Extrempunkte

Springe zu den Inhalten

• Wichtige Begriffe
• Wie hängen Extrempunkte und Ableitungen zusammen?
• Extrempunkte bestimmen / mit der 1. und 2. Ableitung
• Extrempunkte bestimmen mit der 1. Ableitung und Untersuchung auf VZW
• Sattelpunkte
• Globale Extremwerte

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Wichtige Begriffe

Viele Probleme in Mathe fangen schon damit an, dass du nicht weißt, was mit bestimmten Begriffen gemeint ist. Deshalb lernst du in diesem Video die wichtigsten Begriffe rund um Hoch- und Tiefpunkte.

Lösungsbeschreibung

Folgende Begriffe rund um Hoch- und Tiefpunkte solltest du kennen. Hier hat der Graph von f einen Hochpunkt und hier einen Tiefpunkt. Die y-Koordinate dieses Punktes ist das Minimum.

Das ist also der kleinste Wert, den die Funktion f in diesem Bereich annimmt. Hier drüben zum Beispiel werden die Funktionswerte noch kleiner. Deshalb nennt man das auch ein lokales Minimum.

Beim Hochpunkt heißt dieser Wert Maximum. Das ist also der größte Wert, den die Funktion f in diesem Bereich annimmt. Auch das Maximum ist nur lokal, weil die Funktionswerte hier sogar noch größer werden.

Mehr dazu im Video zu lokalen und globalen Extremwerten. Die Mehrzahl von Maximum ist übrigens Maxima und die Mehrzahl von Minimum ist Minima. Die x-Koordinate des Tiefpunktes heißt Minimumstelle.

Beim Hochpunkt ist das die Maximumstelle. Diese beiden Begriffe werden allerdings selten benutzt. Hoch- und Tiefpunkte lassen sich unter dem Oberbegriff Extrempunkte zusammenfassen.

Minimum und Maximum sind dann beides Extremwerte. Und Maximumstelle und Minimumstelle sind beides Extremstellen. Dieser Begriff wird häufiger verwendet.

Wie hängen Extrempunkte und Ableitungen zusammen?

Es reicht nicht aus, nur das Verfahren zu lernen, wie man Extrempunkte bestimmt. Viele Aufgaben kannst du nur lösen, wenn du verstanden hast, wie alles zusammenhängt. Genau das lernst du in diesem Video! So kannst du auch die Schritte bei der Bestimmung von Extrempunkten besser nachvollziehen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie Extrempunkte und Ableitungen zusammenhängen. Hier siehst du den Graph einer Funktion f. Hier hat er einen Hochpunkt und hier einen Tiefpunkt. Tangenten im Tiefpunkt bzw.

im Hochpunkt verlaufen waagerecht. Ihre Steigung ist somit 0. Die Steigung einer Tangente entspricht dem Wert der ersten Ableitung. Folglich hat die Ableitung an diesen beiden Stellen eine Nullstelle.

Das ist der erste wichtige Zusammenhang. Die x-Koordinate vom Hochpunkt bzw. vom Tiefpunkt ist eine Nullstelle der Ableitung.

Links vom Hochpunkt ist der Graph streng monoton steigend. Da die erste Ableitung seine Steigung angibt, ist sie bis hier positiv. Rechts vom Hochpunkt ist der Graph streng monoton fallend.

Deshalb ist die erste Ableitung ab hier negativ. An dieser Stelle wechselt das Vorzeichen der Ableitung somit von Plus nach Minus. Nun schauen wir uns an, wie das bei einem Tiefpunkt ist.

Links vom Tiefpunkt ist der Graph streng monoton fallend. Deshalb ist die erste Ableitung bis hier negativ. Rechts vom Tiefpunkt ist der Graph streng monoton steigend.

Deshalb ist die erste Ableitung ab hier positiv. An dieser Nullstelle wechselt das Vorzeichen der Ableitung somit von Minus nach Plus. Nun nehmen wir noch die zweite Ableitung dazu.

Diese gibt die Steigung von f' an. An dieser Stelle ist f' steigend, da das Vorzeichen hier von Minus nach Plus wechselt. Somit muss f' an dieser Stelle größer als Null sein.

An dieser Stelle dagegen ist die erste Ableitung fallend, da das Vorzeichen hier von Plus nach Minus wechselt. Somit muss die zweite Ableitung an dieser Stelle kleiner als Null sein.

Extrempunkte bestimmen / mit der 1. und 2. Ableitung

Im Unterricht hast du bestimmt schon die Begriffe "notwendige Bedingung" und "hinreichende Bedingung" gehört. Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle von f ist, dass die erste Ableitung dort eine Nullstelle hat. Das reicht aber nicht aus, denn statt einem Extrempunkt könnte an einer solchen Stelle auch ein Sattelpunkt sein. Deshalb gibt es noch hinreichende Bedingungen bzw. hinreichende Kriterien. Ist eines davon erfüllt, handelt es sich um eine Extremstelle. Dazu musst du entweder nachweisen, dass die zweite Ableitung an dieser Stelle nicht Null ist oder dass die erste Ableitung an dieser Stelle einen Vorzeichenwechsel hat. Jeder Lehrer bevorzugt ein bestimmtes Kriterium, deshalb zeige ich dir beide.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du Extrempunkte mithilfe der ersten und zweiten Ableitung bestimmst. Als Beispiel berechnen wir die Extrempunkte dieser Funktion. Bestimme zunächst die erste und die zweite Ableitung.

Die Ableitung von x hoch 3 ist 3x² und die Ableitung von 3x ist 3. Das Minus überträgst du einfach. Nun leitest du diese Funktion nochmal ab. Die Ableitung von x² ist 2x und 3 mal 2x sind 6x.

Minus 3 fällt beim Ableiten weg. Nun berechnest du die Nullstellen von f' von x. Dazu setzt du f' von x gleich 0. Das ergibt die Gleichung 3x²-3 gleich 0. Rechne plus 3 und teile nun durch 3. Ziehe nun die Wurzel. Die Wurzel aus 1 ist 1. Die Wurzel aus x² ergibt immer zwei Lösungen, eine positive und eine negative.

Die Nullstellen von f' sind somit 1 und –1. Um zu prüfen, ob x1 und x2 tatsächlich Extremstellen sind, setzt du diese nun nacheinander in f' von x ein. Beginne mit x1.

Setze also hier und hier für x1 ein. 6 mal 1 ist 6. Ist das Ergebnis wie hier größer als 0, handelt es sich um einen Tiefpunkt. Oder anders ausgedrückt, f hat an der Stelle 1 ein Minimum.

Nun machst du das gleiche nochmal mit x2. Setze also diesmal für x-1 ein. 6 mal –1 ist –6.

Ist das Ergebnis wie hier kleiner als 0, handelt es sich um einen Hochpunkt. Oder anders ausgedrückt, f hat an der Stelle –1 ein Maximum. Somit sind x1 und x2 tatsächlich Extremstellen.

x1 ist die x-Koordinate vom Tiefpunkt und x2 ist die x-Koordinate vom Hochpunkt. Es fehlen also noch die y-Koordinaten. Um diese zu bekommen, setzt du x1 und x2 nacheinander in die Ausgangsfunktion f ein.

Beginne mit x1. Setze also hier, hier und hier für x1 ein. 1 hoch 3 ist 1 und –3 mal 1 ist –3.

1 – 3 ist –2. Nun kannst du den Tiefpunkt angeben. Dafür kannst du tp schreiben.

–2 ist die y-Koordinate und 1 ist die x-Koordinate. Statt einem Semikolon kannst du auch einen senkrechten Strich machen. Nun machst du das gleiche für x2.

Setze also hier, hier und hier für x-1 ein. –1 hoch 3 ist –1 und –3 mal –1 ist plus 3. –1 plus 3 ist 2. Nun kannst du den Hochpunkt angeben. Dafür kannst du hp schreiben.

2 ist die y-Koordinate und –1 ist die x-Koordinate. Hier siehst du das Schaubild zu dieser Aufgabe. Der Graph von f ist rot dargestellt.

Der Graph von f' ist blau und der Graph von f'2 ist grün. Hier ist der Hochpunkt, den du berechnet hast. Und hier der Tiefpunkt.

An der Stelle, wo f ein Hochpunkt hat, hat die Ableitung f' eine Nullstelle. Ebenso an der Stelle, wo f einen Tiefpunkt hat. Die zweite Ableitung ist hier positiv.

Der Wert ist so groß, dass er gar nicht mehr drauf gepasst hat. Und an dieser Stelle ist die zweite Ableitung negativ. Auch dieser Wert ist aber nicht mehr zu sehen.

Noch ein wichtiger Hinweis. Wenn du x1 bzw. x2 in die zweite Ableitung einsetzt, kann es passieren, dass dort 0 rauskommt statt wie hier 6. Dann musst du prüfen, ob die erste Ableitung an dieser Stelle einen Vorzeichenwechsel hat.

Wie das geht, siehst du im nächsten Video. Gibt es keinen Vorzeichenwechsel, handelt es sich um einen Sattelpunkt. Zu Sattelpunkten gibt es noch ein extra Video.

Extrempunkte bestimmen mit der 1. Ableitung und Untersuchung auf VZW

In diesem Video zeige ich dir, wie du Extrempunkte bestimmst, indem du die erste Ableitung an ihren Nullstellen auf einen Vorzeichenwechsel (VZW) untersuchst. Dieses Verfahren ist dann praktischer, wenn es sehr aufwendig wäre, die zweite Ableitung zu bilden.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du Extrempunkte nur mithilfe der ersten Ableitung bestimmst. Dazu musst du diese auf einen Vorzeichenwechsel untersuchen, kurz Vzw. Als Beispiel berechnen wir die Extrempunkte dieser Funktion.

Bestimme zunächst die Ableitung. Die Ableitung von x hoch 3 ist 3x². Und die Ableitung von 3x ist 3. Das Minus überträgst du einfach.

Nun berechnest du die Nullstellen der Ableitung. Dazu setzt du f' von x gleich 0. Das ergibt die Gleichung 3x²-3 gleich 0. Rechne plus 3 und teile nun durch 3. Ziehe nun die Wurzel. Die Wurzel aus 1 ist 1. Die Wurzel aus x² ergibt immer zwei Lösungen.

Eine positive und eine negative. Die Nullstellen von f' sind somit 1 und –1. Nun prüfst du, ob f' an diesen beiden Stellen einen Vorzeichenwechsel hat.

Hier siehst du nochmal die Ableitung f' von x. Versuche die Ableitung als Produkt zu schreiben. Hier gelingt das, indem du 3 ausklammerst. In der Klammer muss dann x²-1 stehen.

Denn 3 mal x² sind 3x² und 3 mal –1 ist –3. Das würde schon reichen, aber du kannst noch weiter gehen. x²-1 kannst du mit der dritten binomischen Formel umformen, die du hier siehst.

a²-b² ist das gleiche wie a plus b mal a minus b. a² ist bei uns x² und b² ist bei uns 1. b muss dann auch 1 sein, denn 1 zum Quadrat ist 1. Nun ersetzt du hier und hier a durch x. Und hier und hier ersetzt du b durch 1. Nun prüfst du, ob es an der Nullstelle x1 gleich 1 einen Vorzeichenwechsel gibt. Das schreibst du einfach ab. Wenn x etwas kleiner ist als 1, dann wird x-1 negativ.

Die anderen beiden Faktoren sind positiv. Insgesamt ist der Ausdruck dann negativ, denn plus mal plus mal minus ergibt minus. Wenn x etwas größer ist als 1, wird x-1 positiv.

Die anderen beiden Faktoren sind sowieso positiv. Insgesamt ist der Ausdruck dann natürlich positiv. Somit gibt es einen Vorzeichenwechsel von minus nach plus.

In diesem Fall handelt es sich um einen Tiefpunkt. Oder anders ausgedrückt, f hat an der Stelle 1 ein Minimum. x1 ist die x-Koordinate des Tiefpunkts.

Nun machst du das gleiche für x2 gleich minus 1. Wenn x etwas kleiner ist als minus 1, dann wird x plus 1 negativ. x-1 ist dann sowieso negativ. Insgesamt ist der Ausdruck dann positiv, denn plus mal minus mal minus ergibt plus.

Wenn x etwas größer ist als minus 1, dann wird x plus 1 positiv. x-1 ist sowieso wieder negativ. Insgesamt ist der Ausdruck dann negativ, denn plus mal plus mal minus ergibt minus.

Somit gibt es einen Vorzeichenwechsel von plus nach minus. In diesem Fall handelt es sich um einen Hochpunkt. Oder anders ausgedrückt, f hat an der Stelle minus 1 ein Maximum.

x2 ist die x-Koordinate des Hochpunkts. x1 und x2 sind also tatsächlich Extremstellen. Um die beiden Extrempunkte anzugeben, fehlen dir aber noch die y-Koordinaten.

Um diese zu bekommen, setzte x1 und x2 nacheinander in die Ausgangsfunktion f ein. Beginne mit x1. Setze also hier, hier und hier für x1 ein.

1 hoch 3 ist 1. Und minus 3 mal 1 ist minus 3. 1 minus 3 ist minus 2. Nun kannst du den Tiefpunkt angeben. Dafür kannst du tp schreiben. Minus 2 ist die y-Koordinate.

Und 1 ist die x-Koordinate. Statt einem Semikolon kannst du auch einen senkrechten Strich machen. Nun machst du das gleiche für x2.

Setze also hier, hier und hier für x-1 ein. Minus 1 hoch 3 ist minus 1. Und minus 3 mal minus 1 ist plus 3. Minus 1 plus 3 ist 2. Nun kannst du den Hochpunkt angeben. Dafür kannst du hp schreiben.

2 ist die y-Koordinate. Und minus 1 ist die x-Koordinate. Hier siehst du das Schaubild zu dieser Aufgabe.

Der Graph von f ist rot dargestellt. Der Graph von f' ist blau. Hier ist der Hochpunkt, den du berechnet hast.

Und hier der Tiefpunkt. An der Stelle, wo f ein Hochpunkt hat, hat die Ableitung f' eine Nullstelle. Ebenso an der Stelle, wo f ein Tiefpunkt hat.

Beim Hochpunkt wechselt die Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus. Beim Tiefpunkt ist es umgekehrt. Noch ein wichtiger Hinweis.

Gibt es keinen Vorzeichenwechsel, handelt es sich um einen Sattelpunkt und nicht um einen Extrempunkt. Sieh dir am besten gleich das Video zu Sattelpunkten an.

Sattelpunkte

Willst du die Extrempunkte eines Graphen bestimmen, stößt du dabei manchmal auf einen Sattelpunkt. Denn genau wie bei einem Extrempunkt ist die Steigung des Graphen in einem Sattelpunkt Null, sodass die erste Ableitung an dieser Stelle eine Nullstelle hat. In diesem Video zeige ich dir, wie du Sattelpunkte von Extrempunkten unterscheiden kannst. Ein Sattelpunkt ist übrigens ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Statt Sattelpunkt kannst du auch Horizontalwendepunkt oder Terrassenpunkt sagen.

Lösungsbeschreibung

Wenn du die Extrempunkte einer Funktion bestimmen willst, stößt du dabei manchmal auf einen Sattelpunkt. Sattelpunkte werden auch Terrassenpunkte oder Horizontalwendepunkte genannt. Als Beispiel nehmen wir diese Funktion.

Wie immer, wenn du Extrempunkte bestimmen willst, bildest du die erste Ableitung. Der Faktor ein Drittel bleibt beim Ableiten erhalten. Das ist eine Verkettung.

Dort, wo sonst nur x steht, steht x-1. Die Ableitung einer Verkettung ist äußere Ableitung mal innere Ableitung. Die innere Ableitung ist einfach.

Die innere Funktion ist ja x-1. Abgeleitet ergibt das 1. Das kannst du gleich weglassen. Die äußere Ableitung bildest du nach der Potenzregel.

Die Hochzahl 3 kommt nach vorne. Und hier rechnest du 3-1 gleich 2. Das hier schreibst du einfach ab. Die 3 kürzen sich.

Somit bleibt das übrig. Um Extremstellen zu finden, setzt du wie üblich die erste Ableitung 0. Das ergibt diese Gleichung. Das Quadrat kannst du auflösen, indem du die Klammer zweimal nebeneinander schreibst.

Das ist ein Produkt. Zwischen den Klammern kannst du dir einen Malpunkt denken. Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist.

Wenn x1 ist, ist x-1 0. Da dieser Faktor doppelt vorkommt, ist 1 eine doppelte Nullstelle. Nun hast du zwei Möglichkeiten. Entweder untersuchst du die erste Ableitung an dieser Stelle auf einen Vorzeichenwechsel oder du bildest die zweite Ableitung und prüfst damit, ob es sich um einen Extrempunkt handelt.

Ich zeige dir zunächst den letzteren Weg. Da dieser zu keiner Entscheidung führen wird, müssen wir die erste Ableitung anschließend sowieso auf einen Vorzeichenwechsel untersuchen. Um F2' zu bilden, leitest du F' ab.

Das geht wieder mit der Kettenregel. Die innere Ableitung ist wie zuvor 1. Den Faktor 1 kannst du gleich weglassen. Die äußere Ableitung bildest du wieder nach der Potenzregel.

Die Hochzahl 2 kommt nach vorne. Und hier rechnest du 2-1 gleich 1. Die 1 kannst du gleich weglassen. Und das hier schreibst du einfach ab.

Nun setzt du wie üblich diese Lösung in die zweite Ableitung ein. Hier und hier ersetzt du also x durch 1. 1-1 ist 0. Und 2 mal 0 ist immer noch 0. Wenn hier 0 rauskommt, kannst du nicht entscheiden, ob es sich um einen Hochpunkt oder um einen Tiefpunkt handelt. Es ist nicht mal sicher, ob es sich überhaupt um einen Extrempunkt handelt.

In diesem Fall bleibt dir nichts weiter übrig, als die erste Ableitung auf einen Vorzeichenwechsel an dieser Stelle zu untersuchen. Hier siehst du nochmal die erste Ableitung. Wie wir gerade ausgerechnet haben, wird sie 0, wenn x1 ist.

Für alle anderen x ist die Ableitung wegen dem Quadrat aber größer als 0. Somit findet an der Stelle 1 kein Vorzeichenwechsel statt. Daraus folgt, dass es sich um einen Sattelpunkt handelt und nicht um einen Extrempunkt. 1 ist die x-Koordinate des Sattelpunkts.

Um die y-Koordinate zu bestimmen, setzt du 1 in die Ausgangsfunktion ein. Also hier und hier. 1 minus 1 ist 0. 0 hoch 3 ist wieder 0. Und ein Drittel mal 0 ist auch 0. 0 plus 2 ist 2. Nun kannst du den Sattelpunkt angeben.

Dafür kannst du sp schreiben. 2 ist die y-Koordinate. Und 1 ist die x-Koordinate.

Hier siehst du den Graphen von f. Offensichtlich hat er keine Extrempunkte. Hier ist der Sattelpunkt, den wir gerade berechnet haben. Ein Sattelpunkt sieht aus wie ein Pferdesattel.

Genau in diesem Punkt ist die Steigung des Graphen 0. Und die Tangente verläuft dementsprechend waagerecht. Deshalb hat die erste Ableitung an dieser Stelle auch wieder eine Nullstelle. Hier ist die Steigung positiv und somit auch die Ableitung.

Genauso hier. Deshalb gibt es keinen Vorzeichenwechsel. Somit hat die Ableitung hier einen Tiefpunkt.

Das bedeutet, die Ableitung von der Ableitung muss dort eine Nullstelle haben. Somit hat die zweite Ableitung hier ebenfalls eine Nullstelle. Das war ja der Grund, warum durch die zweite Ableitung keine Entscheidung möglich war.

Es gibt übrigens auch Fälle, wo die zweite Ableitung Null ist, aber f trotzdem einen Extrempunkt hat. Das würdest du dann am Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung erkennen. Merke dir, ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.

Globale Extremwerte

Die y-Koordinaten der Extrempunkte sind lokale (oder auch relative) Extremwerte. Bei Extremwertaufgaben werden aber meist globale (oder auch absolute) Extremwerte gesucht. Hier lernst du, wie du globale Extrema bestimmst und wann ein lokales Extremum auch ein globales ist.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video erkläre ich dir, was der Unterschied zwischen lokalen und globalen Extrema ist. Hier siehst du den Graph einer Funktion f. Hier und hier hat er einen Tiefpunkt und hier einen Hochpunkt. Das heißt, an der Stelle 0 hat er ein lokales Maximum, nämlich 2. Und an den Stellen –2 und 2 hat er ein lokales Minimum.

Nämlich –4. Das schreibt man so auf. f von 0 ist 2 und f von –2 ist das gleiche wie f von 2, nämlich –4.

Ob das auch globale Extrema sind, hängt vom Definitionsbereich ab. Sind der Definitionsbereich, wie hier die reellen Zahlen, dann ist 2 kein globales Maximum. Denn hier und hier werden die Funktionswerte größer als 2. –4 ist dagegen auch ein globales Minimum, da kein kleinerer Funktionswert angenommen wird.

Diese Zeile kannst du also einfach abschreiben. Nun betrachten wir das abgeschlossene Intervall von –2,5 bis 2,5. Um zu verdeutlichen, dass die Punkte auf dem Rand dazugehören, macht man einen ausgefüllten Kreis.

Die Funktionswerte am Rand heißen Randextrema und sind auch lokale Extrema. f von –2,5 ist das gleiche wie f von 2,5, nämlich rund –2,1. Die globalen Extrema sind der größte und kleinste Wert aus den lokalen Extrema.

–4 ist natürlich wieder das globale Minimum. Und diesmal ist auch 2 das globale Maximum, da es keinen größeren Funktionswert gibt. Betrachten wir dagegen das abgeschlossene Intervall von –3 bis 3, ist 2 kein globales Extremum mehr.

Das Randextremum ist nämlich größer als 2. f von –3 ist das gleiche wie f von 3, nämlich rund 5,4. Das ist jetzt das globale Maximum. Statt global kannst du auch absolut sagen und statt lokal relativ.

Extrema sind das gleiche wie Extremwerte. Globale Extremwerte werden bei sogenannten Extremwertaufgaben gesucht. Der Definitionsbereich ergibt sich dabei aus der Aufgabenstellung.