Stammfunktion bilden

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• Potenzregel
• Brüche integrieren
• Wurzeln integrieren
• Stammfunktionen weiterer Grundfunktionen
• Summenregel
• Faktorregel
• Lineare Substitution
• Stammfunktion mit vorgegebener Eigenschaft bestimmen
• So hängen Ableiten und Stammfunktion bilden zusammen
• Was ist ein unbestimmtes Integral?

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Potenzregel

Statt Stammfunktion bilden kannst du auch aufleiten oder integrieren sagen. Wie beim Ableiten gibt es auch beim Integrieren eine Potenzregel. Diese benötigst du sehr oft!

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du die Potenzregel, um Stammfunktionen zu bestimmen. Als Beispiel bestimmen wir die Stammfunktion von x³. Nimm die Hochzahl 3 und rechne plus 1. Das Ergebnis 4 wird die neue Hochzahl.

Der Kehrwert von 4 ist ein Viertel. Das schreibst du vor x³. Nun schreibst du noch plus c dahinter.

Das musst du immer machen. Für c darf man eine beliebige Zahl einsetzen, also auch negative Zahlen oder Brüche. Für die Stammfunktion nimmst du immer den entsprechenden Großbuchstaben, in diesem Fall also Groß F. Leitest du die Stammfunktion ab, dann muss die Ausgangsfunktion F dabei herauskommen.

So kannst du auch schnell prüfen, ob alles richtig ist. Machen wir das doch mal. Hier siehst du nochmal die Stammfunktion.

Für die Ableitung davon schreibst du dann Groß F' von x. Der Faktor ein Viertel bleibt beim Ableiten erhalten. Die Ableitung von x³ ist 4x³. Für c kannst du dir eine Zahl denken, zum Beispiel 5. Diese fällt beim Ableiten einfach weg.

Die 4en kürzen sich und die 1 kannst du dann weglassen. Somit bleibt x³ übrig. Und das war ja F von x. Nach der Potenzregel bildest du auch die Stammfunktion von x. Dabei denkst du dir als Hochzahl eine 1. Nun gehst du vor wie immer.

Nimm die Hochzahl 1 und rechne plus 1. Das Ergebnis 2 wird die neue Hochzahl. Der Kehrwert von 2 ist ein Halb. Das schreibst du vor x².

Und dahinter schreibst du wie immer plus c. Die Stammfunktion von x ist ein Halb x² plus c.

Brüche integrieren

Mit der Potenzregel kannst du auch Brüche mit x im Nenner integrieren.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du die Stammfunktion bildest, wenn eine Potenz von x im Nenner eines Bruches steht. Bevor du die Potenzregel benutzen kannst, musst du den Bruch erstmal in eine Potenz umformen. 1 durch x hoch 3 ist das gleiche wie x hoch minus 3. Präge dir das gut ein.

Nun kannst du aufleiten, also die Stammfunktion bilden. Nimm die Hochzahl minus 3 und rechne wie immer plus 1. Das Ergebnis minus 2 wird die neue Hochzahl. Der Kehrwert von minus 2 ist minus 1 halb.

Das schreibst du vor das x. Dahinter schreibst du wie immer plus c. Groß f von x ist somit minus 1 halb x hoch minus 2 plus c. Du kannst die Stammfunktion so stehen lassen oder x hoch minus 2 wieder in einen Bruch umformen. So wie vorher, nur diesmal umgekehrt. Das würde dann so aussehen.

Das c lassen wir erstmal weg und schreiben es erst zum Schluss wieder dazu. x hoch minus 2 ist das gleiche wie 1 durch x hoch 2. Nun multiplizierst du die Brüche. 1 mal 1 ist 1 und 2 mal x Quadrat sind 2 x Quadrat.

Das Minus schreibst du wieder davor. Und schon bist du fertig. Die Potenzregel funktioniert aber nicht bei diesem Bruch.

Die Stammfunktion davon ist nämlich der natürliche Logarithmus ln von x plus c. Das musst du auswendig lernen. Statt 1 durch x könnte dort auch x hoch minus 1 stehen, denn das ist ja das gleiche.

Wurzeln integrieren

Auch Wurzeln lassen sich mit der Potenzregel integrieren, nachdem du die sie in eine Potenz umgeformt hast. Wie das geht, siehst du hier.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du die Stammfunktion einer Wurzelfunktion bildest. Das geht mit der Potenzregel. Bevor du die Potenzregel benutzen kannst, musst du die Wurzel aber erstmal in eine Potenz umformen.

x ist das gleiche wie x¹. Diese Wurzel wird auch Quadratwurzel genannt, weil es die zweite Wurzel ist. Die 2 wird nur immer weggelassen.

Das kannst du als Potenz schreiben. Die Hochzahl ist dabei ein Bruch. Die 1 kommt in den Zähler und die 2 in den Nenner.

Wurzel x ist also x½. Präge dir das gut ein. Nun kannst du aufleiten, also die Stammfunktion bilden.

Nimm die Hochzahl ½ und rechne plus 1. Das Ergebnis 3/2 wird die neue Hochzahl. Der Kehrwert von 3/2 ist 2/3. Du vertauscht also einfach oben und unten.

Das schreibst du nun vor das x. Dahinter schreibst du wie immer plus c. Groß f von x ist somit 2/3 x hoch 3/2 plus c. Du kannst die Stammfunktion so stehen lassen oder x hoch 3/2 wieder in eine Wurzel umformen. So wie vorher, nur diesmal umgekehrt. Das würde dann so aussehen.

Das c lassen wir erstmal weg und schreiben es erst zum Schluss wieder dazu. x hoch 3/2 ist die Quadratwurzel aus x³. Diese Zahl kommt immer hier hin und diese Zahl kommt immer hier hin.

Ist der Wurzelexponent 2, lässt man ihn üblicherweise weg. Auch den Malpunkt kannst du weglassen. Und schon bist du fertig.

So kannst du Wurzeln umformen. Eine Wurzel lässt sich als Potenz schreiben, wobei die Hochzahl ein Bruch ist. Diese Zahl kommt nach oben und diese Zahl kommt nach unten.

Hier wird erst potenziert und dann die Entewurzel gezogen. Hier ist die Reihenfolge umgekehrt. Erst wird die Entewurzel gezogen und das Ergebnis wird anschließend hoch m genommen.

Die Potenzschreibweise ist aber bei beiden Ausdrücken gleich. Die Hochzahl kommt nach oben und der Wurzelexponent kommt nach unten.

Stammfunktionen weiterer Grundfunktionen

Hier zeige ich dir weitere Grundfunktionen, deren Stammfunktionen du einfach auswendig lernen musst.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir die Stammfunktionen einiger Grundfunktionen, die du auswendig lernen musst. Ist die Funktion nur eine Zahl, hängst du einfach ein x dran. Die Zahl darf auch negativ sein oder ein Bruch oder irrational, wie zum Beispiel Pi.

Die Stammfunktion von e hoch x ist wieder e hoch x. Versuchst du den Bruch 1 durch x mit der Potenzregel zu integrieren, wirst du merken, dass da was komisch ist. Dieser Bruch ist nämlich eine Ausnahme. Die Stammfunktion ist der natürliche Logarithmus ln vom Betrag von x. Die Stammfunktion von Sinus x ist minus Cosinus x und die Stammfunktion von Cosinus x ist Sinus x. Beachte, dass du hier hinter jeweils noch plus c schreibst.

c ist eine beliebige reelle Zahl. Leitest du die Stammfunktionen ab, kommen diese Funktionen raus. Zum Beispiel ist die Ableitung von Sinus x Cosinus x, die Ableitung von 3x ist 3 und so weiter.

Summenregel

Bei einer Summe integrierst du jeden Summanden einzeln. Hier siehst du ein Beispiel dafür.

Lösungsbeschreibung

Wie beim Ableiten gibt es auch beim Integrieren eine Summregel. Diese zeige ich dir jetzt. Integriere jeden Summanden einzeln.

In diesem Beispiel integrierst du also die 2 und cosx einzeln. Die Stammfunktion von 2 ist 2x. Plus c wird nur einmal aufgeschrieben.

Und die Stammfunktion von cosx ist sinx. Dazwischen überträgst du das Pluszeichen. Würde hier stattdessen ein Minus stehen, würdest du auch hier ein Minuszeichen schreiben.

Faktorregel

Konstante Faktoren bleiben beim Integrieren ebenso erhalten wie beim Ableiten. In diesem Video zeige ich dir 2 Beispiele.

Lösungsbeschreibung

Wie beim Ableiten gibt es auch beim Integrieren eine Faktorregel. Diese zeige ich dir jetzt. Konstante Faktoren bleiben beim Integrieren erhalten.

Wenn du zum Beispiel 3 cos x integrieren möchtest, schreibst du die 3 einfach ab und dann integrierst du cos x. Die Stammfunktion davon ist sin x. Dahinter schreibst du wie immer plus c. Machen wir noch ein zweites Beispiel. Wenn du 3 x² integrieren möchtest, schreibst du die 3 einfach ab und dann integrierst du x² mit der Potenzregel. Das sind 1 drittel x hoch 3. Die 3 kürzen sich.

Die 1 kannst du dann weglassen. Übrig bleibt x hoch 3 und dahinter schreibst du wie immer plus c.

Lineare Substitution

Die lineare Substitution ist ein Trick, um bestimmte Funktionen zu integrieren. Hier lernst du, wann du sie brauchst und wie sie funktioniert!

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Stammfunktion durch lineare Substitutionen bestimmst. Diese brauchst du, wenn in einer Grundfunktion vor dem x noch ein Faktor steht, wie hier 3, Pi, 2 oder 5. Zusätzlich kann noch eine Zahl addiert oder subtrahiert werden, wie plus 2, minus 1, plus 1 und so weiter. Das muss aber nicht der Fall sein, wie du hier siehst.

Bilde die Stammfunktion zunächst wie sonst auch. Die Stammfunktion von Sinus ist minus Cosinus. Das, was in der Klammer steht, übernimmst du einfach.

Und nun schreibst du noch einen Faktor davor, und zwar 1 durch diese Zahl. Dahinter kommt wie üblich plus c. Das gilt für alle diese Stammfunktionen. Das Verfahren heißt lineare Substitution, weil du eigentlich 3x durch z ersetzt, die Stammfunktion bildest und die Substitution dann wieder rückgängig machst.

Das alles brauchst du aber gar nicht aufzuschreiben. Das, was hier steht, genügt. Nun schauen wir uns noch die anderen Beispiele an.

Die Stammfunktion von Cosinus ist Sinus. Das, was in der Klammer steht, übernimmst du einfach. Und davor schreibst du 1 durch Pi.

Die Stammfunktion der E-Funktion ist die E-Funktion selbst. 2x-1 übernimmst du einfach. Und davor schreibst du 1 durch 2. Hier bildest du die Stammfunktion zunächst mit der Potenzregel.

Du erhöhst die Hochzahl von 3 auf 4 und schreibst davor den Faktor ein Viertel. Anstelle von x steht hier 5x plus 2. Das übernimmst du einfach. Und nun schreibst du noch den Faktor 1 durch 5 davor.

Das kannst du zusammenfassen. 1x1 ist 1 und 5x4 ist 20. Das ist die gesuchte Stammfunktion.

Jetzt möchte ich dir kurz zeigen, warum dieser Faktor immer davor muss. Dazu gehen wir den umgekehrten Weg und leiten als Beispiel diese Funktion ab. Dann muss ja das rauskommen.

Wir leiten also diese Funktion ab. Der Faktor 1 halb bleibt dabei erhalten. e hoch 2x-1 ist eine Verkettung.

Diese leitest du mit der Kettenregel ab. Die äußere Ableitung ist die e-Funktion selbst, also e hoch 2x-1. Und nun leitest du noch die innere Funktion ab.

Die Ableitung von 2x ist 2. Minus 1 fällt beim Ableiten weg. Genauso wie die Zahl c. Und nun siehst du, dass wir diesen Faktor brauchen, damit er sich mit der inneren Ableitung kürzt. Die 1 kannst du dann weglassen, sodass nur das übrig bleibt.

Das war ja die Ausgangsfunktion f von x.

Stammfunktion mit vorgegebener Eigenschaft bestimmen

Oft sollst du eine Stammfunktion angeben, die zusätzlich bestimmte Eigenschaften hat, z.B. eine vorgegebene Nullstelle. Hier zeige ich dir, wie du diese Stammfunktion ermittelst.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Stammfunktion mit vorgegebenen Eigenschaften bestimmst, wie z.B. in dieser Aufgabe. Gib zur Funktion f mit f von x gleich x eine Stammfunktion Groß F mit f von 0 gleich 3 an. Um diese Aufgabe zu lösen, sind zwei Schritte notwendig.

Zuerst bestimmst du wie üblich die Stammfunktion. Und dann rechnest du aus, was c sein muss, damit diese Bedingung erfüllt ist. Machen wir das mal.

Die Stammfunktion von x ist nach der Potenzregel 1 halb x Quadrat plus c. Nun bestimmst du c. Dazu schreibst du diese Bedingung ab. Nun setzt du für x 0 in die Stammfunktion ein. Das ergibt 1 halb mal 0 Quadrat plus c. Die rechte Seite schreibst du ab.

0 zum Quadrat ist 0 und 1 halb mal 0 ist immer noch 0. Somit bleibt nur c übrig. Und das muss 3 sein. Und das setzt du jetzt einfach hier ein.

Das ist die gesuchte Stammfunktion. Nicht immer ist eine solche Gleichung gegeben. Dann musst du diese Gleichung erst selbst aufstellen.

Wie das geht, zeige ich dir jetzt. Hier links siehst du typische Formulierungen aus Textaufgaben. Rechts steht die zugehörige Gleichung, auf die du selbst kommen musst.

Der Graph von f verläuft durch den Punkt P1,2. Das bedeutet f von 1 gleich 2. Nächstes Beispiel. f hat eine Nullstelle in x0 gleich 3. Schauen wir uns das mal im Koordinatensystem an.

Hier ist die x-Achse und hier ist 3. Dieser Punkt hat somit die Koordinaten 3,0. Nun kannst du wie hier die Gleichung dazu aufstellen. f von 3 ist 0. Kommen wir zum letzten Beispiel.

Der Graph von f schneidet die y-Achse in 4. Hier ist die y-Achse und hier ist 4. Dieser Punkt hat somit die Koordinaten 0,4. Und welche Gleichung folgt daraus? Na klar, f von 0 gleich 4.

So hängen Ableiten und Stammfunktion bilden zusammen

Die Umkehrung vom Ableiten ist das Integrieren - also das Bilden der Stammfunktion. Entsprechend wird letzteres auch als Aufleiten bezeichnet. Dieser Zusammenhang ist sehr wichtig, um Textaufgaben zu lösen und Schaubilder nachzuvollziehen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video erkläre ich dir, wie ableiten und Stammfunktion bilden zusammenhängen. Die Stammfunktion von 2x ist nach der Potenzregel x² plus c. Wenn du dein Ergebnis überprüfen möchtest, kannst du die Stammfunktion einfach ableiten. Dann muss diese Funktion herauskommen.

Die Ableitung von x² ist 2x. c steht für eine beliebige Zahl, z.B. 5, und die fällt beim Ableiten weg. Die Umkehrung zum Ableiten ist somit das Bilden einer Stammfunktion.

Deshalb sagt man auch Aufleiten dazu. Wichtig ist aber noch folgender Unterschied. Es gibt nur eine Ableitung, aber unendlich viele Stammfunktionen, denn c kann ja alles Mögliche sein, 5 oder –1 oder 1 halb und so weiter.

Das hier ist also die Menge aller Stammfunktionen. Und dafür schreibt man auch Integral über 2x dx. Genauer gesagt ist das das unbestimmte Integral, da hier unten und oben keine Grenzen dran stehen.

Statt Aufleiten sagt man entsprechend auch Integrieren. Wichtig sind folgende Ebenen. Groß F von x, F von x und F' von x. Leitest du die Stammfunktion ab, erhältst du F von x, wie gerade schon erklärt.

Leitest du diese Funktion ab, erhältst du F' von x. F von x ist somit eine Stammfunktion von F' von x. Durch Bilden einer Stammfunktion gelangst du immer eine Ebene höher und durch Ableiten eine Ebene tiefer.

Was ist ein unbestimmtes Integral?

Das unbestimmte Integral ist eine neue Schreibweise für die Stammfunktion (genauer gesagt: für die Menge aller Stammfunktionen). Wenn du Stammfunktionen bilden kannst, kannst du auch unbestimmte Integrale ermitteln. Nur dass letzteres viel schwerer aussieht.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video erkläre ich dir, was ein unbestimmtes Integral ist. Das unbestimmte Integral ist nur eine neue Schreibweise für etwas, das du schon kennst. Als Beispiel bilden wir die Stammfunktion von x².

Diese ist nach der Potenzregel 1 drittel x hoch 3 plus c. c ist eine beliebige reelle Zahl. Es ist aber üblich, das nicht jedes Mal dazuzuschreiben. Jede Zahl, die du für c einsetzt, ergibt eine andere Stammfunktion.

Hier steht also die Menge aller Stammfunktionen. Das Bilden der Stammfunktion wird auch als Integrieren bezeichnet. Das Integral über x² dx ist somit die Menge aller Stammfunktionen.

Hier muss immer dx dahinter. Das ist ja f von x. Und das ist Groß-f von x. Allgemein ist also das Integral über f von x dx gleich Groß-f von x. Da hier unten und oben keine Grenzen dran stehen, nennt man das ein unbestimmtes Integral. Merke dir, das unbestimmte Integral ist die Menge aller Stammfunktionen.