Monotonie

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• Was bedeutet Monotonie?
• Was ist der Unterschied zwischen Monotonie und strenger Monotonie?
• So untersuchst du eine Funktion auf Monotonie / Der Monotoniesatz
• Ungleichungen lösen
• Testwert-Methode

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Was bedeutet Monotonie?

In diesem Video zeige ich dir, wann eine Funktion streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend ist.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video erkläre ich dir, was Monotonie bedeutet. Hier siehst du den Graph einer Funktion. Hier steigt er und hier fällt er.

Konzentrieren wir uns auf den Bereich der X-Achse, in dem der Graph steigt. Bereiche auf der X-Achse nennt man auch Intervalle. Nun nehmen wir uns zwei beliebige X-Werte aus diesem Intervall.

Da X1 weiter links liegt, ist X1 kleiner als X2. Bei den Funktionswerten ist es genauso. f von X1 ist kleiner als f von X2, denn er liegt weiter unten auf der Y-Achse.

In diesem Fall sagt man, f ist streng monoton wachsend. Für wachsende X-Werte ergeben sich auch wachsende Y-Werte. Statt wachsend kannst du auch steigend oder zunehmend sagen.

Nun konzentrieren wir uns auf den Bereich der X-Achse, in dem der Graph fällt. Wieder nehmen wir uns zwei beliebige X-Werte aus diesem Intervall. Da X3 weiter links liegt, ist X3 kleiner als X4.

Bei den Funktionswerten ist es diesmal genau umgekehrt. f von X4 ist kleiner als f von X3. In diesem Fall sagt man, f ist streng monoton fallend.

Für wachsende X-Werte ergeben sich diesmal fallende Y-Werte. Statt fallend kannst du auch abnehmend sagen.

Was ist der Unterschied zwischen Monotonie und strenger Monotonie?

Hier siehst du, worin der Unterschied zwischen Monotonie und strenger Monotonie besteht.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video erkläre ich dir den Unterschied zwischen Monotonie und strenger Monotonie. Der rote Graph ist in verschiedene Monotonie-Bereiche unterteilt. Strenge Monotonie kennst du schon.

In diesem Intervall ist der rote Graph streng monoton fallend und in diesem Intervall ist der streng monoton wachsend. In diesem Intervall dagegen wächst er nur monoton, aber nicht streng monoton. Denn hier bleiben die Funktionswerte konstant.

Erst ab hier steigen sie streng monoton. Die Begriffe steigend, wachsend und zunehmend kannst du synonym verwenden. In diesem Intervall ist die Funktion entsprechend nur monoton fallend.

Denn am Anfang bleiben die Funktionswerte konstant. Erst ab hier fallen sie streng monoton. Statt fallend kannst du auch abnehmend sagen.

Manche würden denken, dass der Graph hier auch steigt. Aber das stimmt nicht, da du immer von links nach rechts gehen musst. Der blaue Graph ist überall streng monoton wachsend.

Hier hat er zwar einen Sattelpunkt, dennoch ist die Bedingung für strenge Monotonie erfüllt. Gehst du ein beliebig kleines Stück nach links, ist der zugehörige Funktionswert minimal kleiner. Gehst du ein beliebig kleines Stück nach rechts, ist der Graph minimal gestiegen.

Die Funktion ist also nirgendwo konstant, auch wenn sie im Sattelpunkt die Steigung 0 hat.

So untersuchst du eine Funktion auf Monotonie / Der Monotoniesatz

Damit ist gemeint, die Intervalle zu bestimmen, in denen die Funktion streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend ist. Wie das geht, lernst du jetzt. Ausgangspunkt dafür ist der sogenannte Monotoniesatz. Dieser beschreibt, wie die Monotonie einer Funktion mit ihrer Ableitung zusammenhängt.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video erkläre ich dir, wie die Monotonie einer Funktion mit ihrer Ableitung zusammenhängt. Das ist der sogenannte Monotonie-Satz. Rot dargestellt siehst du den Graph einer Funktion und blau den Graph ihrer Ableitung.

Erst steigt die Funktion streng monoton, dann fällt sie streng monoton und dann steigt sie wieder. Jetzt kommt der erste wichtige Zusammenhang. Bei den x-Werten, bei denen sich das Monotonie-Verhalten ändert, hat die Ableitung jeweils eine Nullstelle.

Das Ganze lässt sich sogar noch genauer untersuchen. Schauen wir uns mal nur diesen Bereich an. Hier verläuft der Graph der Ableitung nur oberhalb der x-Achse.

Und der Graph von f wächst streng monoton. Auf dieser Seite das gleiche. f' von x ist größer als 0 und der rote Graph wächst streng monoton.

Es lässt sich beweisen, dass das immer so ist. Ist die Ableitung f' von x größer als 0 für alle x aus einem Intervall I, dann ist f auf diesem Intervall streng monoton wachsend. Umgekehrt gilt entsprechend Folgendes.

Verläuft der Graph der Ableitung nur unterhalb der x-Achse, ist f in diesem Intervall streng monoton fallend. Ist f' von x also kleiner als 0 für alle x aus einem Intervall I, dann ist f streng monoton fallend in I. Diese beiden Erkenntnisse werden als Monotoniesatz bezeichnet. Voraussetzung ist natürlich, dass die Ableitung im jeweiligen Intervall überhaupt existiert.

Bei den meisten Funktionen brauchst du dir darüber aber keine Gedanken zu machen.

Ungleichungen lösen

Aus dem Monotoniesatz ergeben sich 2 Ungleichungen, die du lösen musst, um das Monotonieverhalten einer Funktion zu bestimmen. In diesem Video rechne ich dir Schritt für Schritt ein Beispiel vor.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Funktion auf Monotonie untersuchst. Dazu benutzen wir den Monotoniesatz, den ich dir im letzten Video gezeigt habe. Als Beispiel nehmen wir diese Funktion.

Als erstes bildest du die Ableitung. Die Ableitung von x² ist 2x. Das Minus bleibt erhalten.

Die 4 fällt beim Ableiten weg. Nun setzt du die Ableitung f' von x, einmal größer 0 und einmal kleiner 0. Machen wir erst diesen Fall fertig. Du schreibst also minus 2x größer 0. Nun löst du nach x auf.

Dazu teilst du wie gewohnt durch minus 2. Links bleibt dadurch x übrig. Und 0 geteilt durch irgendwas ist immer 0. Außer 0 geteilt durch 0. Das wäre gar nicht erlaubt. Bei Ungleichungen musst du aufpassen.

Teilst du durch eine negative Zahl wie minus 2, dreht sich das Relationszeichen um. Das gleiche würde passieren, wenn du mit einer negativen Zahl mal nimmst. Der Monotoniesatz besagt, wenn diese Bedingung auf einem Intervall erfüllt ist, ist die Funktion f dort streng monoton wachsend.

Somit ist f streng monoton wachsend für x kleiner 0. Nun machen wir hier weiter. Die Rechnung ist genau die gleiche, nur dass das Zeichen jeweils umgedreht ist. Der Monotoniesatz besagt, wenn diese Bedingung auf einem Intervall erfüllt ist, ist die Funktion f dort streng monoton fallend.

Somit ist f streng monoton fallend für x größer 0. Da sich die Monotonie nicht auf einen einzelnen Punkt bezieht, kann man den Rand jeweils dazunehmen. Du kannst hier also auch größergleich schreiben. Und hier kleinergleich.

Du kannst das Intervall auch konkret angeben. x kleiner 0 bedeutet, dass x zwischen minusunendlich und 0 liegt. Eine runde Klammer heißt, dass der Rand, also 0, nicht mit zum Intervall gehört.

Wie gesagt kannst du die 0 auch mit einschließen. Das kennzeichnest du durch eine eckige Klammer. Hier drüben kannst du auch das entsprechende Intervall angeben.

Also so oder so. Bei unendlich oder minusunendlich macht man nie eine eckige Klammer, sondern nur runde Klammern. Hier siehst du das Schaubild zu dieser Aufgabe.

Rot dargestellt ist der Graph von f und blau die Ableitung f'. Bei x gleich 0 ändert sich das Monotonieverhalten von f. Deshalb hat die Ableitung hier eine Nullstelle. Auf diesem Intervall ist die Ableitung positiv, also größer als 0. Folglich wächst der rote Graph streng monoton.

Auf diesem Intervall ist die Ableitung negativ, also kleiner als 0. Folglich fällt der Graph von f streng monoton.

Testwert-Methode

Statt Ungleichungen zu lösen, kannst du auch Testwerte in die Ableitung einsetzen. Das ist oft praktischer. Wie du das machst, lernst du hier. In bestimmten Fällen kann diese Methode jedoch leicht zu Fehlern führen. Deshalb verrate ich dir auch, wann du besser die Ungleichungen löst.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir eine andere Möglichkeit, eine Funktion auf Monotonie zu untersuchen, nämlich mit Testwerten. Als Beispiel nehmen wir die gleiche Funktion wie im letzten Video. Als erstes bildest du die Ableitung.

Die Ableitung von x² ist 2x. Das Minus bleibt erhalten. Die 4 fällt beim Ableiten weg.

Nun setzt du die Ableitung f' von x gleich 0. f' von x sind –2x. Das ergibt die Gleichung –2x gleich 0. Teile nun durch –2. Links bleibt dadurch x übrig.

Und 0 geteilt durch irgendwas ist immer 0. Außer 0 geteilt durch 0. Das wäre gar nicht erlaubt. Die Ableitung f' von x hat somit eine Nullstelle bei x gleich 0. Das bedeutet, an dieser Stelle könnte sich das Monotonieverhalten der Funktion f ändern. Dadurch kannst du die x-Achse in zwei Intervalle unterteilen, nämlich in x kleiner als 0 und in x größer als 0. Dann greifst du dir aus jedem Intervall einen beliebigen Testwert, zum Beispiel –1 und 1. Hier siehst du nochmal die beiden Intervalle.

Aus diesem Intervall nehmen wir den Testwert –1 und setzen ihn in die Ableitung ein, also hier und hier. –2 mal –1 ist 2 und das ist größer als 0. Ist f' für den Testwert größer als 0, dann gilt das auch für alle anderen x aus diesem Intervall, also für alle x, die kleiner als 0 sind. Aus dem Monotoniesatz folgt daraus, dass f streng monoton wachsend ist, für x kleiner 0. Nun nehmen wir aus diesem Intervall den Testwert 1 und setzen ihn in die Ableitung ein, also hier und hier.

–2 mal 1 ist –2 und das ist kleiner als 0. Ist f' für den Testwert kleiner als 0, dann gilt das auch für alle anderen x aus diesem Intervall, also für alle x, die größer als 0 sind. Aus dem Monotoniesatz folgt daraus, dass f streng monoton fallend ist, für x größer 0. Hier siehst du das Schaubild. Die Ableitung hat eine Nullstelle bei x gleich 0. Für x kleiner 0 ist die Ableitung positiv und der rote Graph folglich streng monoton wachsend.

Für x größer 0 ist die Ableitung negativ und der rote Graph folglich streng monoton fallend. Die Testwertmethode ist bei einigen Funktionen jedoch problematisch. Nehmen wir als Beispiel diese Funktion.

Wenn du wie üblich die Ableitung bildest, wirst du feststellen, dass diese keine Nullstellen hat. Deshalb musst du annehmen, dass der Graph entweder nur streng monoton steigt oder nur streng monoton fällt. Wenn du jetzt als Testwert –1 einsetzt, ist die Ableitung 2 und damit größer als 0. Du würdest also Schluss folgern, dass f streng monoton wachsend ist.

Hättest du dich stattdessen für 1 als Testwert entschieden, wäre die Ableitung –2 und damit kleiner als 0. Daraus hättest du gefolgert, dass f streng monoton fallend ist. Da kann ja was nicht stimmen. Lösen wir das Rätsel mal auf.

Da du nicht durch 0 teilen darfst, darf x nicht 0 sein. 0 ist eine sogenannte Definitionslücke. Diese Definitionslücke teilt die x-Achse in zwei Intervalle, die du einzeln betrachten musst.

Darauf musst du aber von selbst kommen. Auf diesem Intervall ist die Funktion streng monoton wachsend und auf diesem Intervall ist sie streng monoton fallend. Nimmst du stattdessen die Methode mit den Ungleichungen aus dem anderen Video, kann dir dieser Fehler nicht passieren.

Die Methode mit den Testwerten ist also problematisch, wenn die Funktion Definitionslücken hat.