Tangente

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• Was ist eine Tangente?
• Gleichung einer Tangente bestimmen /
• Zweite Möglichkeit
• Lösungsweg, falls ein anderer als der Berührpunkt gegeben ist
• Was ist eine Wendetangente?
• Steigungswinkel der Tangente
• Schnittwinkel des Graphen mit der x-Achse

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Was ist eine Tangente?

Hier zeige ich dir, was eine Tangente ist und erkläre dir, wie die Steigung der Tangente und die Ableitung zusammen hängen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, was eine Tangente ist. Rot dargestellt siehst du den Graph einer Funktion f und blau dargestellt eine Tangente. Eine Tangente ist immer eine Gerade, die den Graph in einem bestimmten Punkt berührt.

Hier ist es der Punkt 2,1. Um die Tangente zu bezeichnen, genügt die x-Koordinate. Das ist also die Tangente in x gleich 2. Die Steigung der Tangente ist die Ableitung an dieser Stelle, also f' von 2. Pro Einheit nach rechts steigt die Tangente um diesen Wert.

Natürlich kannst du auch an jeden anderen Punkt des Graphen eine Tangente anlegen.

Gleichung einer Tangente bestimmen /

Es gibt es 2 Möglichkeiten, die Gleichung einer Tangente zu bestimmen. Jeder Lehrer bevorzugt eine bestimmte. Deshalb stelle ich dir beide Methoden vor. Erste Möglichkeit Hier ist der Ansatz die allgemeine Geradengleichung y=mx+b

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, die Gleichung einer Tangente zu bestimmen. Dazu benutze ich diesen Ansatz. Falls dein Lehrer einen anderen Ansatz verwendet, schau dir mein anderes Video zu diesem Thema an.

Jetzt geht es mit diesem Ansatz weiter. Als Beispiel nehmen wir diese Funktion f und bestimmen die Tangente in x0 gleich 1. Das ist also die x-Koordinate des Punktes, an dem die Tangente den Graph von f berührt. Für den Berührpunkt fehlt uns noch die y-Koordinate.

Diese berechnest du, indem du für x die 1 einsetzt, also hier, hier und hier. 1 zum Quadrat ist 1 und 1 plus 1 ist 2. Der Berührpunkt hat also die x-Koordinate 1 und die y-Koordinate 2. Wie du weißt, ist eine Tangente eine Gerade. Und die Gleichung einer Gerade hat immer die Form y ist gleich mx plus b. In manchen Büchern wird statt b auch der Buchstabe c verwendet.

m ist die Steigung der Gerade und b ist die Schnittstelle mit der y-Achse. Als nächstes müssen wir deshalb m und b bestimmen. An das m kommen wir leicht mithilfe der Ableitung f' von x. Die Ableitung von x² sind 2x und die Ableitung von x ist 1. m ist nun f' an dieser Stelle.

Setze also hier und hier für x 1 ein. 2 mal 1 ist 2 und 2 plus 1 ist 3. Für das m können wir also schon mal die 3 einsetzen. Nun fehlt noch das b. Dazu nehmen wir uns diese Gleichung und setzen für m die 3 ein und für x und y den Berührpunkt.

Die x-Koordinate des Berührpunktes ist 1 und die y-Koordinate ist 2. Nun lösen wir einfach nach b auf. 3 mal 1 ist 3. Nun rechnest du minus 3, damit b allein auf einer Seite steht. 2 minus 3 ist minus 1. b ist also minus 1. Hier habe ich noch die Seiten getauscht.

Für b setzt du also minus 1 ein. Plus minus 1 ergibt minus 1. Um zu verdeutlichen, dass dies die Gleichung der Tangente ist, kannst du noch ein t für Tangente davor schreiben. Hier rot dargestellt siehst du den Graph der Funktion f. Die Stelle x0 gleich 1 ist hier.

Der zugehörige Punkt auf dem Graph liegt hier. Das ist der Berührpunkt, den wir berechnet haben. An diesem Punkt berührt die blaue Tangente den roten Graphen.

Hier siehst du noch mal ihre Gleichung. Die Steigung ist 3. Pro Einheit nach rechts steigt sie um 3 Einheiten. Die Schnittstelle mit der y-Achse ist minus 1.

Zweite Möglichkeit

Hier zeige ich dir einen alternativen Ansatz.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, die Gleichung einer Tangente zu bestimmen. Dazu benutze ich diesen Ansatz. Falls dein Lehrer einen anderen Ansatz verwendet, schau dir mein anderes Video zu diesem Thema an.

Jetzt geht es mit diesem Ansatz weiter. Als Beispiel nehmen wir diese Funktion f und bestimmen die Tangente in x0 gleich 1. Das ist also die x-Koordinate des Punktes, an dem die Tangente den Graph von f berührt. x0, also 1, kannst du gleich hier einsetzen.

Für diesen Ansatz benötigen wir außerdem f von x0 und f' von x0, die wir nun bestimmen werden. f von x0 berechnest du, indem du für x die 1 einsetzt, also hier, hier und hier. 1 zum Quadrat ist 1 und 1 plus 1 ist 2. Für f von x0 können wir also schon mal die 2 einsetzen.

Anschaulich ist das die y-Koordinate des Berührpunktes. Die Tangente berührt den Graph von f, also in den Punkt 1, 2. Nun berechnen wir f' von x0. Dazu müssen wir die Funktion f erst mal ableiten.

Die Ableitung von x² ist 2x und die Ableitung von x ist 1. Für x setzt du nun x0, also 1 ein, und zwar hier und hier. 2 mal 1 ist 2 und 2 plus 1 ist 3. Die 3 setzt du nun hier für f' von x0 ein. Und nun vereinfachst du den Ausdruck.

Löse dazu als erstes die Klammer auf. 3 mal x sind 3x und 3 mal minus 1 ist minus 3. Minus 3 plus 2 ist minus 1. Um zu verdeutlichen, dass dies die Gleichung der Tangente ist, kannst du noch ein t für Tangente davor schreiben. Hier rot dargestellt siehst du den Graph der Funktion f. Die Stelle x0 gleich 1 ist hier.

Der zugehörige Punkt auf dem Graph liegt hier. Das ist der Berührpunkt, den wir berechnet haben. An diesem Punkt berührt die blaue Tangente den roten Graphen.

Die Gleichung der Tangente ist eine Geradengleichung. Wie bei jeder Geradengleichung kannst du daran die Steigung und die Schnittstelle mit der y-Achse ablesen. Die Steigung der Tangente ist 3. Pro Einheit nach rechts steigt sie also um 3 Einheiten.

Und die Schnittstelle mit der y-Achse ist minus 1.

Lösungsweg, falls ein anderer als der Berührpunkt gegeben ist

Manchmal ist nicht der Punkt gegeben, in dem die Tangente den Graph berührt, sondern ein anderer Punkt, der auf der Tangente liegt. Wie du dennoch die Tangente bestimmen kannst, siehst du hier.

Lösungsbeschreibung

Manchmal sollst du eine Tangente bestimmen, ohne den Berührpunkt oder auch nur seine x-Koordinate zu kennen. Stattdessen ist ein anderer Punkt gegeben, der auf der Tangente liegt, wie in diesem Beispiel. Hier siehst du den Graph der Funktion f. Der gegebene Punkt q liegt aber nicht auf dem Graph und kann deshalb nicht der Berührpunkt sein.

Jetzt zeige ich dir, wie du dennoch die Gleichung der Tangente bestimmst. Dazu benötigst du diesen Ansatz. In manchen Büchern wird statt x0 auch der Buchstabe u verwendet.

x0 ist die x-Koordinate des Berührpunktes, den wir ja nicht kennen. Für diesen Ansatz benötigen wir f von x0 und f' von x0. f von x0 erhältst du, indem du für x einfach x0 einsetzt.

Das ist dann x0 hoch 3. Um f' von x0 zu bestimmen, müssen wir die Funktion f erstmal ableiten. Die Ableitung von x hoch 3 ist 3x². Für x setzt du nun wieder x0 ein.

Das ergibt 3x0². Da hier kein Platz mehr ist, machen wir auf der nächsten Seite weiter. Wir haben also den Punkt q und diese Gleichung.

Nun setzt du den Punkt q in diese Gleichung ein. Die x-Koordinate setzt du hier ein und die y-Koordinate setzt du hier ein. Und jetzt vereinfachst du.

0-x0 ist –x0. Und 3x0² mal –x0 sind –3x0 hoch 3. Hier kannst du dir eine 1 davor denken. Und –3 plus 1 ist –2.

x0 hoch 3 schreibst du dann einfach dahinter. Nun teilst du durch –2. Hier bleibt x0 hoch 3 übrig.

Damit es besser lesbar ist, tausche ich die Seiten. Und –2 geteilt durch –2 ist einfach 1. Um nach x aufzulösen, ziehst du nun die dritte Wurzel. Wurzel ziehen und potenzieren heben sich gegenseitig auf.

Und links bleibt x0 übrig. Rechts ziehst du die dritte Wurzel aus 1. Und das ist einfach 1. Jetzt kennen wir die x-Koordinate vom Berührpunkt. Diese ist nämlich 1. Da hier kein Platz mehr ist, geht es auf der nächsten Seite weiter.

Bisher haben wir folgendes. Die Funktion f, ein Punkt, der auf der Tangente liegt, aber nicht der Berührpunkt ist, diese Gleichung und die x-Koordinate vom Berührpunkt. Setzt du diese für x in die Funktion ein, erhältst du die y-Koordinate vom Berührpunkt.

1 hoch 3 ist 1. Der Berührpunkt ist somit 1,1. Das ist die x-Koordinate und das ist die y-Koordinate. Gerade haben wir q in diese Gleichung eingesetzt, um x0 herauszufinden.

Jetzt setzt du x0, also 1, in diese Gleichung ein, um die Tangente zu ermitteln. Du setzt also hier, hier und hier für x0 die Zahl 1 ein. 1 zum Quadrat ist 1 und 3 mal 1 ist 3. 1 hoch 3 ist 1. Nun löst du die Klammer auf.

3 mal x sind 3x und 3 mal minus 1 sind minus 3. Minus 3 plus 1 ist minus 2. Das ist die gesuchte Gleichung der Tangente. Für Tangente kannst du noch ein kleines T davor schreiben. Sehen wir uns nochmal die Grafik dazu an.

Rot dargestellt ist der Graph von f. Der Punkt q, der gegeben war, liegt hier. Wir haben selbst den Berührpunkt herausgefunden, der nämlich hier liegt. Die blaue Tangente verläuft durch diese beiden Punkte.

Ihre Gleichung ist eine Geradengleichung. Wie bei jeder Geradengleichung kannst du daran die Steigung und die Schnittstelle mit der y-Achse ablesen. Die Steigung der Tangente ist 3. Pro Einheit nach rechts steigt sie um 3 Einheiten.

Und die Schnittstelle mit der y-Achse ist minus 2.

Was ist eine Wendetangente?

Die Wendetangente ist die Tangente im Wendepunkt. Ein Beispiel zeige ich dir in diesem kurzen Video.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video erkläre ich dir, was eine Wendetangente ist. Das ist wirklich sehr einfach. Die Wendetangente ist die Tangente im Wendepunkt.

Hier siehst du ein Beispiel. Der Graph von F hat hier einen Wendepunkt. Die Wendetangente verläuft durch diesen Punkt.

Du kannst sie wie eine übliche Tangente bestimmen. Der Wendepunkt ersetzt dabei den Berührpunkt. Du musst also zuerst den Wendepunkt bestimmen.

Wie das geht, zeige ich dir in einem anderen Video. Mehr ändert sich nicht.

Steigungswinkel der Tangente

Hier erfährst du, wo du den Steigungswinkel der Tangente einzeichnen musst und wie du ihn berechnest.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du den Steigungswinkel einer Tangente bestimmst. Hier siehst du den Graph einer Funktion f und die Tangente in x gleich minus 2. Mit Steigungswinkel ist dieser Winkel zwischen x-Achse und Tangente gemeint. Um ihn zu berechnen, benötigst du die Steigung der Tangente.

Diese kannst du zum Beispiel mit einem Steigungsdreieck ermitteln. Pro Einheit nach rechts steigt die Tangente um 4 Einheiten. Also ist die Steigung 4. Hast du die Gleichung gegeben, kannst du die Steigung auch hier ablesen.

Die Steigung ist die Zahl vor dem x. Den Steigungswinkel α berechnest du nun mit folgender Formel. Tangensα ist die Steigung der Tangente, also 4. Um nach α aufzulösen, benutzt du die Umkehrfunktion Tangens hoch minus 1. Links bleibt dadurch α übrig. Und rechts schreibst du Tangens hoch minus 1 von 4. Das gibst du nun in den Taschenrechner ein.

Das Ergebnis sind rund 75,96°. So groß ist dieser Winkel. Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf Gradmaß eingestellt ist.

Irgendwo im Display steht dafür ein kleines d oder deg für den englischen Begriff degree. Steht bei dir ein r oder rad, musst du deinen Taschenrechner umstellen, denn das bedeutet Bogenmaß. Komplizierter wird es, wenn die Tangente fällt, so wie hier.

Pro Einheit nach rechts fällt sie um 2 Einheiten. Die Steigung ist somit minus 2. Mit unserer Formel können wir den Steigungswinkel α nicht direkt berechnen, sondern kriegen erstmal den Winkel β. Tangensβ ist also minus 2. β ist dann Tangens hoch minus 1 von minus 2. Gibst du das in den Taschenrechner ein, erhältst du den Winkel minus 63,43°. Das Minus bedeutet, dass wir im Uhrzeigersinn gehen.

Der mathematisch positive Drehsinn wäre nämlich andersrum, also gegen den Uhrzeigersinn. Ignorieren wir mal das Vorzeichen, dann müssen die beiden Winkel α und β zusammen 180° ergeben, denn das ist ein Halbkreis. Um α zu bestimmen, brauchst du also nur 180° minus 63,43° zu rechnen.

Das ergibt 116,57°. So groß ist dieser Winkel. Vielen Dank für's Zuschauen!

Schnittwinkel des Graphen mit der x-Achse

So berechnest du den Winkel, unter dem ein Graph die x-Achse schneidet.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du herausfindest, unter welchem Winkel ein Graph die x-Achse schneidet. Als Beispiel nehmen wir diese Funktion. Hier siehst du ihren Graph.

Er schneidet die x-Achse an der Nullstelle –1. Doch jetzt wird es schwierig, den Schnittwinkel einzuzeichnen. Das liegt daran, dass der Graph gekrümmt ist.

Wir brauchen also eine Gerade. Und dafür nehmen wir die Tangente. Der Steigungswinkel der Tangente ist der Schnittwinkel des Graphen mit der x-Achse.

Wie man den Steigungswinkel einer Tangente berechnet, habe ich dir in einem anderen Video gezeigt. Der Tangens vom Steigungswinkel Alpha entspricht der Steigung der Tangente. Diese lässt sich schnell berechnen.

Das ist nämlich der Wert der ersten Ableitung an der Stelle, an der die Tangente den Graph berührt. In diesem Fall also –1. Wir brauchen also f' von –1.

Dazu müssen wir die Funktion f aber erstmal ableiten. Die Ableitung von x hoch 3 ist 3x². Die 1 fällt beim Ableiten weg.

Nun setzt du für x –1 ein, also hier und hier. –1² ist 1 und 3 mal 1 ist 3. Das können wir nun hier einsetzen und den mittleren Teil weglassen. Tangens Alpha ist also 3. Um nach Alpha aufzulösen, benutzt du die Umkehrfunktion Tangens hoch –1.

Links bleibt dadurch Alpha übrig und rechts schreibst du Tangens hoch –1 von 3. Das gibst du nun in den Taschenrechner ein. Das Ergebnis sind rund 71,57°. Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf Gradmaß eingestellt ist.

Somit schneidet der Graph von f die x-Achse unter einem Winkel von 71,57°.