Extremwertaufgaben
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Extremwertaufgaben
In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Extremwertaufgabe (auch Optimierungsproblem genannt) löst. Du lernst, die Zielfunktion aufzustellen, eine nützliche Nebenbedingung zu finden und die optimale Lösung zu berechnen!
Lösungsbeschreibung
In diesem Video zeige ich dir, wie du Extremwertaufgaben löst. Diese werden auch Optimierungsprobleme genannt. Dazu nehmen wir dieses Beispiel.
Gegeben ist die Funktion f mit f von x gleich 3 minus ein Drittel x² für 0 kleiner gleich x kleiner gleich 3 und der Punkt p auf dem Graphen von f. Bestimme p so, dass der Flächeninhalt des eingezeichneten Rechtecks maximal wird. Hier siehst du den Graph der Funktion f. Normalerweise geht der Graph links und rechts noch weiter. Doch jetzt soll nur dieser Teil betrachtet werden.
Deshalb ist der Definitionsbereich eingeschränkt. x soll eine Zahl von 0 bis 3 sein. Das ist dieses Intervall auf der x-Achse.
Der Punkt p liegt auf dem Graphen von f. Dadurch kann man ein solches Rechteck einzeichnen. Je nachdem, wo auf dem Graph der Punkt p liegt, sieht das Rechteck anders aus und hat auch einen anderen Flächeninhalt. Du sollst den Punkt p jetzt so platzieren, dass der Flächeninhalt so groß wie möglich wird, also maximal.
Bezeichnen wir die Seiten des Rechtecks mit u und v, dann ist der Flächeninhalt a gleich u mal v. Das bezeichnet man als die Zielfunktion. Um zu verdeutlichen, dass der Flächeninhalt von den Variablen u und v abhängt, schreibst du sie in Klammern hinter das a. Mit der Grafik wird klar, dass das gleichzeitig die Koordinaten des Punktes p sind. u ist die x-Koordinate und v ist die y-Koordinate.
Diese Koordinaten willst du ja ausrechnen. Du kannst aber nicht zwei Unbekannte gleichzeitig bestimmen. Deshalb musst du erst eine der Variablen eliminieren.
Da der Punkt ja auf dem Graphen von f liegt, ist die y-Koordinate f von u. Statt v kannst du nun auch hier und hier f von u schreiben. Das wird als Nebenbedingung bezeichnet. v ist also f von u. Zur Erinnerung, f von x war das und f von u erhältst du, wenn du hier für x u einsetzt.
Statt v kannst du in der Zielfunktion nun auch das schreiben. Nun ist die Zielfunktion nur noch von u abhängig. Multipliziere noch die Klammer aus.
u mal 3 sind 3u und aus u² wird u hoch 3. Da hier kein Platz mehr ist, geht's auf der nächsten Seite weiter. Das ist also die neue Zielfunktion. u ist ja die x-Koordinate des Punktes p. Deshalb darf u ebenfalls nur eine Zahl von 0 bis 3 sein.
Der Flächeninhalt a soll ja maximal werden. Die Frage ist also, für welches u hat diese Funktion ein Maximum. Um das herauszufinden, bestimmst du wie üblich die Extremstellen dieser Funktion.
Dazu brauchst du die erste Ableitung. Behandle u so wie sonst x. Die Ableitung von 3u ist dann 3. Der Faktor 1 Drittel bleibt erhalten. Und die Ableitung von u hoch 3 ist 3u².
Die 3en kürzen sich und übrig bleibt u². Um die Extremstellen zu bestimmen, setzt du wie üblich die erste Ableitung 0. Das ergibt die Gleichung 3-u² gleich 0. Nun löst du nach u auf. Rechne dazu plus u² und ziehe nun die Wurzel.
Dadurch erhältst du zwei Lösungen, eine positive und eine negative. Die Wurzel aus 3 ist eine irrationale Zahl. Deshalb lasse am besten die Wurzel stehen.
Die negative Lösung entfällt, da sie nicht zwischen 0 und 3 liegt. Somit kommt nur Wurzel 3 als Extremstelle infrage. Um zu prüfen, ob die Zielfunktion an dieser Stelle wie gewünscht ein Maximum hat, hast du zwei Möglichkeiten.
Nimm die, die du aus dem Unterricht kennst. Entweder untersuchst du die erste Ableitung auf einen Vorzeichenwechsel an dieser Stelle oder du benutzt die zweite Ableitung. Diesen Weg zeige ich dir zuerst.
Danach zeige ich dir die andere Möglichkeit. Um die zweite Ableitung zu bilden, musst du die erste Ableitung nochmal ableiten. Die 3 fällt beim Ableiten weg.
Die Ableitung von u² ist 2u und davor schreibst du das Minus. Setze nun hier und hier Wurzel 3 in die zweite Ableitung ein. Ist das Ergebnis wie hier kleiner als 0, folgt daraus, dass es sich um ein Maximum handelt.
Jetzt zeige ich dir die andere Möglichkeit. Hier siehst du nochmal die erste Ableitung. Nun prüfst du, ob diese an der Stelle Wurzel 3 einen Vorzeichenwechsel hat.
Wurzel 3² wäre 3 und 3-3 wäre 0. Ist u nun etwas kleiner als Wurzel 3, ist u² auch kleiner als 3. Somit ist die Differenz größer als 0 und das Vorzeichen somit ein Plus. Ist u dagegen etwas größer als Wurzel 3, ist u² auch größer als 3 und die Differenz kleiner als 0. Das Vorzeichen ist somit Minus. Somit gibt es einen Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus.
In diesem Fall handelt es sich um ein Maximum. Nun kannst du ausrechnen, wie groß der Flächeninhalt maximal wird. Dazu setzt du Wurzel 3 für u in die Zielfunktion ein, also hier, hier und hier.
Das kannst du im Kopf oder mit dem Taschenrechner ausrechnen. Das Ergebnis ist 2 Wurzel 3 und das sind rund 3,46 Flächeneinheiten. Das ist ein relatives Maximum.
Statt relativ sagt man auch lokal. Bei Extremwertaufgaben ist aber immer ein absolutes Extremum gesucht. Statt absolut sagt man auch global.
Ob das auch das absolute Maximum ist, findest du heraus, indem du es mit den Randwerten vergleichst. Zur Erinnerung, die Ränder des Definitionsbereichs sind 0 und 3. Nun setzt du diese beiden Werte in die Zielfunktion ein. Setzt du hier, hier und hier für u 0 ein, kommt 0 raus.
Setzt du dort stattdessen 3 ein, kommt zum Schluss auch 0 raus. Somit ist das auch das absolute Maximum. Die Extremstelle Wurzel 3 ist somit die x-Koordinate des gesuchten Punktes P. Nun fehlt noch die y-Koordinate.
Diese hatten wir ja v genannt. Zur Erinnerung, v war laut Nebenbedingung f von u, also das hier. Setze nun hier und hier für u Wurzel 3 ein.
Wurzel 3 zum Quadrat ist 3. Somit kürzen sich die 3en und 3-1 macht 2. Das ist die y-Koordinate von P. Und Wurzel 3 ist die x-Koordinate. Wurzel 3 ist rund 1,7. Der Punkt P liegt also hier.
Für diesen Punkt wird der Flächeninhalt maximal und beträgt dann rund 3,46 Flächeneinheiten. Formuliere zum Schluss immer einen Antwortsatz. Ungefähr so.
Der Flächeninhalt des Rechtecks wird maximal für den Punkt P mit den Koordinaten Wurzel 3 und 2. Das Vorgehen ist bei jeder Extremwertaufgabe gleich. Das sind nochmal die einzelnen Schritte. Stelle die Zielfunktion auf.
Das ist eine Formel, mit der sich die Größe berechnen lässt, die maximal oder minimal werden soll. Diese hängt in der Regel von zwei Variablen ab. Diese Variablen sind aber nicht unabhängig voneinander.
Überlege deshalb, welche Nebenbedingungen es gibt. Das ist eine Gleichung, die angibt, wie eine der Variablen von der anderen abhängt. Dadurch kannst du eine Variable in der Zielfunktion ersetzen.
Somit hängt die Zielfunktion nur noch von einer Variable ab. Nun bestimmst du den absoluten Extremwert der Zielfunktion. Formuliere zum Schluss einen passenden Antwortsatz zur Aufgabenstellung.
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