtes Integral durch Substitutionen ermittelst. Als Beispiel nehmen wir die gleiche Funktion wie im letzten Video, nämlich f von x gleich x mal e hoch x². Gesucht ist diesmal das bestimmte Integral von 0 bis 3 über diese Funktion.
Beim unbestimmten Integral stehen hier keine Integrationsgrenzen dran. Für das unbestimmte Integral kennst du bereits diese Formel. Diese Formel lässt sich auch für bestimmte Integrale verwenden.
Dabei musst du auch die Integrationsgrenzen ersetzen. Wie das geht, siehst du gleich an unserem Beispiel. Hier siehst du nochmal die Formel für die Substitution beim bestimmten Integral.
Damit wollen wir nun dieses Integral ermitteln. Als erstes sorgst du dafür, dass es genau diese Form hat. Diese Schritte sind genau wie beim unbestimmten Integral.
Schau dir nochmal das Video dazu an, falls es dir jetzt zu schnell geht. Die Verkettung f von g von x ist e hoch x². Leitest du die innere Funktion x² ab, ergibt das 2x.
Das entspricht dann g' von x. In diesem Integral steht aber nur x und nicht 2x. Um das auszugleichen, schreibst du einfach den Faktor 1 halb davor, denn so kürzen sich die 2. Nun kommt die Substitution. Setze z gleich x².
Aus e hoch x² wird dadurch e hoch z. Nun leitest du z nach x ab. Dafür schreibst du dz nach dx. Die Ableitung von x² ist 2x.
Multipliziere nun mit dx. dz ist also 2x dx. 2x stehen hier und dx steht hier.
Deshalb kannst du 2x dx nun durch dz ersetzen. Außerdem musst du die Integrationsgrenzen anpassen. Die Integrationsgrenzen sind x gleich 0 und x gleich 3. Aber da du hier nach z integrierst, müssen die Grenzen auch z-Werte sein.
Du musst 0 und 3 sozusagen in z-Werte umrechnen. z ist ja x². Hier ist z also 0 zum Quadrat.
Und das ist 0. Das ist die untere Grenze. Und hier ist z 3 zum Quadrat. Und das ergibt 9. Das ist die obere Grenze.
Jetzt hat das Integral diese Form. Den Faktor 1 halb schreibst du wieder davor. Und nun integrierst du wie gewohnt, nur dass du statt x z schreibst.
Eine Stammfunktion von e hoch z ist e hoch z. Die Integrationsgrenzen überträgst du einfach. Der Faktor 1 halb muss wieder davor. Nun rechnest du das aus.
Dazu setzt du für z zuerst 9 ein. Dann kommt ein Minuszeichen. Und dann setzt du für z 0 ein.
e hoch 0 ist 1. Nun löst du die Klammer auf. 1 halb mal e hoch 9 ist 1 halb e hoch 9. Und 1 halb mal minus 1 ist minus 1 halb. Gibst du das in den Taschenrechner ein, erhältst du rund 4051.
Dieses Integral ergibt also rund 4051. Anders als beim unbestimmten Integral brauchst du hier keine Rücksubstitution mehr. Denn dafür hast du ja extra die Integrationsgrenzen angepasst.
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