Funktion aus Bedingungen bestimmen

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• Ganzrationale Funktion aus Bedingungen bestimmen
• Liste von Bedingungen
• Exponentialfunktion aus Bedingungen bestimmen

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Ganzrationale Funktion aus Bedingungen bestimmen

Bisher war eine Funktion vorgegeben und du hast ihre Eigenschaften bestimmt. Jetzt ist es umgekehrt! Nun sind die Eigenschaften vorgegeben (Bedingungen) und du sollst eine Funktion finden, die diese Eigenschaften besitzt. Am häufigsten sollst du eine ganzrationale Funktionen (auch Polynomfunktionen genannt) bestimmen. In diesem Video zeige ich dir, wie das geht.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Funktion bzw. Kurve aus Bedingungen bestimmst. Solche Aufgaben werden auch Steckbriefaufgaben genannt.

Am häufigsten sind dabei ganzrationale Funktionen bzw. Polynomfunktionen, wie hier. In einem anderen Video zeige ich dir als Beispiel eine Exponentialfunktion.

Unsere Aufgabe lautet, der Graph K einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades hat den Hochpunkt 0,4 und den Wendepunkt 1,2. Bestimme f von x. Da der Grad 3 ist, fängst du mit x hoch 3 an. Wäre der Grad 4, würdest du mit x hoch 4 anfangen und so weiter.

Nun gehst du runter, x hoch 3, x² und x. Davor können ja noch Faktoren stehen. Da du diese noch nicht kennst, schreibst du als Platzhalter a, b und c dafür. Zum Schluss kommt noch eine einfache Zahl d. Für die Bedingung mit dem Extrempunkt brauchst du die erste Ableitung.

Und für die Bedingung mit dem Wendepunkt brauchst du die zweite Ableitung. Die Ableitung von x hoch 3 ist 3x². Der Faktor a bleibt beim Ableiten erhalten.

Die Ableitung von x² ist 2x. b bleibt wieder erhalten. Die Ableitung von x ist 1 und c mal 1 ist c. Eine einfache Zahl fällt beim Ableiten weg.

Nun leitest du nochmal ab. Die Ableitung von x² ist 2x und 3 mal 2x sind 6x. Der Faktor a bleibt wieder erhalten.

Die Ableitung von x ist 1 und 2b mal 1 sind 2b. Die Zahl c fällt beim Ableiten weg. Um die Aufgabe zu lösen, musst du herausfinden, was a, b, c und d sein müssen.

Dazu nutzt du die Bedingungen aus der Aufgabenstellung. Der Graph hat den Hochpunkt 04. Dieser Punkt liegt also auf dem Graphen.

Das bedeutet f von 0 gleich 4. Bei einem Hochpunkt ist außerdem die erste Ableitung an dieser Stelle 0. Also f' von 0 gleich 0. Als nächstes stellst du die Gleichungen dazu auf. Da hier f steht, musst du in diese Gleichung einsetzen. Für x sollst du 0 einsetzen.

0 hoch 3 ist 0 und a mal 0 ist 0. Ebenso kommt hier 0 raus und hier. Das kannst du gleich weglassen. Übrig bleibt also nur d. Und das soll laut dieser Bedingung 4 sein.

Nun nimmst du dir die nächste Bedingung vor. Da hier f' steht, musst du in diese Gleichung einsetzen. Für x sollst du wieder 0 einsetzen.

Wie vorher kommt dann hier und hier 0 raus. Nur das c bleibt übrig. Und das soll laut dieser Bedingung 0 sein.

Außerdem soll der Graph diesen Wendepunkt haben. Dieser Punkt liegt also auf dem Graphen. Somit ist f von 1 gleich 2. Bei einem Wendepunkt ist außerdem die zweite Ableitung an dieser Stelle 0. Also f' von 1 gleich 0. Als nächstes stellst du wieder die Gleichungen dazu auf.

Da hier f steht, musst du in diese Gleichung einsetzen. Für x sollst du diesmal 1 einsetzen. 1 hoch 3 ist 1. Und a mal 1 ist a. 1 zum Quadrat ist ebenfalls 1. Und b mal 1 ist b. c mal 1 ist c. Und hier kommt noch das d dazu.

Das soll laut dieser Bedingung 2 sein. Nun nimmst du dir die letzte Bedingung vor. Da hier f' steht, musst du in diese Gleichung einsetzen.

Für x sollst du wieder 1 einsetzen. 6a mal 1 sind 6a. Und dann überträgst du noch plus 2b.

Das soll laut dieser Bedingung 0 sein. Diese Gleichungen bilden zusammen ein Gleichungssystem, das du lösen musst. Da hier kein Platz mehr ist, geht es damit auf der nächsten Seite weiter.

Hier siehst du noch mal die vier Gleichungen, die ich jetzt mit römischen Ziffern nummeriert habe. Die erste und zweite Gleichung liefern direkt zwei der gesuchten Variablen. Überlege nun, wie du geschickt vorgehen kannst, um die übrigen Variablen zu bestimmen.

Hier kannst du zum Beispiel die letzte Gleichung nach b auflösen und dann b, c und d in diese Gleichung einsetzen. Machen wir das mal. Bringe die 6a rüber und teile nun durch 2. b ist also minus 3a.

Nun setzt du b, c und d in die dritte Gleichung ein. a schreibst du einfach ab. Statt b schreibst du minus 3a.

c ist ja 0, das kannst du gleich weglassen. Und d ist 4. Die rechte Seite der Gleichung ist 2. Bringe die 4 rüber. 2 minus 4 ist minus 2. Und a minus 3a sind minus 2a.

Teilst du nun durch minus 2, erhältst du a gleich 1. Das kannst du nun in die vierte Gleichung einsetzen, um b auszurechnen. b ist also minus 3 mal 1. Und das ist minus 3. Damit der Graph die geforderten Eigenschaften hat, muss a also 1 sein, b muss minus 3 sein, c muss 0 sein und d muss 4 sein. Das setzt du jetzt in den Ansatz ein, den du am Anfang aufgestellt hast.

a ist 1, eine 1 brauchst du nicht extra hinzuschreiben. b ist minus 3. c ist 0, deshalb fällt cx weg. Und d ist 4. Das ist die gesuchte Funktion.

Eigentlich musst du dein Ergebnis zum Schluss immer kontrollieren, wenn Extrempunkte oder Wendepunkte Bedingung waren. In der Praxis wird das aber oft weggelassen. Ich zeige dir jetzt, was du dazu tun müsstest.

Falls du ein GTR oder CAS hast, kannst du dir den Graph zeichnen lassen. Wie gefordert hat er hier einen Hochpunkt und hier einen Wendepunkt. Schreibe dann, dass du mit dem GTR bzw.

CAS bestätigen konntest, dass der Graph die Bedingungen erfüllt. Ohne diese Hilfsmittel musst du es rechnerisch prüfen. Dazu musst du diese Funktion aber erstmal ableiten.

Oder du setzt a, b und c in die Ableitungen vom Anfang ein. Jetzt leiten wir aber nochmal ab. Die Ableitung von x hoch 3 ist 3x².

Die Ableitung von x² ist 2x und 3 mal 2x sind 6x. Das Minus überträgst du einfach. Die 4 fällt beim Ableiten weg.

Nun leitest du nochmal ab. Die Ableitung von x² ist 2x und 3 mal 2x sind 6x. Die Ableitung von x ist 1 und 6 mal 1 ist 6. Das Minus überträgst du einfach.

Nun leitest du ein letztes Mal ab. Die Ableitung von x ist 1 und 6 mal 1 ist 6. Minus 6 fällt beim Ableiten weg. Nun kommt die Kontrolle.

Hat der Graph einen Hochpunkt an der Stelle 0, dann muss f2' von 0 kleiner als 0 sein. Das ist die hinreichende Bedingung. Setze also hier und hier für x 0 ein.

6 mal 0 ist 0 und 0 minus 6 ist minus 6. Das ist kleiner als 0. Somit ist der Hochpunkt bestätigt. Alternativ kannst du nachweisen, dass f' an der Stelle 0 ein Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus hat. Hat der Graph einen Wendepunkt an der Stelle 1, dann darf f3' von 1 nicht 0 sein.

Das ist die hinreichende Bedingung. f3' ist immer 6, egal welche Zahl du für x einsetzt. 6 ist ungleich 0. Somit ist der Wendepunkt bestätigt.

Alternativ kannst du nachweisen, dass f2' an der Stelle 1 einen Vorzeichenwechsel hat. Zum Schluss möchte ich dir zu derselben Funktion noch eine andere Aufgabe zeigen, die typisch ist. K ist das Schaubild der Funktion f mit f von x gleich ax³ plus bx² plus c. x sowie a, b und c sind reelle Zahlen.

K hat den Hochpunkt 0,4 und den Wendepunkt 1,2. Bestimme a, b und c. Im Vergleich zu vorher hast du hier schon den Ansatz gegeben und er enthält auch nur drei Variablen. Wir hatten vorher vier Variablen, weil wir ja noch nicht wussten, dass eine davon 0 ist.

Das weitere Vorgehen ist aber genau wie vorher.

Liste von Bedingungen

Diese Liste enthält über 20 Formulierungen mit den zugehörigen Bedingungen bzw. Gleichungen. Die Liste ist aber nicht dazu gedacht, sie auswendig zu lernen. Verwende sie besser, um dein Wissen zu testen! Frage dich, ob du selbst drauf gekommen wärst und falls nicht, hast du gleich Schlagwörter, die du auf Abimathe in die Suchleiste eingeben kannst! Außerdem kannst du die Liste nutzen, wenn du mal nicht weiter kommst oder um deine eigenen Ansätze zu überprüfen.

Lösungsbeschreibung

Dieses Video hilft dir dabei, Funktionen aus Bedingungen zu bestimmen. Links siehst du typische Formulierungen aus Aufgaben und rechts die entsprechenden Bedingungen. Insgesamt sind es über 20 Formulierungen.

Diese gehen wir jetzt nacheinander durch. Das Schaubild einer ganz rationalen Funktion dritten Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Die Ausdrücke in Klammern können auch weggelassen sein.

Bei Symmetrie zum Ursprung enthält der Ansatz nur ungerade Hochzahlen. Wegen dem Grad 3 beginnst du wie üblich mit ax³. 3 ist ja eine ungerade Zahl.

Da x² wegfällt, kommt als nächstes bx und die Zahl zum Schluss fällt auch weg. Das Schaubild einer Polynomfunktion vom Grad 4 ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Hier könnte auch nur symmetrisch stehen.

Eine Polynomfunktion ist das gleiche wie eine ganz rationale Funktion. Bei Achsensymmetrie zur y-Achse enthält der Ansatz nur gerade Hochzahlen. Wegen dem Grad 4 beginnst du wie üblich mit ax³.

4 ist ja eine gerade Zahl. Da x³ wegfällt, kommt als nächstes bx². Da außer dem x wegfällt, kommt dann gleich die einfache Zahl c. Hier ist also eine einfache Zahl erlaubt, hier nicht.

K soll von nun an den Graph der Funktion f bezeichnen. K verläuft durch den Punkt P1,2. Dieser Punkt liegt also auf dem Graphen von f. Folglich ist f von 1 gleich 2. K hat den Extrempunkt bzw.

Hochpunkt bzw. Tiefpunkt Q3,4. Dieser liegt natürlich auf dem Graphen von f. Das bedeutet f von 3 gleich 4. Eine Extremstelle ist eine Nullstelle der ersten Ableitung.

Somit ist f' von 3 gleich 0. Es kann auch sein, dass nur die Extremstelle bzw. Maximumstelle bzw. Minimumstelle gegeben ist.

Das ist diese x-Koordinate. In diesem Fall kennst du also die y-Koordinate nicht und kannst keine solche Bedingung aufschreiben. Du erhältst dann nur diese Bedingung.

Die gleiche Bedeutung hat diese Formulierung. K hat ein Extremum bzw. Maximum bzw.

Minimum bei x gleich 3. K hat den Wendepunkt 1,2. Der Wendepunkt liegt natürlich auf dem Graphen von f. Somit ist f von 1 gleich 2. Eine Wendestelle ist eine Nullstelle der zweiten Ableitung. Somit ist f'' von 1 gleich 0. Es kann auch sein, dass nur die Wendestelle gegeben ist.

Das ist diese x-Koordinate. Dann kennst du die y-Koordinate nicht und kannst keine solche Bedingung aufschreiben. Du erhältst dann nur diese Bedingung.

K hat den Sattelpunkt 3,4. Der Sattelpunkt liegt natürlich wieder auf dem Graphen von f. Das bedeutet f von 3 gleich 4. Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Wie bei einem Wendepunkt ist somit f'' von 3 gleich 0. Wenn die Tangente waagerecht verläuft, hat sie die Steigung 0. Und die Steigung entspricht dem Wert der ersten Ableitung.

Somit ist zusätzlich f'' von 3 gleich 0. K hat in x gleich 5 die Steigung 6. Die Steigung ist der Wert der ersten Ableitung. Somit ist f'' von 5 gleich 6. Stattdessen könnte dort auch stehen, die Tangente in x gleich 5 hat die Steigung 6. Die Steigung der Tangente ist ja die Steigung des Graphen. Somit ergibt das dieselbe Gleichung.

K hat in Punkt 1,2 eine Tangente mit der Steigung minus 3. Somit ist die erste Ableitung an der Stelle 1 gleich minus 3. Außerdem liegt der Punkt auf dem Graphen. Somit ist f von 1 gleich 2. Die Tangente im Wendepunkt 4,5 hat die Steigung 6. Der Wendepunkt liegt auf dem Graphen. Somit ist f von 4 gleich 5. Eine Wendestelle ist eine Nullstelle der zweiten Ableitung.

Somit ist f'' von 4 gleich 0. Die Steigung der Tangente ist der Wert der ersten Ableitung. Somit ist f'' von 4 gleich 6. K schneidet die x-Achse in x gleich 7. Der Schnittpunkt hat dann die y-Koordinate 0, wie alle Punkte auf der x-Achse. Somit ist f von 7 gleich 0. Gleichbedeutend damit ist die Formulierung K hat eine Nullstelle bzw.

eine einfache Nullstelle bei x gleich 7. K berührt die x-Achse in x gleich 8. Der Berührpunkt hat dann ebenfalls die y-Koordinate 0, da er ja auf der x-Achse liegt. Wie hier oben kannst du deshalb schreiben f von 8 gleich 0. Hier siehst du einen Graph, der die x-Achse berührt. Erst ist er fallend und dann steigend.

Doch genau hier ist seine Steigung 0. Die Steigung ist der Wert der ersten Ableitung. Somit ist f' von 8 ebenfalls 0. An einer doppelten Nullstelle berührt der Graph die x-Achse. Deshalb ergeben sich aus dieser Formulierung die gleichen Bedingungen.

Exponentialfunktion aus Bedingungen bestimmen

Hier zeige ich dir, wie du eine Exponentialfunktion aus Bedingungen bestimmst und welchen Ansatz du dafür wählen musst.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Exponentialfunktion aus Bedingungen bestimmst. Die Aufgabe lautet, der Graph einer Exponentialfunktion f geht durch die Punkte p und q mit den angegebenen Koordinaten. Bestimme einen möglichen Funktionsterm.

Der Ansatz für eine Exponentialfunktion lautet f von x gleich a mal e hoch bx. Um die Aufgabe zu lösen, musst du also herausfinden, was a und b sein müssen. Dazu nutzt du die Angaben aus der Aufgabe.

Der Punkt p soll auf dem Graphen liegen. Das bedeutet f von 0 gleich 3. Als nächstes stellst du die Gleichung dazu auf. Setze für x 0 ein.

Und das soll laut dieser Bedingung 3 sein. b mal 0 ist 0 und e hoch 0 ist 1. Das solltest du auswendig wissen. a mal 1 ist dann a. Somit weißt du schon, dass a 3 sein muss.

Das gleiche machst du nun für den Punkt q. Damit der Punkt q auf dem Graphen liegt, muss f von 2 gleich 3e hoch 0,4 sein. Setze diesmal für x 2 ein. Außerdem kannst du für a gleich 3 schreiben.

Das soll laut dieser Bedingung 3e hoch 0,4 sein. 3e stimmt schon über 1. Damit beide Seiten gleich sind, muss dann noch b mal 2 0,4 ergeben. b mal 2 ist das gleiche wie 2b.

Teilst du nun durch 2, erhältst du b gleich 0,2. Nun ersetzt du hier das b durch 0,2. Und das a durch 3. Das ist ein möglicher Funktionsterm, der die Bedingungen erfüllt.

Hier siehst du zum Vergleich den Graph. Wie gefordert verläuft er durch die Punkte p und q. 3e hoch 0,4 ist rund 4,5.