Krümmung

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• Wichtige Begriffe
• So hängt die Krümmung mit der 2. Ableitung zusammen
• Krümmung eines Graphen untersuchen / Bei bekannter Wendestelle
• Bei unbekannter Wendestelle

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Wichtige Begriffe

Das sind die wichtigsten Begriffe zur Krümmung, die du kennen solltest!

Lösungsbeschreibung

Folgende Begriffe zur Krümmung eines Grafen solltest du kennen. Hier hat der Graf von F einen Wendepunkt. An einem Wendepunkt ändert sich die Krümmung.

Bis hier ist der Graf rechts gekrümmt und ab hier links gekrümmt. Stell dir vor, das wäre eine Straße, auf die du von oben schaust. Hier müsste ein Autofahrer nach rechts lenken und hier nach links.

Genau im Wendepunkt wäre das Lenkrad mittig. Man sagt auch, hier ist der Graf eine Rechtskurve und hier eine Linkskurve. Natürlich gibt es auch Grafen, die zuerst links und dann rechts gekrümmt sind oder die mehrere Wendepunkte haben.

Die x-Koordinate des Wendepunktes heißt übrigens Wendestelle.

So hängt die Krümmung mit der 2. Ableitung zusammen

Die Monotonie hängt mit der ersten Ableitung zusammen und die Krümmung mit der zweiten. Wie, erfährst du in diesem Video.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video erkläre ich dir, wie die Krümmung eines Graphen mit der zweiten Ableitung zusammenhängt. Rot dargestellt siehst du den Graph einer Funktion und grün den Graph der zweiten Ableitung. An der Wendestelle von f hat die zweite Ableitung eine Nullstelle.

Schauen wir uns mal nur diesen Bereich an. Hier verläuft der Graph der zweiten Ableitung nur unterhalb der x-Achse. Das heißt f2' von x ist kleiner als 0. Und der Graph von f ist rechts gekrümmt.

Es lässt sich beweisen, dass das immer so ist. Ist f2' von x kleiner als 0 für alle x aus einem Intervall I, dann ist der Graph von f rechts gekrümmt in I. Hier ist das genau umgekehrt. Der Graph der zweiten Ableitung verläuft nur oberhalb der x-Achse.

Und der Graph von f ist links gekrümmt. Ist f2' von x also größer als 0 für alle x aus einem Intervall I, dann ist der Graph von f links gekrümmt in I.

Krümmung eines Graphen untersuchen / Bei bekannter Wendestelle

An einer Wendestelle ändert sich die Krümmung des Graphen von rechtsgekrümmt zu linksgekrümmt bzw. umgekehrt. In den folgenden Videos zeige ich dir, wie du die Krümmung mit und ohne Kenntnis der Wendestellen bestimmen kannst.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du schnell die Krümmung eines Graphen bestimmen kannst, wenn du bereits die Wendestelle kennst. Als Beispiel nehmen wir diese Funktion. Diese hat den Wendepunkt 1,2.

Wenn du den Wendepunkt bereits bestimmt hast, kennst du also auch schon die zweite Ableitung. Diese ist hier 6x-6. Die Krümmung des Graphen von f ändert sich im Wendepunkt bzw.

an der Wendestelle x gleich 1. Dadurch kannst du die x-Achse in zwei Intervalle unterteilen, nämlich in x kleiner als 1 und in x größer als 1. Dann greifst du dir aus jedem Intervall einen beliebigen Testwert, zum Beispiel 0 und 2. 0 ist kleiner als 1 und 2 ist größer als 1. Nun setzt du die Testwerte in die zweite Ableitung ein. Setze als erstes für x den Testwert 0 ein, also hier und hier. 6 mal 0 ist 0 und 0 minus 6 ist minus 6. Ist das Ergebnis wie hier kleiner als 0, folgt daraus, dass der Graph von f rechts gekrümmt ist, und zwar auf dem ganzen Intervall, aus dem der Testwert stammt, also für x kleiner 1. Nun machst du das Gleiche für den anderen Testwert.

Setze also hier und hier für x 2 ein. 6 mal 2 ist 12 und 12 minus 6 ist 6. Ist das Ergebnis wie hier größer als 0, folgt daraus, dass der Graph von f links gekrümmt ist, und zwar auf dem ganzen Intervall, aus dem der Testwert stammt, also für x größer als 1. Hier siehst du das Schaubild zu dieser Aufgabe. Rot dargestellt ist der Graph von f und blau die zweite Ableitung.

Hier ist der Wendepunkt, an dem sich das Krümmungsverhalten ändert. Deshalb hat die zweite Ableitung an dieser Stelle eine Nullstelle. Für x-Werte kleiner als 1 ist die zweite Ableitung negativ und der rote Graph entsprechend rechts gekrümmt.

Für x-Werte größer als 1 ist es genau umgekehrt. Die zweite Ableitung ist positiv und der rote Graph ist links gekrümmt.

Bei unbekannter Wendestelle

Hier zeige ich dir, wie du die Krümmung eines Graphen bestimmen kannst, ohne die Wendepunkte zu kennen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du die Krümmung eines Graphen bestimmst, wenn du die Wendestellen noch nicht kennst. Als Beispiel nehmen wir diese Funktion. Bestimme zunächst die erste und zweite Ableitung.

Die Ableitung von x hoch 3 ist 3x². Die Ableitung von x² ist 2x und 3 mal 2x sind 6x. Das Minus überträgst du einfach.

Die 4 fällt beim Ableiten weg. Nun leitest du nochmal ab. Die Ableitung von x² ist wieder 2x und 3 mal 2x sind 6x.

Die Ableitung von x ist 1 und 6 mal 1 ist 6. Das Minus überträgst du wieder. Nun setzt du f2' von x einmal größer als 0 und einmal kleiner als 0. Mit dieser Bedingung findest du heraus, wo der Graph von f rechts gekrümmt ist. Und mit dieser Bedingung findest du heraus, wo er links gekrümmt ist.

Machen wir erst diesen Fall fertig. f2' von x ist ja 6x-6. Das soll als erstes größer als 0 sein.

Löse nun nach x auf, rechne plus 6 und teile nun durch 6. Das ergibt x größer als 1. Somit ist der Graph von f links gekrümmt für alle x größer als 1. Nun machen wir hier weiter. Die Rechnung ist genau die gleiche, nur dass das Zeichen jeweils umgedreht ist. Somit ist der Graph von f rechts gekrümmt für alle x kleiner als 1. Noch ein allgemeiner Hinweis zu Ungleichungen.

Würdest du hier durch eine negative Zahl teilen oder mit einer negativen Zahl multiplizieren, müsstest du in der nächsten Zeile das Relationszeichen umdrehen. Hier siehst du das Schaubild zu dieser Aufgabe. Rot dargestellt ist der Graph von f und blau die zweite Ableitung.

Für x-Werte kleiner als 1 ist die zweite Ableitung negativ und der rote Graph rechts gekrümmt. Für x-Werte größer als 1 ist es genau umgekehrt. Die zweite Ableitung ist positiv und der rote Graph ist links gekrümmt.

Das Krümmungsverhalten ändert sich genau im Wendepunkt. Deshalb hat die zweite Ableitung an dieser Stelle eine Nullstelle.