Funktionenschar und Ortskurve
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Was sind Funktionenscharen und Ortskurven?
Hier siehst du ein Beispiel für eine Funktionenschar und die Ortskurve ihrer Extrempunkte.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video erkläre ich dir, was eine Funktionenschar ist und was mit Ortskurve gemeint ist. Hier siehst du eine Funktionenschar. In einer Funktionenschar kommt außer x noch eine weitere Variable vor, meistens t. Diese Variable wird auch klein hier vorn hingeschrieben.
In diesem Fall darf für t jede reelle Zahl eingesetzt werden, also auch negative Zahlen und Brüche. Manchmal wird das auch eingeschränkt und du darfst für t z.B. nur positive Zahlen einsetzen. Für jede Zahl, die du für t einsetzt, ergibt sich eine Funktion.
Setzt du für t z.B. 0 ein, fällt der hintere Teil weg, denn 2 mal 0 mal x ist 0. Welche Zahl du für t eingesetzt hast, schreibst du hier hin. Eine Kurve, die zu der Schar gehört, ist also die Normalparabel, die dir schon vertraut ist. Hier siehst du ihren Graph.
Nun setzen wir für t 1 ein. 2 mal 1 mal x sind 2x. Der Graph sieht so aus.
Nun setzen wir für t 2 ein. 2 mal 2 mal x sind 4x. Der Graph sieht so aus.
Du kannst für t z.B. auch minus 1 einsetzen. 2 mal minus 1 mal x sind minus 2x. Und minus mal minus macht plus.
Der zugehörige Graph sieht so aus. Als letztes Beispiel setzen wir für t minus 2 ein. 2 mal minus 2 mal x sind minus 4x.
Und minus mal minus ergibt wieder plus. Der zugehörige Graph sieht so aus. Da es unendlich viele Zahlen gibt, die du für t einsetzen kannst, gehören unendlich viele Funktionen zu dieser Schar.
Markante Punkte, wie hier z.B. die Tiefpunkte, liegen bei einer Schar auf einer sogenannten Ortskurve. Statt Ortskurve kannst du auch Ortslinie sagen. Hier hat diese Kurve die Gleichung y gleich minus x².
Das ist eine nach unten geöffnete Normalparabel. Die Ortskurve muss aber keine Kurve im allgemeinen Sinne sein. Sie kann auch nur eine Gerade sein.
Bei Aufgaben zu Funktionenscharen geht es meist darum, solche Ortskurven zu ermitteln und einzelne Funktionen der Schar zu skizzieren.
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So bestimmst du eine Ortskurve
Bei einer Funktionenschar liegen charakteristische Punkte (wie Extrempunkte, Wendepunkte oder die Schnittpunkte mit der x-Achse) auf einer sogenannten Ortskurve (auch Ortslinie genannt). In diesem Video zeige ich dir, wie du solch eine Ortskurve bestimmst.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Ortskurve einer Funktionen schar bestimmst. Statt Ortskurve kannst du auch Ortslinie sagen. Als Beispiel nehmen wir diese Funktion schar und ermitteln die Ortskurve ihrer Extrempunkte.
Tu so, als wäre das keine Funktion schar, sondern eine einzelne Funktion und behandle t wie eine Zahl. Ermittle dann wie gewohnt den Extrempunkt. Der einzige Unterschied ist, dass in den Koordinaten des Extrempunktes dann auch t vorkommt.
Bestimme zunächst die erste Ableitung. Die Ableitung von x² ist 2x. Die Ableitung von x ist 1 und 2t mal 1 sind 2t.
Das Minus überträgst du einfach. Nun berechnest du wie gewohnt die Nullstellen der ersten Ableitung. Dazu setzt du ft' von x gleich 0. Das ergibt die Gleichung 2x-2t gleich 0. Rechne plus 2t und teile nun durch 2. Die Nullstelle ist somit t. Um zu prüfen, ob das tatsächlich eine Extremstelle ist, hast du zwei Möglichkeiten.
Nimm das Verfahren, das du aus dem Unterricht kennst. Entweder untersuchst du die erste Ableitung auf einen Vorzeichenwechsel an dieser Stelle oder du bildest die zweite Ableitung und setzt dort für x t ein. Diesen Weg zeige ich dir zuerst, danach zeige ich dir die andere Möglichkeit.
Um die zweite Ableitung zu bilden, musst du die erste Ableitung nochmal ableiten. Die Ableitung von x ist 1 und 2 mal 1 ist 2. 2t kannst du wie eine Zahl behandeln. Eine Zahl fällt beim Ableiten weg.
Genauso fällt 2t beim Ableiten weg. Nun setzt du für x t ein. Auf dieser Seite kommt gar kein x vor.
Die zweite Ableitung ist also immer 2, egal was du für x einsetzt. Ist das Ergebnis wie hier größer als 0, handelt es sich um einen Tiefpunkt. Jetzt zeige ich dir die andere Möglichkeit.
Hat die erste Ableitung an dieser Stelle einen Vorzeichenwechsel, dann handelt es sich um eine Extremstelle. Hier siehst du nochmal die erste Ableitung. Versuche sie als Produkt zu schreiben.
Hier gelingt das, indem du die 2 ausklammerst. In der Klammer muss dann x-t stehen, denn 2 mal x sind 2x und 2 mal –t sind –2t. Nun prüfst du, ob die Ableitung an der Stelle x gleich t einen Vorzeichenwechsel hat.
Das schreibst du einfach ab. Wenn x etwas kleiner ist als t, dann wird x-t negativ. Die 2 ist positiv.
Insgesamt wird der Ausdruck dann negativ, denn plus mal minus macht minus. Wenn x etwas größer ist als t, wird x-t positiv. Insgesamt ist der Ausdruck dann positiv.
Somit gibt es einen Vorzeichenwechsel von minus nach plus. In diesem Fall handelt es sich um einen Tiefpunkt. Die Extremstelle ist x gleich t. Das ist die x-Koordinate vom Extrempunkt, genauer gesagt vom Tiefpunkt.
Nun fehlt noch die y-Koordinate. Um diese zu bekommen, setzt du x gleich t in die Ausgangsgleichung ein. Setze also hier, hier und hier für x t ein.
2t mal t sind 2t². Und t² minus 2t² ist –t². Nun kannst du den Tiefpunkt angeben.
–t² ist die y-Koordinate und t ist die x-Koordinate. Nun kannst du die Ortskurve der Tiefpunkte angeben. Das ist ja die y-Koordinate.
y ist also –t². Und die x-Koordinate ist t. Das steht auch hier schon. Deshalb kannst du hier statt t auch x schreiben.
Das ist die gesuchte Ortskurve. Du musst das t zum Schluss also mithilfe dieser Gleichung eliminieren. In diesem Fall war die Gleichung schon nach t aufgelöst.
Manchmal musst du die Gleichung erst noch umformen, damit t alleine steht. Hier siehst du einige Funktionen der Schar und hier die Ortskurve, die du bestimmt hast. Offensichtlich liegen alle Tiefpunkte auf dieser Kurve.
Nicht immer sind beide Koordinaten von t abhängig. Bei dieser Funktion Schar hat der Tiefpunkt die Koordinaten 3 und t. Da die x-Koordinate nicht von t abhängt, kannst du dieses t diesmal nicht eliminieren wie in der letzten Aufgabe. Hier siehst du ein paar Funktionen der Schar.
Die Tiefpunkte liegen alle auf dieser senkrechten Linie. Aber das ist keine Funktion, da dem x-Wert 3 kein eindeutiger y-Wert zugeordnet wird. Deshalb gibst du die Ortskurve als Punktmenge an.
Dazu machst du eine geschweifte Mengenklammer. Dann schreibst du den Punkt ab. Dahinter machst du einen senkrechten Strich und schreibst von hier oben ab, was man für t einsetzen darf.
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