Normale
Springe zu den Inhalten
Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.
Zurück zur Übersicht
Was ist eine Normale?
Hier erfährst du, was eine Normale ist und was sie mit der Tangente zu tun hat.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video lernst du, was eine Normale ist. Rot dargestellt siehst du den Graph einer Funktion f. Blau die Tangente im Punkt 2,1 und grün die Normale im selben Punkt. Um die Normale oder die Tangente zu bezeichnen, genügt die x-Koordinate.
Das ist also die Normale in x gleich 2. Die Normale ist wie die Tangente eine Gerade. Außerdem verläuft sie immer senkrecht zur Tangente. Das heißt, beide schneiden sich in einem Winkel von 90°.
Statt senkrecht sagt man auch orthogonal. Der Schnittpunkt ist der Punkt, an dem die Tangente den Graph berührt. Die Steigung der Normale ist –1 durch die Ableitung an dieser Stelle, also durch f' von 2. f' von 2 ist genau die Steigung der Tangente.
Wenn du die Steigung der Tangente schon bestimmt hast, kannst du sie also einfach hier einsetzen. Pro Einheit nach rechts fällt die Normale also um diesen Wert. Durch das Minus haben die Steigung der Normale und die Steigung der Tangente immer unterschiedliche Vorzeichen.
Das bedeutet, wenn die Tangente steigt, muss die Normale fallen. Würde die Tangente fallen, würde die Normale steigen.
Zurück zur Übersichtnoch oben
Gleichung einer Normale bestimmen
Es gibt es 2 Möglichkeiten, die Gleichung einer Normale zu bestimmen. Jeder Lehrer bevorzugt eine bestimmte. Deshalb stelle ich dir beide Methoden vor. Erste Möglichkeit: Hier ist der Ansatz die allgemeine Geradengleichung y=mx+b
Lösungsbeschreibung
In diesem Video lernst du, die Gleichung einer Normale zu bestimmen. Dazu benutze ich diesen Ansatz. Falls dein Lehrer einen anderen Ansatz verwendet, schau dir mein anderes Video zu diesem Thema an.
Jetzt geht es mit diesem Ansatz weiter. Als Beispiel nehmen wir diese Funktion f und bestimmen die Normale in diesem Punkt. Das ist der Punkt, in dem die Tangente den Graph von f berührt.
Wie du weißt, ist eine Normale eine Gerade. Und die Gleichung einer Gerade hat immer die Form y ist gleich mx plus b. In manchen Büchern wird statt b auch der Buchstabe c verwendet. m ist die Steigung der Gerade und b ist die Schnittstelle mit der y-Achse.
Als nächstes müssen wir deshalb m und b bestimmen. An das m kommen wir leicht. m ist einfach minus 1 durch die Steigung der Tangente.
In der Regel hast du die Steigung der Tangente schon vorher bestimmt. In diesem Beispiel ist die Steigung der Tangente 3. Das ist übrigens das gleiche wie f' von 1. Für das m können wir also schon mal minus ein Drittel einsetzen. Nun fehlt noch das b. Dazu nehmen wir uns diese Gleichung und setzen für m minus ein Drittel ein und für x und y den Berührpunkt.
Die x-Koordinate des Berührpunktes ist 1 und die y-Koordinate ist 2. Nun lösen wir einfach nach b auf. Minus ein Drittel mal 1 ist minus ein Drittel. Nun rechnest du plus ein Drittel, damit b allein auf einer Seite steht.
2 plus ein Drittel sind 7 Drittel. Hier habe ich noch die Seiten getauscht. Für b setzt du also 7 Drittel ein.
Um zu verdeutlichen, dass dies die Gleichung der Normale ist, kannst du noch ein n für Normale davor schreiben. Hier rot dargestellt siehst du den Graph der Funktion f. Die blaue Gerade ist die Tangente in diesem Punkt und orthogonal dazu verläuft die Normale, deren Gleichung wir gerade bestimmt haben. Orthogonal bedeutet, dass sie die Tangente im rechten Winkel schneidet.
Wie man die Gleichung der Tangente bestimmt, zeige ich dir in einem anderen Video.
Zurück zur Übersichtnoch oben
Zweite Möglichkeit
Hier zeige ich dir einen alternativen Ansatz.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video lernst du, die Gleichung einer Normale zu bestimmen. Dazu benutze ich diesen Ansatz. Falls dein Lehrer einen anderen Ansatz verwendet, schau dir mein anderes Video zu diesem Thema an.
Jetzt geht es mit diesem Ansatz weiter. Als Beispiel nehmen wir diese Funktion f und bestimmen die Normale in x0 gleich 1. x0, also 1, kannst du gleich hier einsetzen. Für diesen Ansatz benötigen wir außerdem f von x0 und f' von x0, die wir nun bestimmen werden.
f von x0 berechnest du, indem du für x die 1 einsetzt, also hier, hier und hier. 1 zum Quadrat ist 1 und 1 plus 1 ist 2. Für f von x0 können wir also schon mal die 2 einsetzen. Anschaulich ist das die y-Koordinate des Punktes, in dem sich Normale und Tangente schneiden.
Und das ist die x-Koordinate. Gleichzeitig ist das der Punkt, in dem die Tangente den Graph von f berührt. Nun berechnen wir f' von x0.
Dazu müssen wir die Funktion f erstmal ableiten. Die Ableitung von x² ist 2x und die Ableitung von x ist 1. Für x setzt du nun x0, also 1 ein, und zwar hier und hier. 2 mal 1 ist 2 und 2 plus 1 ist 3. Die 3 setzt du nun hier für f' von x0 ein.
Und nun vereinfachst du den Ausdruck. Löse dazu als erstes die Klammer auf. Minus ein Drittel mal x sind minus ein Drittel x. Und minus ein Drittel mal minus 1 ist plus ein Drittel.
Ein Drittel plus 2 sind sieben Drittel. Um zu verdeutlichen, dass dies die Gleichung der Normale ist, kannst du ein n für Normale davor schreiben. Hier rot dargestellt siehst du den Graph von f. Die Stelle x0 gleich 1 ist hier.
Der zugehörige Punkt auf dem Graph liegt hier. Das ist der Punkt, in dem sich die blaue Tangente und die grüne Normale schneiden. Diese schneiden sich immer im rechten Winkel.
Deshalb sagt man, sie sind orthogonal zueinander. Wie man die Gleichung der Tangente bestimmt, zeige ich dir in einem anderen Video.
Zurück zur Übersichtnoch oben