Produktintegration (Partielle Integration)
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Stammfunktionen und unbestimmte Integrale ermitteln
Die Produktintegration (auch partielle Integration genannt) ist eine Formel, mit der du unbestimmte Integrale ermitteln kannst. Das unbestimmte Integral einer Funktion ergibt ihre Stammfunktionen.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Stammfunktion durch Produktintegration ermittelst. Diese wird auch partielle Integration genannt. Als Beispiel nehmen wir die Funktion f von x gleich x mal cosinus x. Gesucht ist die Stammfunktion davon.
Das kannst du auch mit einem Integral ausdrücken. Erst kommt das Integralzeichen, dann die Funktion und dahinter dx. Diese Funktion ist ein Produkt aus den Funktionen x und cosinus x. Den Malpunkt könnte man auch weglassen.
Einfach wäre es, wenn du x und cosinus x getrennt integrieren könntest. Doch das geht leider nicht. Für Produkte wie dieses brauchst du spezielle Integrationsverfahren.
In diesem Fall führt die Produktintegration zum Ziel. Das ist im Prinzip eine Formel, die dir hilft, eine Stammfunktion zu bestimmen. Dieses Integral entspricht der linken Seite.
Und das ist das gleiche wie das alles. Beachte den Unterschied. Hier stehen u und v' und hier stehen u' und v. U und v' musst du x und cosinus x zuordnen.
Also entweder ist das u und das v' oder umgekehrt. Der Trick ist, sie so zuzuordnen, dass dieses Integral leicht zu lösen ist. Damit geht's auf der nächsten Seite weiter.
Laut der Formel für die Produktintegration ist das das gleiche wie das. Probieren wir es mal mit folgender Zuordnung. u' soll x sein und v' von x soll cosinus x sein.
u' taucht hier wieder auf. Außerdem brauchen wir dann noch u' von x und v' von x. Die Ableitung von x ist 1. Das ist u' von x. Wenn das v' ist und du v haben willst, musst du die Stammfunktion hiervon bilden. Die Stammfunktion von cosinus x ist sinus x. Plus c lässt du erstmal weg.
Nun setzt du alles hier ein. u von x ist x. v von x ist sinx. Dann kommt dieses Minus und das Integralzeichen.
u' von x ist 1 und v von x ist sinx. Einmal sinx ist sinx. Jetzt kommt hier nur noch eine Funktion mit x vor und nicht mehr zwei.
Deshalb ist dieses Integral leichter zu bestimmen. Das Integral ist ja einfach die Stammfunktion von sinx. Also minus cosinus x. Sowas musst du auswendig wissen.
Nun fügst du noch plus c dazu. Minus mal Minus ergibt Plus. Das ist die gesuchte Stammfunktion von f von x.
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Bestimmte Integrale berechnen
Die Produktintegration kannst du auch bei bestimmten Integralen verwenden. Hier siehst du, wie du dabei die Integrationsgrenzen berücksichtigen musst.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video zeige ich dir, wie du ein bestimmtes Integral durch Produktintegration ermittelst. Diese wird auch partielle Integration genannt. Als Beispiel nehmen wir die gleiche Funktion wie im letzten Video, nämlich f von x gleich x mal cosinus x. Gesucht ist diesmal das bestimmte Integral von 0 bis p über diese Funktion.
Beim unbestimmten Integral stehen hier keine Integrationsgrenzen dran. Für das unbestimmte Integral kennst du bereits diese Formel. Diese Formel lässt sich auch für bestimmte Integrale verwenden.
Dazu überträgst du einfach die Integrationsgrenzen hier und hier. Hier siehst du nochmal die Formel für die Produktintegration eines bestimmten Integrals. Die Zuordnung ist genau wie beim unbestimmten Integral.
Schau dir nochmal das Video dazu an, falls es dir jetzt zu schnell geht. u von x ist x und v' von x ist cosinus x. Nun setzt du auf der rechten Seite ein. u von x ist x. Die Ableitung davon ist 1. Wenn v' cosinus ist, dann ist v sinus, denn das ist die Stammfunktion davon.
Das gleiche muss auch hier stehen. Einmal sinx ist sinx. Nun rechnen wir erstmal das hier aus.
Dazu setzt du für x zuerst Pi ein, dann kommt ein Minuszeichen und dann setzt du für x 0 ein. Also obere Grenze minus untere Grenze. Sinus von Pi ist 0 und Pi mal 0 ist immer noch 0. Das kannst du gleich weglassen.
Genauso kommt hier 0 raus. Übrig bleibt nur das. Die Stammfunktion von sinx ist minus cosinus x. Dieses Minus überträgst du einfach.
Und dann schreibst du die Integrationsgrenzen hier dran. Dieses Minus kannst du rausziehen und mit diesem Minus verrechnen. Minus mal Minus ergibt Plus und das lässt du weg.
Nun setzt du für x zuerst Pi ein, dann kommt ein Minuszeichen und dann setzt du für x 0 ein. Cosinus von Pi ist minus 1 und Cosinus von 0 ist 1. Minus 1 minus 1 macht minus 2. Dieses Integral ergibt also minus 2.
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