Wendepunkte

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• Wichtige Begriffe
• Wie hängen Wendepunkte und Ableitungen zusammen?
• Wendepunkte bestimmen / mit der 2. und 3. Ableitung
• Wendepunkte bestimmen mit der 2. Ableitung und Untersuchung auf VZW
• Sattelpunkte erkennen

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Wichtige Begriffe

Das sind die wichtigsten Begriffe rund um Wendepunkte, die du kennen solltest!

Lösungsbeschreibung

Folgende Begriffe rund um Wendepunkte solltest du kennen. Hier hat der Graf von F einen Wendepunkt. An einem Wendepunkt ändert sich die Krümmung.

Bis hier ist der Graf rechts gekrümmt. Und ab hier links gekrümmt. Stell dir vor, das wäre eine Straße, auf die du von oben schaust.

Hier müsste ein Autofahrer nach rechts lenken. Und hier nach links. Genau im Wendepunkt wäre das Lenkrad mittig.

Natürlich gibt es auch Grafen, die zuerst links und dann rechts gekrümmt sind. Oder die mehrere Wendepunkte haben. Die x-Koordinate des Wendepunktes heißt Wendestelle.

Bei diesem Wendepunkt verläuft die Wendetangente waagerecht. Solche Wendepunkte heißen Sattelpunkte. Sie erinnern an einen Pferdesattel.

Andere Bezeichnungen sind Terrassenpunkte oder Horizontalwendepunkte.

Wie hängen Wendepunkte und Ableitungen zusammen?

Viele Aufgaben kannst du nur lösen, wenn du die Zusammenhänge verstehst. Deshalb habe ich dieses Video für dich aufgenommen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie Wendepunkte und Ableitungen zusammenhängen. Hier siehst du den Graph einer Funktion f. Hier hat er einen Wendepunkt. Und das ist der Graph der ersten Ableitung.

Die Wendestelle von f ist eine Extremstelle von f'. Jetzt erkläre ich dir, warum das so ist. Die Ableitung gibt die Steigung von f an.

Hier ist die Steigung Null. Deshalb hat f' hier eine Nullstelle. Hier ist der Graph Strengmonoton steigend.

Die Steigung nimmt jedoch ab. Deshalb ist die Ableitung bis hier positiv, jedoch fallend. Ab hier fällt der rote Graph Strengmonoton.

Die Ableitung ist daher negativ. Jetzt stell dir vor, du würdest hier mit dem Fahrrad runterfahren. Wo geht es am steilsten bergab? Genau hier im Wendepunkt.

Deshalb hat die Ableitung hier einen Extrempunkt. Hier geht es zwar immer noch bergab, aber nicht mehr so steil. Deshalb ist die Ableitung zwar negativ, aber sie steigt jetzt.

Da die erste Ableitung hier eine Extremstelle hat, muss die zweite Ableitung hier eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel haben. Jetzt können wir die erste Ableitung ausblenden. Die Wendestelle von f ist also eine Nullstelle von f' mit Vorzeichenwechsel.

Nun nehmen wir noch die dritte Ableitung dazu. Diese gibt die Steigung der zweiten Ableitung an. Da die zweite Ableitung hier nicht die Steigung Null hat, kann die dritte Ableitung hier auch keine Nullstelle haben.

Wendepunkte bestimmen / mit der 2. und 3. Ableitung

Hier lernst du, Wendepunkte zu bestimmen. Dafür gibt es wie bei Extrempunkten 2 Verfahren. Jeder Lehrer bevorzugt eines davon. In diesem Video zeige ich dir, wie du Wendepunkte mit Hilfe der 2. und 3. Ableitung bestimmst. Dieses Verfahren ist meist praktischer als das andere.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du Wendepunkte mithilfe der zweiten und dritten Ableitung bestimmst. Als Beispiel berechnen wir den Wendepunkt dieser Funktion. Bestimme zunächst die ersten drei Ableitungen.

Die Ableitung von x hoch 3 ist 3x². Die Ableitung von x² ist 2x und 3 mal 2x sind 6x. Das Minus überträgst du einfach.

Die 4 fällt beim Ableiten weg. Nun leitest du diese Funktion nochmal ab. Die Ableitung von x² ist 2x und 3 mal 2x sind 6x.

Die Ableitung von x ist 1 und 6 mal 1 ist 6. Das Minus überträgst du einfach. Nun leitest du ein drittes Mal ab. Die Ableitung von x ist 1 und 6 mal 1 ist 6. Minus 6 fällt beim Ableiten weg.

Nun berechnest du die Nullstellen von f2' von x. Dazu setzt du f2' von x gleich 0. Das ergibt die Gleichung 6x-6 gleich 0. Rechne plus 6 und teile nun durch 6. Die Nullstelle von f2' ist somit 1. Um zu prüfen, ob das tatsächlich eine Wendestelle ist, setzt du sie in die dritte Ableitung ein. Setze also hier für x 1 ein. Auf dieser Seite kommt gar kein x vor.

Die dritte Ableitung ist also immer 6, egal welche Zahl man für x einsetzt. Ist das Ergebnis wie hier ungleich 0, handelt es sich um eine Wendestelle. Um den Wendepunkt anzugeben, fehlt noch die y-Koordinate.

Um diese zu bekommen, setzt du die Wendestelle in die Ausgangsfunktion f ein. Setze also hier, hier und hier für x1 ein. 1 hoch 3 ist 1 und 1 zum Quadrat ist ebenfalls 1. Minus 3 mal 1 ist minus 3. 1 minus 3 ist minus 2 und minus 2 plus 4 ist 2. Nun kannst du den Wendepunkt angeben.

Dafür kannst du WP schreiben. 2 ist die y-Koordinate und 1 ist die x-Koordinate. Statt einem Semikolon kannst du auch einen senkrechten Strich machen.

Hier siehst du das Schaubild zu dieser Aufgabe. Der Graph von f ist rot dargestellt. Der Graph von f2' ist blau und der Graph von f3' ist grün.

Den Graph von f' habe ich weggelassen. Hier ist der Wendepunkt, den du berechnet hast. An der Stelle, wo f einen Wendepunkt hat, hat f2' eine Nullstelle.

f3' hat dort keine Nullstelle, denn der Graph verläuft hier oben. Noch ein wichtiger Hinweis. Wenn du dieses Ergebnis in die dritte Ableitung einsetzt, kann es passieren, dass dort 0 rauskommt, statt wie hier 6. Dann musst du prüfen, ob die zweite Ableitung an dieser Stelle einen Vorzeichenwechsel hat.

Wie das geht, siehst du im nächsten Video. Nur bei einem Vorzeichenwechsel ist es eine Wendestelle.

Wendepunkte bestimmen mit der 2. Ableitung und Untersuchung auf VZW

In diesem Video zeige ich dir, wie du Wendepunkte bestimmst, indem du die zweite Ableitung an ihren Nullstellen auf einen Vorzeichenwechsel (VZW) untersuchst. Dieses Verfahren ist dann praktischer, wenn es sehr aufwendig wäre, die dritte Ableitung zu bilden.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du Wendepunkte nur mithilfe der zweiten Ableitung bestimmst. Dazu musst du diese auf einen Vorzeichenwechsel untersuchen, kurz Vzw. Als Beispiel berechnen wir den Wendepunkt dieser Funktion.

Bestimme zunächst die erste und die zweite Ableitung. Die Ableitung von x³ ist 3x². Die Ableitung von x² ist 2x und 3 mal 2x sind 6x.

Das Minus überträgst du einfach. Die 4 fällt beim Ableiten weg. Nun leitest du diese Funktion nochmal ab.

Die Ableitung von x² ist 2x und 3 mal 2x sind 6x. Die Ableitung von x ist 1 und 6 mal 1 ist 6. Das Minus überträgst du einfach. Nun berechnest du die Nullstellen von f2' von x. Dazu setzt du f2' von x gleich 0. Das ergibt die Gleichung 6x-6 gleich 0. Rechne plus 6 und teile nun durch 6. Die Nullstelle von f2' ist somit 1. Nun prüfst du, ob f2' an dieser Stelle einen Vorzeichenwechsel hat.

Hier siehst du nochmal die Ableitung f2' von x. Versuche die Ableitung als Produkt zu schreiben. Hier gelingt das, indem du 6 ausklammerst. In der Klammer muss dann x-1 stehen, denn 6 mal x sind 6x und 6 mal –1 ist –6.

Nun prüfst du, ob es an der Nullstelle x gleich 1 einen Vorzeichenwechsel gibt. Das schreibst du einfach ab. Wenn x etwas kleiner ist als 1, dann wird x-1 negativ.

6 ist natürlich positiv. Insgesamt ist der Ausdruck dann negativ, denn plus mal minus ergibt minus. Wenn x etwas größer ist als 1, wird x-1 positiv.

Insgesamt ist der Ausdruck dann positiv. Somit gibt es einen Vorzeichenwechsel. In diesem Fall handelt es sich um eine Wendestelle.

x gleich 1 ist also die Wendestelle. Um den Wendepunkt anzugeben, fehlt noch die y-Koordinate. Um diese zu bekommen, setzt du die Wendestelle in die Ausgangsfunktion f ein.

Setze also hier, hier und hier für x1 ein. 1 hoch 3 ist 1. 1 zum Quadrat ist ebenfalls 1. Und –3 mal 1 ist –3. 1 minus 3 ist –2.

Und –2 plus 4 ist 2. Nun kannst du den Wendepunkt angeben. Dafür kannst du WP schreiben. 2 ist die y-Koordinate.

Und 1 ist die x-Koordinate. Statt einem Semikolon kannst du auch einen senkrechten Strich machen. Hier siehst du das Schaubild zu dieser Aufgabe.

Der Graph von f ist rot dargestellt. Und der Graph von f2' ist blau. Den Graph von f' habe ich weggelassen.

Hier ist der Wendepunkt, den du berechnet hast. An der Stelle, wo f ein Wendepunkt hat, hat f2' eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Denn hier schneidet der Graph die x-Achse.

Noch ein wichtiger Hinweis. Nur bei einem Vorzeichenwechsel handelt es sich um eine Wendestelle. Sonst nicht.

Sattelpunkte erkennen

Sattelpunkte sind Wendepunkte mit waagerechter Tangente. Statt Sattelpunkt kannst du auch Horizontalwendepunkt oder Terrassenpunkt sagen. Mehr dazu unter "Extrempunkte und Sattelpunkte" In der Regel stößt du auf Sattelpunkte bei der Bestimmung von Extrempunkten. Denn auch in einem Sattelpunkt ist die Steigung Null. Deshalb kann an einer Nullstelle der ersten Ableitung auch ein Sattelpunkt sein.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, woran du beim Rechnen einen Sattelpunkt von einem normalen Wendepunkt unterscheiden kannst. Als Beispiel nehmen wir diese Funktion. Diese hat den Wendepunkt 0,4.

Um festzustellen, ob dieser Wendepunkt ein Sattelpunkt ist, brauchst du die erste Ableitung. Diese hast du normalerweise ja schon vorher bestimmt. Die Ableitung von x hoch 3 ist 3x².

Die 4 fällt beim Ableiten weg. Die x-Koordinate vom Wendepunkt ist 0. Nun setzt du diese in f' von x ein, also hier und hier. 0 zum Quadrat ist 0 und 3 mal 0 ist immer noch 0. Wenn hier 0 rauskommt, ist der Wendepunkt ein Sattelpunkt.

Denn die erste Ableitung gibt ja die Steigung der Tangente an. Ist die Steigung 0 wie hier, verläuft die Tangente waagerecht. Und ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente ist ein Sattelpunkt.

Hier siehst du das Schaubild zu dieser Aufgabe. Der Graph von f ist rot dargestellt. Der Graph von der ersten Ableitung ist blau, von der zweiten Ableitung grün und von der dritten Ableitung hellblau.

Hier ist der Sattelpunkt, den du berechnet hast. Wie bei einem normalen Wendepunkt hat f'', also der grüne Graph, hier eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Und f'' hat hier keine Nullstelle, denn der Graph verläuft hier oben.

Bei einem Sattelpunkt hat aber auch die erste Ableitung, also der blaue Graph, an dieser Stelle eine Nullstelle. Denn die Tangente im Sattelpunkt verläuft waagerecht. Das ist bei einem normalen Wendepunkt nicht so.

Normalerweise stößt du auf Sattelpunkte, wenn du die Extrempunkte eines Graphen bestimmst. Deshalb gibt es im Tutorial zu Extrempunkten nochmal ein extra Video zu Sattelpunkten. Sieh es dir am besten gleich an.