Textaufgaben lösen (Differentialrechnung)

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• Funktionswerte und Zeitpunkte
• Extremwerte und Extremstellen
• Der Wert der 1. Ableitung
• Extrempunkte der 1. Ableitung
• Beispielaufgabe: Medikament
• Ableitungen
• Lösung zu Frage 1
• Lösung zu Frage 2
• Lösung zu Frage 3
• Lösung zu Frage 4

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Funktionswerte und Zeitpunkte

Oft wird gefragt, wie hoch der Wert (z.B. die Höhe einer Pflanze) zu einem Zeitpunkt ist oder wann ein bestimmter Wert erreicht wird. Das hat mit Differentialrechnung zwar nichts zu tun, dennoch möchte ich dir auch dazu ein paar Beispiele zeigen. Damit du wirklich in der Lage bist, eine Textaufgabe komplett zu verstehen und zu lösen!

Lösungsbeschreibung

In Textaufgaben können verschiedene Größen gesucht sein. Der einfachste Fall ist, dass ein bestimmter Funktionswert gesucht wird, oder der Zeitpunkt, zu dem ein bestimmter Funktionswert erreicht wird. Das hat mit Differentialrechnung zwar nichts zu tun, wird aber bei umfangreichen Aufgaben oft gefragt.

Deshalb möchte ich dir auch dafür ein paar Beispiele zeigen. Hier siehst du den Graph einer Funktion f. In Textaufgaben ist die unabhängige Variable in der Regel nicht x, sondern die Zeit t. Je nach Aufgabe ist t in Sekunden, Minuten, Stunden, Tagen, Wochen, Monaten oder Jahren. Der Graph von f zeigt, wie sich die betrachtete Größe f im Laufe der Zeit entwickelt.

Um zum Beispiel den Wert für t gleich 1 zu ermitteln, gehst du hoch auf den Graphen und dann rüber auf die andere Achse. Dort liest du den zugehörigen Funktionswert ab. Hier ist f von 1 gleich 2. Umgekehrt kann man auch fragen, wann ein bestimmter Wert erreicht wurde.

Zum Beispiel, wann ist f von t gleich 2? Dazu gehst du den umgekehrten Weg. Dabei kann es auch mehrere Lösungen geben, wie hier. Der Wert 2 wird nämlich für t gleich 1 erreicht und für t gleich 5. Gibt es mehrere Lösungen, nummeriere sie wie hier mit t1, t2 und so weiter.

Jetzt kommen wir wie versprochen zu konkreten Beispielen aus Textaufgaben. Hier links siehst du immer, welche Größe durch die Funktion f beschrieben wird. Zum Beispiel die Menge bzw.

Konzentration eines Medikaments im Blut des Patienten. Rechts stehen dann typische Fragen und der passende Lösungsansatz. Gehen wir die Beispiele mal nacheinander durch.

Wie hoch ist die Konzentration nach 2 Stunden? Wie hoch ist die Konzentration bedeutet, f ist gesucht. Nach 2 Stunden bedeutet, t ist 2. Somit ist f von 2 gesucht. Setze also für t 2 in die Funktionsgleichung ein und rechne den Wert einfach aus.

Das Medikament wirkt ab einer Konzentration von 5 mg pro Liter. Wann setzt die Wirkung ein? Die Konzentration f ist gegeben mit 5 mg pro Liter, also f von t gleich 5. Einheiten kannst du bei der Rechnung weglassen und erst im Antwortsatz wieder hinzufügen. Wann bedeutet t ist gesucht? Löse diese Gleichung, um t zu bestimmen.

Dabei wirst du sehr wahrscheinlich 2 Zeitpunkte erhalten. Doch nur der erste beantwortet die Frage, wann die Wirkung einsetzt. Denn nachdem die Konzentration noch weiter angestiegen ist, wird sie auch wieder sinken und beträgt dann zu einem späteren Zeitpunkt nochmal 5 mg pro Liter.

In diesem Beispiel beschreibt f die Höhe bzw. das Wachstum einer Pflanze. Wie hoch ist die Pflanze nach 4 Monaten? Wie hoch bedeutet, die Höhe f ist gesucht.

Nach 4 Monaten bedeutet, t ist 4. Somit ist f von 4 gesucht. Wann hat die Pflanze eine Höhe von einem Meter erreicht? Die Höhe f ist gegeben mit einem Meter, also f von t gleich 1. Wann bedeutet, t ist gesucht. Löse diese Gleichung, um t zu bestimmen.

Als nächstes beschreibt die Funktion die zurückgelegte Strecke bzw. den zurückgelegten Weg. Häufig wird diese Funktion nicht mit f bezeichnet, sondern mit s. Welche Strecke hat das Auto nach 10 Sekunden zurückgelegt? Welche Strecke bedeutet, s ist gesucht.

Nach 10 Sekunden bedeutet, t ist 10. Somit ist s von 10 gesucht. Wie lange braucht der Läufer, um 100 Meter zurückzulegen? Die Strecke s ist gegeben mit 100 Metern, also s von t gleich 100.

Wie lange bedeutet, t ist gesucht. Löse diese Gleichung, um t zu bestimmen. Nun ist f das Volumen z.B. von Wasser in einem See oder von Wasser in einer Regentonne.

Wie viel Wasser ist nach 24 Stunden in der Tonne? Wie viel Wasser bedeutet, das Volumen f ist gesucht. Nach 24 Stunden bedeutet, t ist 24. Somit ist f von 24 gesucht.

Wann ist die Tonne halb voll, was in diesem Beispiel 140 Liter entsprechen soll? Das Volumen f ist gegeben mit 140 Liter, also f von t gleich 140. Wann bedeutet, dass der Zeitpunkt t gesucht ist. Löse diese Gleichung, um t zu bestimmen.

Nun ist f die Durchflussmenge pro Stunde durch ein Rohr. Wie viel Wasser wird in der ersten Stunde abgepumpt? Wie viel Wasser bedeutet, die Menge f ist gesucht. In der ersten Stunde bedeutet, t ist 1. Somit ist f von 1 gesucht.

Nun geht es um die Temperatur. Diese wird häufig mit T bezeichnet, statt mit f. Auf welche Temperatur ist der T nach 15 Minuten abgekühlt? Auf welche Temperatur bedeutet, T ist gesucht. Nach 15 Minuten bedeutet, t ist 15.

Somit ist T von 15 gesucht. Nach wie vielen Minuten ist der Ofen auf 230° vorgeheizt? Die Temperatur ist gegeben mit 230°, also T von T gleich 230. Nach wie vielen Minuten bedeutet, dass die Zeit T gesucht ist.

Löse diese Gleichung, um T zu bestimmen. Kommen wir zum letzten Beispiel. Hier ist f die Anzahl z.B. von Bakterien oder einer Population oder von erkrankten Personen.

Wie viele Bakterien sind nach 20 Minuten vorhanden? Wie viele Bakterien bedeutet, die Anzahl f ist gesucht. Nach 20 Minuten bedeutet, T ist 20. Somit ist f von 20 gesucht.

Ab welchem Zeitpunkt beträgt die Anzahl der aussterbenden Population weniger als 1000? Die Anzahl f ist somit gegeben. Diese soll kleiner als 1000 sein. Ab welchem Zeitpunkt bedeutet, T ist gesucht.

Nun musst du diese Ungleichung lösen, um T zu bestimmen. Wie viele Stunden nach Beginn der Epidemie sind 10.000 Personen erkrankt? Die Anzahl f ist gegeben mit 10.000 Personen, also f von T gleich 10.000. Wie viele Stunden bedeutet, T ist gesucht. Löse diese Gleichung, um T zu bestimmen.

Extremwerte und Extremstellen

So werden Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion in Textaufgaben verpackt.

Lösungsbeschreibung

In Textaufgaben können verschiedene Größen gesucht sein. Jetzt lernst du zu erkennen, wann ein Extremwert gesucht ist oder der Zeitpunkt, zu dem ein Extremwert erreicht wird. Für Extremwerte gibt es bestimmte Signalwörter.

Wird zum Beispiel nach dem größten, höchsten, weitesten, längsten oder maximalen Wert der Funktion gefragt, dann ist das Maximum gesucht. Wird dagegen nach dem kleinsten, niedrigsten, tiefsten, geringsten, kürzesten oder minimalen Wert der Funktion gefragt, dann ist das Minimum gemeint. Gehen wir nochmal durch, wie du Extremwerte berechnest.

Hier siehst du den Graph einer Funktion f. In Textaufgaben ist die unabhängige Variable in der Regel nicht x, sondern die Zeit t. Der Graph zeigt, wie sich die betrachtete Größe f im Laufe der Zeit entwickelt. Leicht zu erkennen sind Hochpunkte und Tiefpunkte. Der Wert der Funktion im Tiefpunkt wird als Minimum bezeichnet.

Der Wert im Hochpunkt wird als Maximum bezeichnet. Wann das Maximum erreicht wird, kannst du auf der Zeitachse ablesen. Dieser Zeitpunkt wird Maximumstelle genannt.

Und dieser Zeitpunkt wird entsprechend Minimumstelle genannt. Wiederholen wir nochmal, wie man Hoch- und Tiefpunkte berechnet. Dazu musst du die erste Ableitung bilden und Null setzen.

Löst du diese Gleichung, erhältst du einen Wert für t, den wir jetzt mit t0 bezeichnen. Manchmal erhältst du auch mehrere Lösungen, aber meist nur eine. Um herauszufinden, ob dort ein Hoch- oder ein Tiefpunkt ist, hast du zwei Möglichkeiten.

Erste Möglichkeit, du setzt t0 in die zweite Ableitung ein. Ist die Zahl, die dabei herauskommt, kleiner als Null, ist es ein Hochpunkt. Ist sie größer als Null, ist es ein Tiefpunkt.

Die zweite Möglichkeit besteht darin, die erste Ableitung an der Stelle t0 auf einen Vorzeichenwechsel zu untersuchen. Wechselt das Vorzeichen von Plus nach Minus, ist es ein Hochpunkt und umgekehrt ist es ein Tiefpunkt. t0 ist in diesem Fall die Minimumstelle und in diesem Fall ist es die Maximumstelle.

Setzt du t0 in die Ausgangsfunktion ein, erhältst du den Extremwert, also das Maximum beziehungsweise das Minimum. t0 und f von t0 sind dann übrigens die Koordinaten des Hochpunktes beziehungsweise des Tiefpunktes. Das Maximum beziehungsweise das Minimum sind aber nur lokale Extrema.

Ist der Definitionsbereich eingeschränkt, musst du sie noch mit den Randwerten vergleichen, zum Beispiel wenn nur ein bestimmter Zeitraum betrachtet wird. Zu diesen sogenannten globalen Extremwerten gibt es auch ein Video auf Abimathe. In der Praxis wird das alles aber oft weggelassen.

Mach es, wenn dein Lehrer darauf Punkte gibt, ansonsten lass es weg. Jetzt kommen wir wie versprochen zu konkreten Beispielen aus Textaufgaben. Hier links siehst du immer, welche Größe durch die Funktion f beschrieben wird.

Rechts stehen dann typische Fragen und der passende Lösungsansatz. Gehen wir die Beispiele mal nacheinander durch. Hier ist f die Menge beziehungsweise Konzentration eines Medikaments im Blut des Patienten.

Wie hoch ist die maximale Menge im Blut? Maximale Menge bedeutet, das Maximum f von t0 ist gesucht. Wann wird diese Menge erreicht? Hier ist nun der Zeitpunkt t0 gesucht, also die Maximumstelle. t0 kennst du ja schon, denn sonst hättest du das Maximum gar nicht bestimmen können.

Somit brauchst du hier keine weitere Rechnung, sondern nur noch einen Antwortsatz. Nun geht es um die Temperatur. Diese wird häufig mit T bezeichnet statt mit f. Was war die tiefste Temperatur des Jahres? Tiefste Temperatur bedeutet, das Minimum t von t0 ist gesucht.

Wann war es am kältesten, bedeutet, der Zeitpunkt t0 ist gesucht, also die Minimumstelle. Auch hier kennst du t0 schon, denn sonst hättest du das Minimum gar nicht ausrechnen können. Somit reicht auch hier ein kurzer Antwortsatz.

In diesem Beispiel gibt f den Umsatz eines Monats an. Welcher war der umsatzstärkste Monat? Welcher Monat bedeutet, t ist gesucht. Umsatzstärkster bedeutet, dass es der Monat sein soll, in dem der Umsatz maximal war.

Somit ist die Maximumstelle t0 gesucht. Wie hoch war der Umsatz in diesem Monat? Um diese Frage zu beantworten, brauchst du t0 nur noch in die Ausgangsfunktion f einzusetzen, denn so kannst du das Maximum ausrechnen. Im letzten Beispiel beschreibt f die Durchflussgeschwindigkeit, zum Beispiel durch ein Rohr.

Zu welchem Zeitpunkt ist die Durchflussgeschwindigkeit extremal? Zu welchem Zeitpunkt bedeutet, t ist gesucht. Zum gesuchten Zeitpunkt soll die Durchflussgeschwindigkeit extremal sein. Bestimme deshalb einfach die Extremstelle t0.

Diese kann eine Minimum- oder eine Maximumstelle sein.

Der Wert der 1. Ableitung

Jetzt verrate ich dir die Signalwörter für die 1. Ableitung!

Lösungsbeschreibung

In Textaufgaben können verschiedene Größen gesucht sein. Jetzt lernst du zu erkennen, wann der Wert der ersten Ableitung gesucht ist oder der Zeitpunkt, zu dem die Ableitung einen bestimmten Wert annimmt. Die Funktion f gibt den Wert einer Größe im Laufe der Zeit an.

Die erste Ableitung dagegen gibt vereinfacht ausgedrückt die Änderung dieser Größe im Laufe der Zeit an. Wenn du das nächste Mal momentane oder auch lokale Änderungsrate liest, dann weißt du, dass der Wert der ersten Ableitung gemeint ist. Dies sind universelle Begriffe, die für alle Funktionen passen.

Doch es gibt noch viele andere Signalwörter. Beschreib die Funktion f eine Menge, dann ist die Zunahme, der Zuwachs oder die Abnahme die erste Ableitung. Beschreib die Funktion f eine Größe, eine Höhe oder ein Wachstum, dann ist die Wachstumsgeschwindigkeit oder die momentane Wachstumsrate die erste Ableitung.

Gibt f die Durchflussmenge an, dann ist die Durchflussgeschwindigkeit die erste Ableitung. Gibt die Funktion einen Weg oder eine Strecke an, dann ist die Geschwindigkeit die erste Ableitung. Für den Weg bzw.

die Strecke wird oft der Buchstabe s verwendet statt f. Die erste Ableitung ist dann s'. Üblich für die Geschwindigkeit ist aber auch v. Nun könnte natürlich auch die Funktion eine Geschwindigkeit sein. Dann ist die Beschleunigung die erste Ableitung.

Denn die Beschleunigung gibt ja an, wie sich die Geschwindigkeit verändert. Wird die Geschwindigkeit mit v bezeichnet, dann ist die Beschleunigung v'. Üblich ist aber auch der Buchstabe a. Gibt die Funktion die Kosten an, dann gibt die erste Ableitung die sogenannten Grenzkosten an.

Jetzt kommen wir wie versprochen zu konkreten Beispielen aus Textaufgaben. Hier links siehst du immer, welche Größe durch die Funktion beschrieben wird. Rechts stehen dann typische Fragen und der passende Lösungsansatz.

Gehen wir die Beispiele mal nacheinander durch. Hier gibt die Funktion s eine Strecke bzw. einen Weg an.

Welche Geschwindigkeit hat das Auto nach 10 Sekunden? Geschwindigkeit ist in diesem Fall das Signalwort für die erste Ableitung. Nach 10 Sekunden bedeutet t ist 10. Somit ist s' von 10 gesucht.

Nach wie vielen Sekunden hat das Auto eine Geschwindigkeit von 30 m pro Sekunde erreicht? Die Geschwindigkeit, also die Ableitung, ist gegeben mit 30 m pro Sekunde. Somit ist s' von t gleich 30. Einheiten kannst du beim Rechnen weglassen und beim Antwortsatz wieder hinzufügen.

Nach wie vielen Sekunden bedeutet t ist gesucht? Löse diese Gleichung, um t zu bestimmen. Hier gibt die Funktion v die Geschwindigkeit an. Wie groß ist die Beschleunigung nach 2 Sekunden? Beschleunigung ist in diesem Fall das Signalwort für die erste Ableitung.

Nach 2 Sekunden bedeutet t ist 2. Somit ist v' von 2 gesucht. Wann beschleunigt das Auto um 7 m pro Quadratsekunde? Die Beschleunigung, also die Ableitung, ist gegeben mit 7 m pro Quadratsekunde. Somit ist v' von t gleich 7. Wann bedeutet t ist gesucht? Löse diese Gleichung, um t zu bestimmen.

Hier beschreibt die Funktion f die Menge bzw. Konzentration eines Medikaments im Blut des Patienten. Ab welchem Zeitpunkt beträgt der Zuwachs des Medikaments weniger als 0,5 mg pro Minute? Da ein Zuwachs eine Änderung der Menge ist, ist das die erste Ableitung f' von t. Diese soll kleiner als 0,5 mg pro Minute sein.

Also f' von t kleiner 0,5. Ab welchem Zeitpunkt bedeutet t ist gesucht? Löse diese Ungleichung, um t zu bestimmen. In diesem Beispiel beschreibt f die Höhe bzw.

das Wachstum einer Pflanze. Welche Wachstumsgeschwindigkeit hat die Pflanze nach 3 Monaten? Wachstumsgeschwindigkeit ist in diesem Fall das Signalwort für die erste Ableitung. Nach 3 Monaten bedeutet t ist 3. Somit ist f' von 3 gesucht.

Wann wächst die Pflanze um 20 cm pro Monat? Oder gleichbedeutend damit, wann ist die momentane Wachstumsrate 20 cm pro Monat? Wächst die Pflanze um 20 cm, ändert sich ihre Höhe. Somit muss das die erste Ableitung sein. Hier wird das durch das Signalwort momentane Wachstumsrate noch deutlicher.

Somit ist f' von t gleich 20. Wann bedeutet t ist gesucht? Löse diese Gleichung, um t zu bestimmen.

Extrempunkte der 1. Ableitung

Hier erfährst du, hinter welchen Formulierungen sich Extrempunkte der 1. Ableitung verbergen und was Extremstellen von f′ mit Wendestellen von f zu tun haben.

Lösungsbeschreibung

In Textaufgaben können verschiedene Größen gesucht sein. Jetzt lernst du zu erkennen, wann ein Extrempunkt der ersten Ableitung gesucht ist. Für die erste Ableitung gibt es ein paar wichtige Signalwörter.

Diese habe ich dir schon im letzten Video gezeigt. Lass sie uns noch einmal kurz wiederholen. Die Funktion f gibt den Wert einer Größe an.

Die erste Ableitung dagegen gibt, vereinfacht ausgedrückt, die Änderung dieser Größe an. Wenn du das nächste Mal momentane oder lokale Änderungsrate liest, dann weißt du, dass der Wert der ersten Ableitung gemeint ist. Dies sind universelle Begriffe, die für alle Funktionen passen.

Doch es gibt noch viele andere Signalwörter. Beschreibt die Funktion f eine Menge, dann ist die Zunahme, der Zuwachs oder die Abnahme die erste Ableitung. Beschreibt die Funktion f eine Größe, eine Höhe oder ein Wachstum, dann ist die Wachstumsgeschwindigkeit oder die momentane Wachstumsrate die erste Ableitung.

Gibt f die Durchflussmenge an, dann ist die Durchflussgeschwindigkeit die erste Ableitung. Gibt die Funktion ein Weg oder eine Strecke an, dann ist die Geschwindigkeit die erste Ableitung. Für den Weg bzw.

die Strecke wird oft der Buchstabe s verwendet statt f. Die erste Ableitung ist dann s'. Üblich für die Geschwindigkeit ist aber auch v. Nun könnte natürlich auch die Funktion eine Geschwindigkeit sein. Dann ist die Beschleunigung die erste Ableitung.

Denn die Beschleunigung gibt an, wie sich die Geschwindigkeit verändert. Wird die Geschwindigkeit mit v bezeichnet, dann ist die Beschleunigung v'. Üblich ist aber auch der Buchstabe a. Gibt die Funktion die Kosten an, dann gibt die erste Ableitung die sogenannten Grenzkosten an.

In Textaufgaben wird oft ein Extrempunkt der ersten Ableitung gesucht. Jetzt zeige ich dir, welche Bedeutung dieser hat. Beginnen wir mit Hochpunkten der ersten Ableitung.

Rot dargestellt ist der Graph einer Funktion f und blau der Graph der Ableitung f'. An welchem Punkt steigt der Graph von f am steilsten? Dieser Punkt ist hier. Stell dir vor, das wäre ein Berg, den du hochläufst.

An dieser Stelle müsstest du dich am meisten anstrengen. Davor ist der Anstieg nicht ganz so steil. Und wenn du diesen Punkt überwunden hast, wird es auch wieder leichter.

Hier nimmt f also am stärksten zu. Einen solchen Punkt nennt man Wendepunkt und die zugehörige Stelle Wendestelle. An derselben Stelle hat die Ableitung einen Hochpunkt.

Das ist auch logisch, da ja die Ableitung grob vereinfacht die Änderung von f angibt. Nimmt f am stärksten zu, muss die Ableitung ein Maximum haben. Die Wendestelle von f ist somit die Maximumstelle von f'.

Den Wert der Änderung von f, also das Maximum von f', kannst du hier ablesen. Dieses Maximum ist gemeint, wenn in einer Textaufgabe z.B. Folgendes gesucht ist. Aber wie kannst du dieses Maximum von f' bestimmen? Ganz einfach! Gehen wir von etwas Bekanntem aus, nämlich wie du normalerweise einen Hochpunkt der Funktion f bestimmst.

Zunächst setzt du die erste Ableitung 0 und löst diese Gleichung. In Textaufgaben ist die unabhängige Variable meist nicht x, sondern die Zeit t. Deshalb nennen wir die Lösung, die du herausbekommst, mal t0. Es kann auch mehrere Lösungen geben, aber meist ist es nur eine.

Um zu prüfen, ob an dieser Stelle wirklich ein Hochpunkt ist, hast du zwei Möglichkeiten. Erste Möglichkeit. Du setzt t0 in die zweite Ableitung ein.

Ist das Ergebnis kleiner als 0, handelt es sich um einen Hochpunkt. Zweite Möglichkeit. Du untersuchst die erste Ableitung an der Stelle t0 auf einen Vorzeichenwechsel.

Wechselt das Vorzeichen von Plus nach Minus, handelt es sich um einen Hochpunkt. t0 ist dann die Maximumstelle. Setzt du t0 in die Ausgangsfunktion f ein, erhältst du das Maximum der Funktion.

Uns interessiert aber jetzt, wie du den Hochpunkt der ersten Ableitung bestimmst. Das Vorgehen ist das gleiche. Die Ausgangsfunktion ist jetzt aber nicht f, sondern f'.

Deshalb musst du hier statt f' f'' nehmen. Und hier statt f'' musst du f'' nehmen. Diesmal setzt du also die zweite Ableitung gleich 0. Dann setzt du t0 in die dritte Ableitung ein, beziehungsweise untersuchst die zweite Ableitung auf einen Vorzeichenwechsel.

Die Maximumstelle ist wie vorher t0. Das ist diese Stelle. Um das zugehörige Maximum zu bestimmen, setzt du t0 wieder in die Ausgangsfunktion ein, aber diese ist diesmal f' und nicht f. Das ist jedoch nur ein lokales Maximum.

Ist der Definitionsbereich eingeschränkt, musst du das Maximum noch mit den Randwerten von f' vergleichen, z.B. wenn nur ein bestimmter Zeitraum betrachtet wird. Zu diesen sogenannten globalen Extremwerten gibt es auch ein Video auf Abimathe. In der Praxis wird das aber oft weggelassen.

Jetzt kommen wir zu konkreten Beispielen aus Textaufgaben. Hier links siehst du immer, welche Größe durch die Funktion beschrieben wird. Rechts stehen dann typische Fragen und der passende Lösungsansatz.

Gehen wir die Beispiele mal nacheinander durch. Hier gibt die Funktion S eine Strecke bzw. einen Weg an.

Berechne die maximale Geschwindigkeit des Zuges. Geschwindigkeit ist hier das Signalwort für die erste Ableitung. Maximale Geschwindigkeit ist dann das Maximum S' von T0.

Nach wie vielen Minuten erreicht der Zug diese Geschwindigkeit? Damit ist nun der Zeitpunkt T0 gemeint, also die Maximumstelle. T0 kennst du ja schon, denn sonst hättest du gar nicht die maximale Geschwindigkeit berechnen können. Somit brauchst du hier keine weitere Rechnung, sondern nur einen kurzen Antwortsatz.

Hier beschreibt die Funktion S die wöchentlichen Verkaufszahlen. Vereinfacht ausgedrückt ist die Änderung der Verkaufszahlen die erste Ableitung. In welcher Woche nach Verkaufsbeginn nehmen die Verkaufszahlen am stärksten zu? Die stärkste Zunahme ist dann das Maximum der ersten Ableitung.

Gefragt wird, in welcher Woche dieses Maximum erreicht wird. Somit ist die Maximumstelle T0 gesucht. Bestimme diese momentane Zunahme.

Damit ist nun das Maximum der ersten Ableitung gemeint, also F' von T0. Das Wort momentan ist nochmal ein Hinweis auf die erste Ableitung. Hier beschreibt die Funktion F die Höhe bzw.

das Wachstum einer Pflanze. Wann ist die Wachstumsgeschwindigkeit der Pflanze am größten? Wachstumsgeschwindigkeit ist hier das Signalwort für die erste Ableitung. Am größten bedeutet dann das Maximum der Ableitung.

Gefragt wird, wann dieses Maximum erreicht wird. Somit ist die Maximumstelle T0 gesucht. Umgangssprachlich könnte die gleiche Aufgabe auch so lauten.

Wann wächst die Pflanze am schnellsten? Hier ist also auch die Maximumstelle T0 der ersten Ableitung gesucht. Bestimme diese maximale Wachstumsgeschwindigkeit. Damit ist nun das Maximum der ersten Ableitung gemeint, also F' von T0.

Etwas umgangssprachlicher könnte die gleiche Aufgabe auch so lauten. Wie schnell wächst die Pflanze maximal? Auch hier wäre F' von T0 gesucht. Hier ist die Funktion F die Ankunftsrate.

In diesem Beispiel ist damit die Anzahl der ankommenden Zuschauer pro Minute seit 18 Uhr gemeint. Die Änderung dieser Anzahl ist somit die erste Ableitung. Wann ist die Zunahme der ankommenden Zuschauer am größten? Die größte Zunahme ist dann das Maximum der ersten Ableitung.

Gefragt wird, wann dieses Maximum erreicht wird. Somit ist die Maximumstelle T0 gesucht. Hier gibt die Funktion V die Geschwindigkeit an.

Wann ist die Beschleunigung am größten? Beschleunigung ist hier das Signalwort für die erste Ableitung. Am größten bedeutet dann das Maximum der ersten Ableitung. Gefragt wird, wann dieses Maximum erreicht wird.

Somit ist die Maximumstelle T0 gesucht. Was ist die maximale Beschleunigung? Damit ist nun das Maximum der ersten Ableitung gemeint, also V' von T0. Kommen wir nun zu Tiefpunkten der ersten Ableitung.

Rot dargestellt ist wieder der Graph einer Funktion F und blau der Graph der Ableitung F'. An welchem Punkt fällt der Graph von F am steilsten? Dieser Punkt ist hier. Stell dir vor, das wäre ein Berg, den du mit dem Fahrrad runterfährst.

An diesem Punkt wäre die Abfahrt am steilsten. Hier nimmt F also am stärksten ab. Deshalb ist das wiederum ein Wendepunkt.

Und das die Wendestelle von F. An derselben Stelle hat die Ableitung einen Tiefpunkt. Das ist auch logisch, da ja die Ableitung, vereinfacht ausgedrückt, die Änderung von F angibt. Nimmt F am stärksten ab, muss die Ableitung ein Minimum haben.

Die Wendestelle von F ist somit die Minimumstelle von F'. Der Wert der Änderung von F, also das Minimum von F', kannst du hier ablesen. Dieses Minimum ist gemeint, wenn in einer Textaufgabe z.B. Folgendes gesucht ist.

Die größte oder die stärkste Abnahme, die minimale Wachstumsgeschwindigkeit oder die kleinste momentane Wachstumsrate, die kleinste Durchflussgeschwindigkeit, die niedrigste Geschwindigkeit, die geringste Beschleunigung oder die niedrigsten Grenzkosten. Um dieses Minimum von F' zu bestimmen, gehst du genauso vor wie bei einem Maximum. Du setzt die zweite Ableitung 0 und erhältst eine Lösung T0.

Dann prüfst du, ob es sich tatsächlich um einen Tiefpunkt handelt, indem du in die dritte Ableitung einsetzt oder die zweite Ableitung auf einen Vorzeichenwechsel untersuchst. Hier ist alles umgekehrt wie bei einem Hochpunkt. Die dritte Ableitung ist größer als 0, bzw.

das Vorzeichen wechselt von Minus nach Plus. T0 ist dann die Minimumstelle der ersten Ableitung. Und das Minimum selbst ist F' von T0.

Wie schon zuvor im Video angesprochen, musst du eventuell noch prüfen, ob das auch das globale Minimum ist. Schauen wir uns nun wieder konkrete Beispiele an. Hier beschreibt die Funktion F die Menge bzw.

Konzentration eines Medikaments im Blut des Patienten. Vereinfacht ausgedrückt ist die Änderung der Menge somit die erste Ableitung. Der stärkste Abbau ist dann das Minimum der Ableitung.

Gefragt wird, zu welchem Zeitpunkt dieses Minimum erreicht wird. Somit ist die Minimumstelle T0 gesucht. Wie groß ist dann die momentane Änderungsrate? Hier sollst du dieses Minimum nun ausrechnen, also F' von T0.

Momentane Änderungsrate ist nochmal das Signalwort für die erste Ableitung. Etwas umgangssprachlicher könnte die gleiche Aufgabe auch so lauten. Wie groß ist dann die momentane Abnahme? Hier wäre also ebenfalls F' von T0 gesucht.

Momentan ist immer ein Signalwort für die erste Ableitung. Nun gibt F die Flughöhe eines Segelflugzeuges an. Vereinfacht ausgedrückt ist die Änderung der Flughöhe somit die erste Ableitung.

Der größte Höhenverlust ist dann das Minimum der Ableitung. Gefragt wird, nach welcher Zeit dieses Minimum erreicht wird. Somit ist die Minimumstelle T0 gesucht.

Wie groß ist dann der Höhenverlust? Hier sollst du dieses Minimum nun ausrechnen, also F' von T0. Das Ergebnis ist negativ, da es sich um einen Verlust handelt. Im Antwortsatz lässt du das Minus natürlich weg, also z.B. der größte Höhenverlust beträgt 5 m pro Sekunde.

Nun beschreibt F die Zuflussmenge z.B. von Wasser pro Stunde durch ein Rohr. Wann nimmt die Zuflussgeschwindigkeit am stärksten ab? Zuflussgeschwindigkeit ist hier das Signalwort für die erste Ableitung. Ihre stärkste Abnahme ist dann das Minimum der Ableitung.

Gefragt wird wieder, wann dieses Minimum angenommen wird. Somit ist die Minimumstelle T0 gesucht. Wie groß ist dann die momentane Änderungsrate? Hier sollst du dieses Minimum nun ausrechnen, also F' von T0.

Momentane Änderungsrate ist nochmal das Signalwort für die erste Ableitung. Hier geht es um die Gesamtkosten k. Bei welcher Produktionsmenge ist die Änderungsrate der Gesamtkosten am geringsten? Änderungsrate ist das Signalwort für die erste Ableitung. Die geringste Änderungsrate ist dann das Minimum der ersten Ableitung.

Gefragt wird, bei welcher Produktionsmenge dieses Minimum erreicht wird. Somit ist die Minimumstelle X0 gesucht. Hier ist die unabhängige Variable wieder X, da es um Produktionsgüter geht und nicht die Zeit T. Die Frage könnte auch so formuliert sein.

Für welche Ausbringungsmenge wird der Kostenzuwachs am geringsten? Die Kosten können ja nicht kleiner werden, wenn man mehr produziert. Daher können die Kosten bei steigender Menge nur wachsen und nicht fallen. Der Kostenzuwachs, also die Änderung der Kosten, ist somit die erste Ableitung.

Der geringste Kostenzuwachs ist dann das Minimum der ersten Ableitung. Ausbringungsmenge ist nur ein anderes Wort für Produktionsmenge. Hier wäre also wieder X0 gesucht.

Bestimme diese Kostenänderung. Das ist dann das Minimum k' von X0. Änderung ist nochmal das Signalwort für die erste Ableitung.

Hier beschreibt F das Profil, also im Prinzip die Höhe eines Berges. Vereinfacht ausgedrückt ist die Änderung der Höhe somit die erste Ableitung. An welcher Stelle ist das Gefälle maximal? Das maximale Gefälle ist somit das Minimum der ersten Ableitung.

Hier kann der Begriff maximal etwas irritieren. Gefragt wird, an welcher Stelle dieses Minimum erreicht wird. Somit ist die Minimumstelle X0 gesucht.

Hier ist die unabhängige Variable wieder X und nicht die Zeit T. Du kannst den Zusammenhang mit der ersten Ableitung auch so herstellen. Gefälle bedeutet ja negative Steigung. Und die Steigung ist bekanntlich die erste Ableitung.

Berechne das maximale Gefälle. Das ist dann das Minimum, also F' von X0. Nun geht es um die Temperatur T während eines Abkühlvorganges.

Lisa behauptet, der T kühlt höchstens um 10°C pro Minute ab. Stimmt das? Vereinfacht ausgedrückt ist die Änderung der Temperatur die erste Ableitung. Bei einer Abkühlung ist die Ableitung negativ, da die Temperatur fällt.

Würde der T um 10°C abkühlen, wäre die Ableitung –10°C. Lisa behauptet jedoch, dass der T höchstens um 10°C abkühlt. Wenn das stimmt, ist das Minimum der Ableitung T' von T0 größer gleich –10.

Größer bedeutet in diesem Fall zum Beispiel –5°. Lässt sich diese Ungleichung lösen, dann hat Lisa recht. Führt diese Ungleichung jedoch auf einen Widerspruch, dann hat Lisa Unrecht.

Beispielaufgabe: Medikament

Mit dieser umfangreichen Textaufgabe kannst du das Gelernte anwenden und üben. Versuche die Aufgabe selbst zu lösen, bevor du dir die Musterlösung ansiehst! Hinweis: Die letzte Frage hat mit Differentialrechnung nichts zu tun. Da solche Fragen aber typisch in Textaufgaben sind, habe ich sie trotzdem aufgenommen.

Lösungsbeschreibung

In den folgenden Videos rechne ich dir eine komplette Textaufgabe zur Differentialrechnung vor. Dabei geht es um die Konzentration eines Medikaments im Blut. Die Konzentration ist gegeben durch die Funktion f mit f von T gleich 8T mal e hoch minus 0,5T.

Dabei ist T in Stunden nach der Einnahme des Medikaments und f von T in Milligramm pro Liter Blut. Jetzt werden wir folgende Fragen beantworten. Wie hoch ist die maximale Menge im Blut? Wann wird diese erreicht? Wie ändert sich die Konzentration durchschnittlich in den ersten drei Stunden? Wann wird das Medikament am stärksten abgebaut? Wie stark ist dann die momentane Abnahme? Für alle, die einen grafikfähigen Taschenrechner oder ein Computeralgebra-System nutzen, ist auch diese Frage interessant.

Das Medikament wirkt, wenn die Konzentration über 3 Milligramm pro Liter liegt. Wie lange wirkt das Medikament? Im nächsten Video bestimmen wir die Ableitungen von f und in den darauffolgenden Videos rechne ich dir die vier Aufgaben Schritt für Schritt vor.

Ableitungen

Das sind die benötigten Ableitungen:

Lösungsbeschreibung

In diesem Video bestimmen wir die Ableitungen der Funktion f. Um alle Textaufgaben lösen zu können, brauchen wir zumindest die erste und zweite Ableitung von f. Die dritte Ableitung brauchen wir nicht unbedingt, aber die meisten Schüler benutzen auch diese. Leiten wir also erstmal ab. Hier siehst du die Ausgangsfunktion f. Diese Funktion ist ein Produkt aus den Funktionen 8t und e-0,5t.

Allgemein können wir dafür schreiben, f ist u mal v. u ist 8t und v ist e-0,5t. Die Ableitung eines Produkts bildest du mit der Produktregel. u und v haben wir schon.

Uns fehlen nur noch die Ableitungen davon, also u' und v'. Behandle t so, wie du sonst x behandelst. Die Ableitung von 8t ist somit 8. Das ist u'.

Für die Ableitung von v brauchen wir die Kettenregel, da hier oben nicht einfach t steht, sondern –0,5t. Laut Kettenregel brauchen wir die äußere und die innere Ableitung. Die äußere Ableitung ist bei e-Funktionen immer die Funktion selbst, also e-0,5t.

Nun kommt die innere Ableitung. Die Ableitung von –0,5t ist –0,5. Innere und äußere Ableitungen werden malgenommen.

Das ergibt –0,5 e-0,5t. Nun setzen wir alles hier ein. u' ist 8, v ist e-0,5t.

Dann kommt dieses Pluszeichen. u ist 8t und v' ist –0,5 e-0,5t. Das musst du in Klammern setzen.

8 mal –0,5 ist –4. Dahinter kommt das t und dann e-0,5t. Da hier e-0,5t vorkommt und hier auch, kannst du es ausklammern.

Hier bleibt dann die 8 übrig und hier –4t. Das ist die erste Ableitung f' von t. Um die zweite Ableitung zu bilden, leiten wir die erste Ableitung nochmal ab. Das ist wieder ein Produkt.

u ist 8-4t und v ist e-0,5t. Die Ableitung hiervon ist –4 und die Ableitung hiervon ist wie zuvor –0,5e-0,5t. Die zweite Ableitung von f bildest du wieder nach der Produktregel.

u' mal v plus u mal v'. Nun multiplizierst du die Klammern aus. 8 mal –0,5 ist –4.

Dahinter kommt das. –4 mal –0,5 ist plus 2. Dahinter kommt das t und das. Fasse diese beiden Ausdrücke zusammen.

–4 minus 4 ist minus 8. Und dahinter schreibst du e hoch –0,5t. Nun kannst du das wieder ausklammern. Hier bleibt dann –8 übrig und hier plus 2t.

Alle Aufgaben kann man auch ohne die dritte Ableitung lösen, aber die meisten Schüler benutzen sie. Deshalb bilden wir noch die dritte Ableitung. Die zweite Ableitung ist wieder ein Produkt.

u ist –8 plus 2t und v ist e hoch –0,5t. Die Ableitung hiervon ist 2 und die Ableitung hiervon ist wie zuvor –0,5e hoch –0,5t. Die dritte Ableitung von f bildest du wieder nach der Produktregel.

u' mal v plus u mal v'. Nun multiplizierst du die Klammern aus. –8 mal –0,5 ist plus 4. Dahinter kommt das.

2 mal –0,5 ist –1. Die 1 kannst du aber weglassen. Dahinter kommt das t und das.

Fasse diese beiden Ausdrücke zusammen. 2 plus 4 ist 6. Und dahinter schreibst du e hoch –0,5t. Nun kannst du das wieder ausklammern.

Hier bleibt dann 6 übrig und hier –t. Hier nochmal ein Überblick. Links siehst du die Funktion und rechts die ersten drei Ableitungen.

Lösung zu Frage 1

Hier wird das Maximum und die Maximumstelle von f gesucht.

Lösungsbeschreibung

Kommen wir zur ersten Textaufgabe. Hier links siehst du nochmal die Funktion f. Wie hoch ist die maximale Menge im Blut? Und wann wird diese erreicht? Die maximale Menge ist das Maximum von f. Bei Aufgabe b wird nun gefragt, wann dieses Maximum erreicht wird. Somit ist hier die Maximumstelle von f gesucht.

Wenn du Aufgabe a gelöst hast, kennst du diese Stelle schon und brauchst nur noch einen kurzen Antwortsatz zu schreiben. In dieser Aufgabe berechnest du also den Hochpunkt von f. Falls dir das nicht klar ist, sieh dir nochmal das Video an, wie du erkennst, dass Extremwerte oder Extremstellen von f gesucht sind. Um das Maximum von f zu bestimmen, brauchst du die erste Ableitung.

Diese siehst du hier nochmal. Setze die erste Ableitung 0. Das ergibt diese Gleichung. Die linke Seite ist ein Produkt.

Ein Produkt ist 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. e hoch irgendwas ist aber immer größer als 0. Also kann nur 8-4t 0 werden. Nun löst du einfach nach t auf.

Rechne plus 4t und teile nun durch 4. 8 geteilt durch 4 ist 2. Hier habe ich noch die Seiten getauscht. Nun musst du prüfen, ob das tatsächlich eine Maximumstelle ist. Dazu kannst du die zweite Ableitung benutzen oder die erste Ableitung auf einen Vorzeichenwechsel untersuchen.

Ich zeige dir beide Möglichkeiten. Nimm die, die ihr auch im Unterricht verwendet. Bei den meisten wird das die Methode mit der zweiten Ableitung sein.

Diese siehst du hier nochmal. Nun setzt du dort für t 2 ein. Also hier, hier und hier.

2 mal 2 ist 4. Minus 0,5 mal 2 ist minus 1. Minus 8 plus 4 ist minus 4. Das ist negativ. e hoch irgendwas ist immer positiv. Insgesamt ist der Ausdruck dann negativ, also kleiner als 0. Daraus folgt, dass es sich wie gewünscht um ein Maximum handelt.

t gleich 2 ist somit die Maximumstelle von f. Nun zeige ich dir die andere Möglichkeit mit dem Vorzeichenwechsel. Wir wollen also wissen, ob die erste Ableitung an der Stelle 2 einen Vorzeichenwechsel hat. Dazu setzt du für t zunächst einen Wert ein, der etwas kleiner als 2 ist.

4 mal dieser Wert ist dann nicht ganz 8. Somit ist das hier immer noch positiv. e hoch irgendwas ist sowieso positiv. Somit ist die Ableitung positiv.

Nun setzt du für t einen Wert ein, der etwas größer ist als 2. 4 mal dieser Wert ist dann etwas größer als 8. Somit wird das negativ. Dieser Ausdruck ist wie immer positiv. Insgesamt ist die erste Ableitung dann negativ.

Somit gibt es einen Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus. Daraus folgt, dass es sich wie gewünscht um ein Maximum handelt. t gleich 2 ist somit die Maximumstelle von f. Um das Maximum zu bestimmen, brauchst du die Ausgangsfunktion f. Dort setzt du jetzt für t 2 ein.

Also hier, hier und hier. 8 mal 2 ist 16. Minus 0,5 mal 2 ist minus 1. Das sind rund 5,89.

Bei Textaufgaben musst du eigentlich noch prüfen, ob das auch das globale Maximum ist. Dieser Schritt wird aber oft weggelassen. Ich zeige dir kurz, was du dazu tun müsstest.

Vergleiche das lokale Maximum 16e hoch minus 1 mit den Werten zu Beginn und zum Ende. Zu Beginn ist t gleich 0. Setze also für t 0 in die Funktion f ein. Also hier, hier und hier.

Ist ein Faktor 0, ist das ganze Produkt 0. Und das ist kleiner als das lokale Maximum. Ein festes Ende gibt es hier nicht. Sonst wäre in der Aufgabenstellung ein fester Zeitraum angegeben.

Deshalb musst du nun prüfen, ob es für t gegen Unendlich einen Grenzwert gibt. Schreibe die Funktion dazu um. Der Exponent minus 0,5t ist negativ.

Deshalb lässt sich die Funktion als Bruch schreiben. Das schreibst du in den Nenner, und zwar ohne das Minuszeichen. Und das schreibst du in den Zähler.

Wenn t immer größer wird, geht 8t gegen Unendlich. Und der Nenner ebenfalls, denn die E-Funktion ist streng monoton steigend. Nun musst du herausfinden, wie sich der Bruch insgesamt verhält.

Die E-Funktion ist dabei dominant. Wird der Nenner eines Bruchs immer größer, geht der Bruch gegen 0. Um das nachzuvollziehen, stell dir vor, hier steht ein Geldbetrag, den du durch eine Anzahl von Leuten teilst. Je größer die Anzahl der Leute, desto weniger kriegt jeder.

Somit ist 0 der Grenzwert für t gegen Unendlich. Zum Verhalten von E-Funktionen im Unendlichen gibt es auch ein Video auf Abimatte. Dort bekommst du alles nochmal in Ruhe erklärt.

Da 0 kleiner ist als dieser Wert, ist das lokale Maximum gleichzeitig das globale Maximum. Nun musst du Antwortsätze formulieren, die zur Fragestellung passen. Zum Beispiel zu a, es sind maximal 5,89 mg pro Liter im Blut.

Und zu b, diese Menge wird nach 2 Stunden erreicht. Hier musst du also wieder die Einheiten Stunden und mg pro Liter hinzufügen. Schauen wir uns mal die Grafik dazu an, damit du verstehst, was du überhaupt berechnet hast.

Hier siehst du den Graph der Funktion f. Offensichtlich hat er wirklich bei 2 Stunden ein Maximum. Und hier kannst du den Wert 5,89 mg pro Liter ablesen.

Lösung zu Frage 2

Hier wird ein Differenzenquotient gesucht.

Lösungsbeschreibung

Kommen wir zur Aufgabe 2. Hier links siehst du nochmal die Funktion. Wie ändert sich die Konzentration durchschnittlich in den ersten 3 Stunden? Die durchschnittliche Änderung ist der Differenzenquotient. Dazu gibt es auch ein Video auf Abimathe.

Den Differenzenquotient bildest du mit dieser Formel. Da hier die Funktion f vorkommt, benötigst du die Ausgangsfunktion. Das h entspricht der Zeitspanne von 3 Stunden.

Der Startzeitpunkt t0 ist 0. Hier gehst du vom Startzeitpunkt 0 aus 3 Stunden weiter. Das ergibt 3. Nun setzt du für t3 in die Ausgangsfunktion ein. Dann kommt das Minuszeichen.

Nun setzt du für t0 ein. 24 geteilt durch 3 ist 8. Die Bruchschreibweise brauchst du daher nicht mehr. e hoch minus 1,5 schreibst du ab.

Das sind rund 1,79. Nun formulierst du einen passenden Antwortsatz. Zum Beispiel, in den ersten 3 Stunden ändert sich die Konzentration durchschnittlich um 1,79 mg pro Liter pro Stunde.

Hier muss die Einheit stehen, in der h ist, also in Stunden. Schauen wir uns mal die Grafik dazu an, damit du verstehst, was du überhaupt berechnet hast. Hier siehst du den Graphen der Funktion f. Auf dieser Achse sind die Stunden abgetragen und auf dieser Achse die Konzentration des Medikaments.

Nun gehst du bei t gleich 3 hoch auf den Graph. Bei t gleich 0 ist auch die Konzentration 0. Die Gerade durch diese beiden Punkte nennt man eine Sekante. Was du ausgerechnet hast, ist ihre Steigung.

Die Konzentration nimmt durchschnittlich um 1,79 mg pro Liter pro Stunde zu. Mit diesem Wert hätte man nach 3 Stunden die gleiche Konzentration wie bei der Funktion f. Das ist aber nur ein Durchschnittswert, denn in Wahrheit ändert sich die Konzentration nicht so gleichmäßig.

Lösung zu Frage 3

Hier wird die Minimumstelle und das Minimum von f′ gesucht. Die Minimumstelle von f′ ist gleichzeitig die Wendestelle von f.

Lösungsbeschreibung

Kommen wir zur Aufgabe 3. Hier links siehst du nochmal die Ausgangsfunktion. Wann wird das Medikament am stärksten abgebaut? Wie stark ist dann die momentane Abnahme? Vereinfacht ausgedrückt ist die Änderung der Konzentration die erste Ableitung. Die stärkste Abnahme ist somit das Minimum der Ableitung.

Hier wird gefragt, wann dieses Minimum erreicht wird. Das heißt, zuerst ist die Minimumstelle von f' gesucht. Das ist gleichzeitig eine Wendestelle von f. In Aufgabe b wird dann die momentane Abnahme gesucht.

Damit ist nun dieses Minimum von f' gemeint. Das Wort momentan ist immer ein Hinweis auf die erste Ableitung. In dieser Aufgabe berechnest du praktisch den Tiefpunkt der ersten Ableitung.

Falls dir das nicht klar ist, sieh dir nochmal das Video an, wie du erkennst, dass ein Extrempunkt der ersten Ableitung gesucht ist. Um das Minimum von f' zu bestimmen, brauchst du die zweite Ableitung. Diese siehst du hier nochmal.

Setze die zweite Ableitung 0. Das ergibt diese Gleichung. Die linke Seite ist ein Produkt. Ein Produkt ist 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist.

e hoch irgendwas ist aber immer größer als 0. Also kann nur –8 plus 2t 0 werden. Nun löst du einfach nach t auf. Rechne plus 8 und teile nun durch 2. Das ergibt t gleich 4. Nun musst du prüfen, ob das tatsächlich eine Minimumstelle ist.

Dazu kannst du die dritte Ableitung benutzen oder die zweite Ableitung auf einen Vorzeichenwechsel untersuchen. Ich zeige dir beide Möglichkeiten. Nimm die, die ihr auch im Unterricht verwendet.

Bei den meisten wird das die Methode mit der dritten Ableitung sein. Diese siehst du hier nochmal. Nun setzt du dort für t 4 ein.

Also hier, hier und hier. 6-4 ist 2. –0,5 mal 4 ist –2. e hoch irgendwas ist immer positiv.

Somit ist das Ergebnis größer als 0. Daraus folgt, dass es sich wie gewünscht um ein Minimum handelt. t gleich 4 ist somit die Minimumstelle von f'. Nun zeige ich dir die andere Möglichkeit mit dem Vorzeichenwechsel.

Wir wollen also wissen, ob die zweite Ableitung an der Stelle 4 einen Vorzeichenwechsel hat. Dazu setzt du für t zunächst einen Wert ein, der etwas kleiner als 4 ist. 2 mal dieser Wert ist dann nicht ganz 8. Somit ist das hier immer noch negativ.

e hoch irgendwas ist immer positiv. Insgesamt ist die Ableitung dann negativ. Nun setzt du für t einen Wert ein, der etwas größer ist als 4. 2 mal dieser Wert ist dann etwas größer als 8. Somit wird das positiv.

Dieser Ausdruck ist sowieso positiv. Insgesamt ist die zweite Ableitung dann positiv. Somit gibt es einen Vorzeichenwechsel von minus nach plus.

Daraus folgt, dass es sich wie gewünscht um ein Minimum handelt. t gleich 4 ist somit die Minimumstelle von f'. Um die momentane Abnahme zu diesem Zeitpunkt zu bestimmen, also das Minimum von f', nimmst du dir die erste Ableitung her und setzt dort für t 4 ein.

Also hier, hier und hier. 4 mal 4 ist 16 und 8 minus 16 ist minus 8. Minus 0,5 mal 4 ist minus 2. Das sind rund minus 1,08. Der Wert ist negativ, da es sich um eine Abnahme handelt.

Bei Textaufgaben musst du eigentlich noch prüfen, ob das auch das globale Minimum ist. Dieser Schritt wird aber oft weggelassen. Ich zeige dir kurz, was du dazu tun müsstest.

Vergleiche das lokale Minimum mit den Werten zu Beginn und zum Ende. Zu Beginn ist t gleich 0. Setze also für t 0 in die erste Ableitung ein. Also hier, hier und hier.

4 mal 0 ist 0 und 8 minus 0 ist 8. Minus 0,5 mal 0 ist 0 und e hoch 0 ist 1. 8 mal 1 ist 8. Und das ist größer als das lokale Minimum. Ein festes Ende gibt es hier nicht. Sonst wäre in der Aufgabenstellung ein fester Zeitraum angegeben.

Deshalb musst du nun prüfen, ob es für t gegen Unendlich einen Grenzwert gibt. Schreibe die Ableitung dazu um. Der Exponent minus 0,5t ist negativ.

Deshalb lässt sich die Ableitung als Bruch schreiben. Das schreibst du in den Nenner, und zwar ohne das Minuszeichen. Und das schreibst du in den Zähler.

Die Klammer kannst du dann weglassen. Wenn t gegen Unendlich geht, geht minus 4t gegen minus Unendlich. Die Zahl 8 hat keinen Einfluss auf das Verhalten im Unendlichen.

Der Nenner geht dagegen gegen Unendlich, wenn t immer größer wird. Denn die E-Funktion ist streng monoton steigend. Nun musst du herausfinden, wie sich der Bruch insgesamt verhält.

Die E-Funktion ist dabei dominant. Wird der Nenner eines Bruchs immer größer, geht der Bruch gegen 0. Somit ist 0 der Grenzwert für t gegen Unendlich. Zum Verhalten von E-Funktionen im Unendlichen gibt es auch ein Video auf Abimatte.

Dort bekommst du alles nochmal in Ruhe erklärt. 0 ist ebenfalls größer als dieser Wert. Somit ist das immer noch der kleinste Wert und damit das globale Minimum.

Nun musst du Antwortsätze formulieren, die zur Fragestellung passen. Zum Beispiel zu a. Das Medikament wird am stärksten nach 4 Stunden abgebaut. Und zu b. Die momentane Abnahme beträgt dann 1,08 mg pro Liter pro Stunde.

Hier musst du also immer die Einheit mit angeben, in der die Zeit gemessen wird. Schauen wir uns mal die Grafik dazu an, damit du überhaupt verstehst, was du berechnet hast. Gehe bei t gleich 4 hoch auf den Graphen.

Das ist der Wendepunkt von f. Hier ist die Abnahme der Konzentration am stärksten, nämlich 1,08 mg pro Liter pro Stunde. Die Tangente in diesem Punkt hat deshalb die Steigung –1,08. Die Tangente im Wendepunkt heißt übrigens Wendetangente.

Du kannst auch den Graphen der ersten Ableitung dazunehmen. Dann ist 4 seine Minimumstelle. Das zugehörige Minimum ist –1,08.

Lösung zu Frage 4

Hier wird die Zeitspanne gesucht, in der die Funktionswerte über 3 (Milligramm pro Liter) liegen. Dazu musst du zunächst die Zeitpunkte ermitteln, wann die Konzentration genau 3 ist und dann die Zeitspanne dazwischen bestimmen.

Lösungsbeschreibung

Kommen wir zur vierten und letzten Aufgabe. Diese ist nur relevant für Dich, falls Du einen Grafikfädentaschenrechner oder Kass hast. Links siehst Du nochmal die Ausgangsfunktion.

Das Medikament wirkt, wenn die Konzentration über 3 mg pro Liter liegt. Wie lange wirkt das Medikament? Die Konzentration ist ja die Ausgangsfunktion f von t. Diese soll über 3 mg pro Liter liegen. Die Frage ist nun, wie lange f von t größer als 3 ist.

Gesucht ist also eine Zeitspanne. Lasse Dir den Graph von f anzeigen. Dabei musst Du als unabhängige Variable x statt t eingeben.

Hier ist der kritische Wert von 3 mg pro Liter. Hier ist das Medikament wirkungslos, da die Konzentration noch zu klein ist. Ab hier fängt das Medikament an zu wirken, da die Konzentration nun über 3 steigt.

Ab hier ist die Konzentration allerdings wieder zu niedrig. Gehst Du von diesen Punkten runter auf die t-Achse, kannst Du die Zeitspanne ermitteln, in der das Medikament wirkt. Von 1 bis 5 sind es 4 Stunden.

Hier kommt nochmal etwa eine Viertelstunde hinzu und hier etwa eine halbe Stunde. Das macht zusammen 4,75 Stunden bzw. 4 Stunden und 45 Minuten.

Du kannst je nach Modell mit dem Rechner auch folgende Gleichung lösen. f von t, also das hier, gleich 3. Damit findest Du heraus, wann die Konzentration genau 3 ist. Bei manchen Modellen muss eine Seite der Gleichung 0 sein.

Dann bringe einfach die 3 rüber. Im Prinzip berechnet der Taschenrechner Dir dann die Nullstellen von dieser Funktion. Als Ergebnis erhältst Du jeweils diesen Zeitpunkt und diesen Zeitpunkt.

Und dann rechnest Du einfach aus, wie viel Zeit dazwischen liegt.