Stammfunktion nachweisen

Springe zu den Inhalten

• Stammfunktion nachweisen

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Stammfunktion nachweisen

Bei komplizierten Funktionen musst du die Stammfunktion meist nicht selbst bestimmen, sondern nur nachweisen, dass eine gegebene Funktion eine Stammfunktion ist. Um die Stammfunktion komplizierter Funktionen zu bestimmen, brauchst du spezielle Integrationsverfahren wie die Partielle Integration (Produktintegration) oder die Substitution. Die Stammfunktion aus diesem Video könntest du durch partielle Integration selbst bilden. Anders als beim Ableiten ist es aber nicht immer möglich, eine Stammfunktion zu bestimmen.

Lösungsbeschreibung

Bei komplizierten Funktionen musst du die Stammfunktion oft nicht selbst bestimmen, sondern nur eine Stammfunktion nachweisen, wie in folgender Aufgabe. Zu zeigen, F von x gleich e hoch x mal x minus 1 ist eine Stammfunktion von f mit f von x gleich x mal e hoch x. Stammfunktion bilden und ableiten sind die Umkehrung zueinander. Wenn das eine Stammfunktion hiervon ist, dann muss das die Ableitung davon sein.

Du brauchst also nur zu zeigen, dass die Ableitung von F von x gleich F von x ist. Leite also diese Funktion ab. Das ist ein Produkt aus den Funktionen e hoch x und x minus 1. Allgemein schreibt man dafür, F ist gleich u mal v. u ist e hoch x und v ist x minus 1. Die Ableitung bildest du nach der Produktregel.

u und v hast du schon. Dir fehlen nur noch die Ableitungen davon, also u' und v'. Die Ableitung von e hoch x ist wieder e hoch x. Das ist also u'.

Die Ableitung von x ist 1. Minus 1 fällt beim Ableiten weg. Das ist also v'. Nun setzt du alles hier ein.

u' ist e hoch x. v ist x minus 1. Dann kommt dieses Pluszeichen. u ist e hoch x und v' ist 1. Multipliziere als nächstes die Klammer aus. e hoch x mal x ist das gleiche wie x mal e hoch x. e hoch x mal minus 1 ist minus e hoch x. e hoch x mal 1 ist einfach e hoch x. Minus e hoch x plus e hoch x fällt weg.

Übrig bleibt x e hoch x. Und das ist tatsächlich f von x. Das schreibst du so auf. Groß f' von x ist x mal e hoch x und das ist gleich f von x. Daraus folgt, dass Groß f eine Stammfunktion von f ist.