Exponentialgleichungen

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• Was sind Exponentialgleichungen?
• Wie löse ich eine Exponentialgleichung?
• Exponentialgleichung lösen durch Logarithmieren
• Exponentialgleichung lösen mit dem Satz vom Nullprodukt
• Exponentialgleichung lösen durch Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt
• Alternative zu Ausklammern und Satz vom Nullprodukt
• Exponentialgleichung lösen durch Substitution
• Wichtige Fakten zum Auswendiglernen

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Was sind Exponentialgleichungen?

Bei Exponentialgleichungen steht x im Exponenten ("hoch x"). Die Basis ist meist die Eulersche Zahl e. In diesem Video zeige ich dir 6 Beispiele für Exponentialgleichungen.

Lösungsbeschreibung

Hier siehst du sechs Beispiele für Exponentialgleichungen. Bei Exponentialgleichungen steht x oben im Exponenten. x muss dort aber nicht allein stehen.

Die Basis ist meist die Euler'sche Zahl e, kann aber auch eine andere Zahl sein.

Wie löse ich eine Exponentialgleichung?

Bei Exponentialgleichungen gibt es 4 Typen, die du kennen musst. Für jeden Typ gibt es den passenden Lösungsansatz. In diesem Video stelle ich dir die 4 Typen und die passenden Lösungsansätze vor. In den folgenden Abschnitten rechne ich dir die Beispiele vor.

Lösungsbeschreibung

Bei Exponentialgleichungen gibt es 4 Typen, die du kennen musst. Für jeden Typ gibt es den passenden Lösungsansatz. In diesem Video stelle ich dir die 4 Typen vor.

In den folgenden Videos rechne ich dir die Beispiele vor. Bei Typ 1 kommt nur eine Potenz mit x im Exponenten vor. Solche Gleichungen löst du durch logarithmieren.

Ist die Basis 10, nimmst du den dekadischen Logarithmus log. Ist die Basis die eulersche Zahl e, nimmst du den natürlichen Logarithmus ln. Bei anderen Basen, wie zum Beispiel 2, kannst du sowohl den dekadischen als auch den natürlichen Logarithmus nehmen.

In der Oberstufe ist die Basis meist e, deshalb sind die folgenden Beispiele auch alle mit der Basis e. Die Ausführungen gelten aber genauso für andere Basen. Bei Typ 2 ist eine Seite der Gleichung 0 und die andere Seite ist ein Produkt. In diesem Fall besteht das Produkt aus den Faktoren e hoch x und 4e hoch x minus 3. Bei solchen Gleichungen wendest du den Satz vom Nullprodukt an.

Bei Typ 3 ist eine Seite der Gleichung 0 und auf der anderen Seite kommen überall Potenzen mit gleicher Basis, in diesem Fall e und x im Exponenten vor. Nun kannst du e hoch x ausklammern. Wenn du das getan hast, sieht deine Gleichung aus wie bei Typ 2. Und nun wendest du wieder den Satz vom Nullprodukt an.

Alternativ kannst du die Gleichung durch e hoch x teilen. Anschließend formst du sie zu einer Gleichung vom Typ 1 um und logarithmierst. Bei Typ 4 ist eine Seite der Gleichung 0 und auf der anderen Seite stehen e hoch 2x, e hoch x und eine einfache Zahl.

Solche Gleichungen löst du durch Substitution. Häufig sieht die Gleichung auch so aus. Erst kommt e hoch x, dann eine einfache Zahl und dann ein Bruch mit e hoch x im Nenner.

Diese Gleichung musst du zuerst mit e hoch x multiplizieren, um den Bruch zu beseitigen. Danach sieht die Gleichung exakt so aus wie hier und du sie durch Substitution lösen. Übrigens kann es sein, dass du deine Gleichung zunächst vereinfachen oder umformen musst, damit du den Typ erkennst.

Exponentialgleichung lösen durch Logarithmieren

Um das x "nach unten" zu holen, logarithmierst du die Exponentialgleichung. In diesem Video rechne ich dir 3 Beispiele vor und erkläre dir, wann du dazu den dekadischen Logarithmus log verwendest und wann den natürlichen Logarithmus ln.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Exponentialgleichung durch Logarithmieren löst. Dazu habe ich dir drei Beispiele mitgebracht. Der Lösungsweg hängt nämlich von der Basis ab.

Schauen wir uns zunächst Beispiele für die Basis 10 und die Euler'sche Zahl e an. Die erste Aufgabe lautet 10 hoch x gleich 100. Die Frage ist also, 10 hoch was macht 100? Wenn du kurz überlegst, kommst du sicher drauf, dass 10 hoch 2 100 ergibt.

Das kann man aber auch systematisch ausrechnen. Da die Basis 10 ist, nimmst du den dekadischen Logarithmus. Dafür schreibst du log.

Log und die Basis 10 heben sich gegenseitig auf, sodass auf der linken Seite nur noch x übrig bleibt. Auf der rechten Seite steht dann der Logarithmus von 100. Gibst du log100 in deinen Taschenrechner ein, erhältst du die Lösung 2. Achte darauf, die Taste mit der Aufschrift log zu drücken und nicht die Taste mit der Aufschrift ln.

Das Ergebnis kannst du schnell überprüfen, indem du für x die Zahl 2 einsetzt. 10 hoch 2 ist ja 10 mal 10 und das ergibt in der Tat 100. Im zweiten Beispiel lautet die Aufgabe e hoch 3x plus 1 gleich 2. Auch hier sollst du herausfinden, was x sein muss, damit die Gleichung erfüllt ist.

Da die Basis diesmal e ist, nimmst du dazu den natürlichen Logarithmus ln. Der ln und die Basis e heben sich gegenseitig auf, sodass auf der linken Seite 3x plus 1 übrig bleibt. Auf der rechten Seite steht dann der ln von 2. Nun löst du die Gleichung ganz normal nach x auf.

Bringe als erstes die 1 auf die andere Seite. Achtung, du darfst nicht 2 minus 1 gleich 1 rechnen, denn die 2 ist keine normale Zahl, sondern das Argument der ln-Funktion. ln von 2 bleibt also so stehen und minus 1 kommt dahinter.

Teile die Gleichung nun noch durch 3. Das ist das exakte Ergebnis. Lasse es einfach so stehen. Nur damit du eine Vorstellung davon bekommst, kannst du den Ausdruck in deinen Taschenrechner eingeben.

Das Ergebnis ist rund minus 0,1. Diesmal musst du die Taste mit der Aufschrift ln drücken und nicht die Taste mit der Aufschrift log. Im dritten Beispiel lautet die Aufgabe 2 hoch x gleich 8. Die Basis ist also weder 10 noch die Eulersche Zahl e, sondern 2. In diesem Fall kannst du dir aussuchen, ob du log oder ln verwendest.

Ich habe mich für den ln entschieden, aber du könntest hier überall auch log statt ln schreiben und es würde das gleiche Ergebnis rauskommen. Diesmal erhältst du auf beiden Seiten den ln von dem gegebenen Ausdruck, den Exponenten x kannst du nun als Faktor vor den ln ziehen. Wenn du nun durch ln von 2 teilst, steht x allein auf einer Seite.

Den Ausdruck auf der rechten Seite kannst du mit deinem Taschenrechner berechnen. Das Ergebnis ist 3. Zum Schluss kannst du noch eine Probe machen. Setze für x die Zahl 3 ein.

2 hoch 3 bedeutet 2 mal 2 mal 2. 2 mal 2 ist 4 und 4 mal 2 ist tatsächlich 8. Auf die Lösung 3 hätte man natürlich auch durch überlegen und ausprobieren kommen können.

Exponentialgleichung lösen mit dem Satz vom Nullprodukt

Den Satz vom Nullprodukt wendest du an, wenn eine Seite der Gleichung Null und die andere Seite ein Produkt ist. Was du genau machen musst, zeige ich dir in diesem Video. Der Satz vom Nullprodukt besagt übrigens: Ein Produkt ist Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Exponentialgleichung mit dem Satz vom Nullprodukt löst. Den Satz vom Nullprodukt wendest du an, wenn eine Seite der Gleichung Null und die andere Seite ein Produkt ist. Ein Produkt erkennst du leicht an einem Malpunkt.

Oft kann der Malpunkt jedoch auch weggelassen werden. Das Produkt besteht aus den Faktoren e hoch x und 4e hoch x minus 3. Der Satz vom Nullprodukt besagt, ein Produkt ist Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist. Wann die Faktoren Null werden, findest du heraus, indem du sie Null setzt.

Setze also den ersten Faktor Null. Dazu schreibst du den Faktor ab und ist gleich Null dahinter. e hoch x ist gleich Null ist jedoch ein Widerspruch, da e hoch x immer größer als Null ist, egal welche Zahl man für x einsetzt.

Die Gleichung e hoch x gleich Null ist somit nicht lösbar. Nun setzt du den zweiten Faktor Null. Das ergibt die Gleichung 4e hoch x minus 3 gleich Null.

Die Klammern kannst du weglassen. Nun löst du Schritt für Schritt nach x auf. Rechne plus 3 und teile nun durch 4. Nun hast du eine Exponentialgleichung vom Typ 1, die du durch logarithmieren löst.

Da die Basis e ist, nimmst du den ln. ln und e heben sich gegenseitig auf und nur das x bleibt übrig. Die Lösung ist somit ln von 3 Viertel.

Lasse das Ergebnis so stehen. Nur damit du eine Vorstellung davon bekommst, kannst du den Ausdruck in deinen Taschenrechner eingeben. Das macht rund minus 0,29.

Achte darauf, die Taste mit der Aufschrift ln zu drücken und nicht die Taste mit der Aufschrift log.

Exponentialgleichung lösen durch Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt

Oft kannst du den Satz vom Nullprodukt nicht sofort anwenden, sondern musst vorher geschickt ausklammern. In diesem Video zeige ich dir ein typisches Beispiel dafür.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Exponentialgleichung durch Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt löst. Das machst du, wenn eine Seite der Gleichung Null ist und auf der anderen Seite nur Potenzen mit gleicher Basis, in diesem Fall e, und x im Exponenten vorkommen. Häufig sieht die Gleichung am Anfang jedoch noch nicht so aus, sondern so.

Dann musst du erst selbst alles auf eine Seite bringen. Dazu rechnest du –3e hoch x. Nun kannst du e hoch x ausklammern. Und was muss dann in der Klammer stehen? Hinten bleibt die 3 übrig, das sieht man leicht.

Vorn bleibt 4e hoch x übrig, denn x plus x macht 2x. Wenn du die Exponenten addierst, muss dieser Exponent rauskommen. Das geht nur, wenn du hier ein x schreibst.

Nun ist eine Seite der Gleichung Null und die andere Seite ist ein Produkt. Zwischen e hoch x und der Klammer kannst du dir einen Malpunkt denken. Solche Gleichungen löst man mit dem Satz vom Nullprodukt.

Dieser besagt, ein Produkt ist Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist. Setze die Faktoren deshalb nacheinander Null. Was jetzt kommt, ist übrigens die gleiche Rechnung wie im letzten Video.

Setzt du den ersten Faktor Null, erhältst du die Gleichung e hoch x gleich Null. Das ist ein Widerspruch, da e hoch x immer größer als Null ist, egal welche Zahl man für x einsetzt. Die Gleichung e hoch x gleich Null ist somit nicht lösbar.

Nun setzt du den zweiten Faktor Null. Das ergibt die Gleichung 4 e hoch x minus 3 gleich Null. Die Klammern kannst du weglassen.

Löse nun Schritt für Schritt nach x auf. Rechne plus 3 und teile nun durch 4. Nun hast du eine Exponentialgleichung vom Typ 1, die du durch logarithmieren lösen kannst. Da die Basis e ist, nimmst du den ln.

ln und e heben sich gegenseitig auf und nur das x bleibt übrig. Die Lösung ist somit ln von 3 Viertel. Im nächsten Video zeige ich dir einen alternativen Rechenweg ohne Ausklammern und ohne den Satz vom Nullprodukt.

Alternative zu Ausklammern und Satz vom Nullprodukt

Statt e^x auszuklammern und den Satz vom Nullprodukt anzuwenden, darfst du eine Exponentialgleichung auch durch e^x teilen. Denn e^x kann nie Null werden, egal welche Zahl du für x einsetzt. Es besteht also keine Gefahr, durch Null zu teilen.

Lösungsbeschreibung

Statt eine Exponentialgleichung durch Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt zu lösen, kannst du auch den folgenden Weg nutzen. Unsere Beispielaufgabe lautet 4e2x ist gleich 3ex. Statt nun alles auf eine Seite zu bringen und dann ex auszuklammern, kannst du auch einfach durch ex teilen.

Das ist möglich, da ex nie Null wird, egal welche Zahl du für x einsetzt. Mathematisch ausgedrückt, ex ist ungleich Null für alle x. Somit besteht keine Gefahr, durch Null zu teilen. Auf der rechten Seite bleibt die 3 übrig und auf der linken Seite bleibt 4ex übrig, denn x plus x macht 2x.

Wenn du die Exponenten addierst, muss dieser Exponent rauskommen. Das geht nur, wenn du hier ein x schreibst. Als nächstes teilst du die Gleichung durch 4. Nun hast du eine Exponentialgleichung vom Typ 1, die du durch logarithmieren lösen kannst.

Da die Basis e ist, nimmst du den ln. ln und e heben sich gegenseitig auf und x bleibt übrig. Die Lösung ist somit ln von 3 Viertel.

Das sind rund minus 0,29.

Exponentialgleichung lösen durch Substitution

Einige Exponentialgleichungen lassen sich nur durch eine geschickte Substitution lösen. Am häufigsten sind Aufgaben, in denen e^x durch eine neue Variable ersetzt werden muss. Substituieren bedeutet nämlich Ersetzen. Dadurch erhältst du eine quadratische Gleichung, die du mit der pq-Formel oder der abc-Formel / Mitternachtsformel lösen kannst. Um die Lösungen der Ausgangsgleichung zu bestimmen, musst du die Substitution zum Schluss allerdings wieder rückgängig machen (Rücksubstitution). In diesem Video zeige ich dir, wie du das alles alleine hinbekommst! Tipp: Die Substitution wird oft im Pflichtteil des Mathe-Abiturs geprüft!

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Exponentialgleichung durch Substitution löst. Dazu nehmen wir dieses Beispiel. Ist eine Seite der Gleichung 0 und auf der anderen Seite stehen e hoch 2x, e hoch x und eine einfache Zahl, machst du eine Substitution.

Noch ein Tipp. Häufig sieht die Aufgabe nicht so aus, sondern so. Eine Seite der Gleichung ist 0 und auf der anderen Seite stehen e hoch x, eine einfache Zahl und ein Bruch mit e hoch x im Nenner.

Dann holst du als erstes e hoch x aus dem Nenner, indem du damit multiplizierst. Dadurch bleibt hier die 8 übrig. Hier kommt e hoch x dazu und aus e hoch x wird e hoch 2x.

0 mal e hoch x ist immer noch 0. Nun entspricht die Gleichung dieser Form. Und du kannst wie folgt weiterrechnen. Substituieren bedeutet ersetzen.

Und zwar ersetzt du e hoch x durch z. Statt z kannst du auch einen anderen Buchstaben nehmen, wie u. Aus e hoch x wird dadurch z und aus e hoch 2x wird z². Der Rest bleibt gleich. Nun hast du eine quadratische Gleichung, die du mit der pq-Formel oder der abc-Formel bzw.

Mitternachtsformel lösen kannst. Wie das geht, zeige ich dir in den Videos zur pq- und zur abc-Formel. Der einzige Unterschied ist, dass du jedes Mal z statt x schreiben musst.

Hast du das gemacht, erhältst du die beiden Lösungen 2 und –4. Nun hast du aber noch ein kleines Problem, denn die Lösungen heißen z1 und z2. In unserer Ausgangsgleichung kommt aber überhaupt kein z vor, sondern x. Die Lösungen müssen deshalb auch x1, x2 usw.

heißen. Deshalb musst du die Substitution nun wieder rückgängig machen. Als erstes wandelst du die Lösung z1 in x um.

Dazu schreibst du e hoch x gleich z1. z1 war 2. Nun logarithmierst du mit dem ln. ln und e heben sich gegenseitig auf und x bleibt übrig.

Die Lösung ist somit ln von 2. Nun wandelst du noch z2 in x um. Dazu schreibst du e hoch x gleich z2. z2 war –4.

Das ist ein Widerspruch, da e hoch x nicht negativ sein kann. e hoch x ist immer größer als 0, egal welche Zahl man für x einsetzt. Somit gibt es keine weiteren Lösungen.

Die Substitution ist ein wichtiges Verfahren, das oft im Abitur geprüft wird. Schau es dir also gut an!

Wichtige Fakten zum Auswendiglernen

In diesem Video zeige ich dir die Graphen der natürlichen Exponentialfunktion y=e^x und der natürlichen Logarithmusfunktion y=lnx und nenne dir die wichtigsten Fakten, die du auswendig lernen solltest. Statt "natürliche Exponentialfunktion" sagt man auch einfach e-Funktion und statt "natürliche Logarithmusfunktion" sagt man auch ln-Funktion.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, was du über die E-Funktion und die Ln-Funktion wissen musst. Die E-Funktion ist die natürliche Exponentialfunktion und die Ln-Funktion ist die natürliche Logarithmusfunktion. Hier siehst du die Graphen der beiden Funktionen.

Sie sind Umkehrfunktionen zueinander. Du erhältst den Graphen der Ln-Funktion, indem du die E-Funktion an der 45° Linie spiegelst. Und du erhältst umgekehrt den Graphen der E-Funktion, indem du die Ln-Funktion spiegelst.

Da die beiden Funktionen Umkehrfunktionen zueinander sind, heben sie sich gegenseitig auf. Deshalb ist der natürliche Logarithmus von e hoch x, x. Und umgekehrt genauso. e hoch lnx ist einfach x. Demnach ist Ln von e gleich 1. Denn hier oben könnte man eine 1 schreiben.

e ist dasselbe wie e hoch 1. Außerdem gibt es zwei wichtige Werte, die du auswendig wissen solltest. Der Ln von 1 ist 0. Das heißt, die natürliche Logarithmusfunktion hat bei 1 eine Nullstelle. Außerdem ist e hoch 0 gleich 1. Suchst du die 0 auf der x-Achse und gehst von dort hoch auf den Graphen der E-Funktion, dann kannst du den Funktionswert 1 ablesen.

e ist das Symbol für die Eulersche Zahl. Die Eulersche Zahl ist bp eine irrationale Zahl. e ist rund 2,718.

Während e nur eine Zahl ist, ist e hoch x eine Funktion. Verwechsel das nicht miteinander. Außerdem ist e hoch x immer größer als 0. Der Graph verläuft also immer oberhalb der x-Achse.

Der Graph schmiegt sich sozusagen an die x-Achse an, aber berührt sie nie. Auch beim natürlichen Logarithmus gibt es ein paar Besonderheiten. Der Ln ist nur für positive x definiert.

Der Graph verläuft somit nur im positiven Bereich der x-Achse. Du darfst für x keine negativen Zahlen oder Null einsetzen. Zum Beispiel ist der Ausdruck ln von –1 nicht definiert.

Dieser Wert existiert gar nicht.