Die Bedeutung der ersten Ableitung

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• Deutung der ersten Ableitung als Steigung der Tangente
• Steigung des Graphen einer Funktion
• Grafisches Differenzieren
• Deutung der ersten Ableitung als momentane Änderungsrate

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Deutung der ersten Ableitung als Steigung der Tangente

Geometrisch lässt sich die Ableitung f′(xo) als Steigung der Tangente in xo deuten. Hier erkläre ich dir, warum.

Lösungsbeschreibung

Die erste Ableitung kann als Steigung der Tangente gedeutet werden. Warum das so ist, zeige ich dir jetzt. Angenommen, du möchtest die Steigung dieser Gerade berechnen, dann kannst du dafür diese Formel benutzen.

Diese Formel sollte dir bekannt vorkommen. Für die Formel suchst du dir zwei Punkte, die auf der Gerade liegen, und setzt ihre Koordinaten ein. Die y-Koordinate vom zweiten Punkt kommt hier hin und die y-Koordinate vom ersten Punkt kommt hier hin.

Die x-Koordinate vom zweiten Punkt setzt du hier ein und die x-Koordinate vom ersten Punkt setzt du hier ein. Diese Differenz ist der Abstand der y-Koordinaten. Den du auch hier einzeichnen kannst.

Und diese Differenz ist der Abstand der x-Koordinaten, den du auch hier einzeichnen kannst. Wenn du nun zusammenfasst, erhältst du die Steigung m der Gerade. Jetzt stell dir vor, diese beiden Punkte sind die Schnittpunkte der Gerade mit dem Graphen einer Funktion f. D.h. sie liegen auf dem Graphen von f. Und nun benennen wir die Koordinaten um.

x1 nennen wir einfach x0. Und x2 nennen wir x0 plus h. h ist also der Abstand dieser beiden x-Werte. Entsprechend können wir die y-Werte umbenennen.

Statt y1 können wir nun f von x0 schreiben. Und statt y2 können wir f von x0 plus h schreiben. Entsprechend wird y2 minus y1 zu diesem Ausdruck.

Das machen wir nun auch in der Formel. y2 wird zu f von x0 plus h. y1 wird zu f von x0. x2 wird zu x0 plus h. Und x1 wird zu x0.

x0 minus x0 fällt weg. Im Nenner bleibt somit h übrig. Dieser Ausdruck sollte dir bekannt vorkommen.

Das ist die übliche Schreibweise für den Differenzenquotient. Und wenn du noch Limes für h gegen 0 davor schreibst, erhältst du den Differenzialquotient. h ist ja der Abstand dieser beiden x-Werte.

Wenn h gegen 0 geht, rückt dieser x-Wert also immer näher an den ersten x-Wert heran. Und dieser Punkt wandert auf dem dunkelblauen Graphen immer näher an diesen Punkt heran. Zum Beispiel so.

Wenn h gegen 0 geht, sind die beiden Punkte nahezu identisch. Die Gerade schneidet den Graphen jetzt nicht mehr in zwei Punkten, sondern berührt ihn nur noch in diesem einen Punkt. Deshalb nennt man die Gerade nun Tangente.

Das hier ist aber immer noch die Formel für die Steigung einer Gerade. Somit muss das hier die Steigung der Tangente sein. Wie ich dir in einem anderen Video gezeigt habe, ist der Differenzialquotient, aber auch die Ableitung f' von x0.

Somit ist die Ableitung der Tangente. Die folgende Zusammenfassung solltest du dir gut merken. Die Gerade durch den Punkt P mit den Koordinaten x0 und f von x0 mit der Steigung f' von x0 nennt man die Tangente des Graphen von f in x0.

Außerdem ist die Steigung des Graphen die Steigung der Tangente. Somit hat der Graph von f an der Stelle x0 ebenfalls die Steigung f' von x0. Der Wert der ersten Ableitung ist also die Steigung der Tangente und die Steigung des Graphen.

Steigung des Graphen einer Funktion

Hier erkläre ich dir noch mal ausführlich, was die Ableitung einer Funktion mit der Steigung ihres Graphen zu tun hat.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video möchte ich nochmal auf den Zusammenhang der Steigung eines Graphen mit der Ableitung eingehen. Bei einer Gerade kannst du die Steigung leicht mit einem Steigungsdreieck bestimmen. Pro Einheit nach rechts steigt die Gerade um drei Einheiten.

Ihre Steigung ist somit 3. Statt Steigung kannst du auch Anstieg sagen. Doch nun versuche mal, ein Steigungsdreieck an den Graph dieser Funktion anzulegen. Das funktioniert nicht, weil der Graph gekrümmt ist.

Wenn du zum Beispiel die Steigung des Graphen in diesem Punkt wissen willst, brauchst du deshalb eine Hilfsgerade. Und das ist genau die Tangente in diesem Punkt, bzw. an der Stelle 2. Die Steigung des Graphen von f in x gleich 2 ist somit die Steigung der Tangente t in x gleich 2. Das ist ein wichtiger Zusammenhang.

Und jetzt kommt der zweite. Zeichnen wir noch den Graph der Ableitung von f mit ein. Dieser hat an der Stelle 2 den Funktionswert 3, also genau die Steigung der Tangente bzw.

des Graphen. Somit ist das beides das gleiche wie f' von 2. Mit der Ableitung kannst du also die Steigung der Tangente bzw. des Graphen bestimmen.

Hast du zum Beispiel nur das Schaubild der Ableitung f' gegeben, kannst du damit Rückschlüsse auf die Funktion f ziehen. An der Stelle 2 muss diese die Steigung 3 haben. An der Stelle 0 muss sie die Steigung 0 haben.

Das bedeutet, dort könnte ein Extrempunkt oder ein Sattelpunkt sein. In diesem Fall ist es ein Sattelpunkt. Ein Sattelpunkt sieht aus wie ein Pferdesattel.

Die Steigung ist 0. Weder fällt der Graph an dieser Stelle, noch steigt er. Die Tangente verläuft entsprechend waagerecht. Untertitel der Amara.org-Community

Grafisches Differenzieren

Hast du nur den Graph einer Funktion gegeben, aber nicht ihre Funktionsgleichung, kannst du die Ableitung zumindest skizzieren. Das nennt man grafisches oder zeichnerisches Differenzieren. In diesem Video zeige ich dir, wie das geht.

Lösungsbeschreibung

Hast du nur den Graph einer Funktion gegeben, aber nicht die Funktionsgleichung, kannst du die Ableitung trotzdem skizzieren. Das nennt man grafisches oder zeichnerisches Differenzieren. In diesem Video zeige ich dir, wie das geht.

Als Beispiel nehmen wir diesen Graph. Zu diesem skizzieren wir jetzt die Ableitung. Dazu musst du wissen, dass die Ableitung an einer bestimmten Stelle x0 der Steigung der Tangente in x0 entspricht.

Du musst also selbst Tangenten skizzieren und dir ihre Steigung notieren. Machen wir das mal gemeinsam. Suche dir einen Punkt auf dem Graphen aus, zum Beispiel diesen.

Zeichne nun durch diesen Punkt die Tangente. Da du ja nicht genau weißt, wie steil die Tangente sein muss, wird die Zeichnung nicht exakt. Aber das muss sie auch nicht.

Mach es so gut du kannst. Trage nun die x-Koordinate vom Berührpunkt in eine Wertetabelle ein. Die x-Koordinate ist –1.

Und nun bestimmst du die Steigung der Tangente mit einem Steigungsdreieck. Pro Einheit nach rechts steigt die Tangente um 4 Einheiten. Die Steigung ist somit 4. Nach dem, was hier steht, ist das f' von –1.

Trage also hier eine 4 ein. Nun wiederholst du das Ganze für weitere Punkte. Legen wir als nächstes die Tangente durch diesen Punkt.

Die x-Koordinate dieses Berührpunktes ist 0. Die Steigung der Tangente ist 2. Also ist f' von 0 gleich 2. Als nächstes legen wir die Tangente durch diesen Punkt. Die x-Koordinate ist 1. Die Tangente verläuft waagerecht, weder steigt sie noch fällt sie. Die Steigung ist somit 0. Das trägst du hier ein.

Als nächstes legen wir die Tangente durch diesen Punkt. Die x-Koordinate ist 2. Zeichne nun wieder ein Steigungsdreieck ein. Pro Einheit nach rechts fällt die Tangente diesmal um 2 Einheiten.

Die Steigung ist somit –2. Als letztes nehmen wir diesen Punkt. Die x-Koordinate ist 3. Die Steigung der Tangente ist –4, da die Tangente fällt.

Das hier ist ein Punkt, der auf dem Graph der Ableitungsfunktion liegt. Seine x-Koordinate ist –1 und seine y-Koordinate ist 4. Der Punkt liegt also hier. Genauso markierst du die anderen Punkte im Koordinatensystem.

Dieser Punkt liegt hier. Dieser Punkt liegt hier. Dieser Punkt liegt hier.

Und dieser Punkt liegt hier. Verbindest du die Punkte, erhältst du den Graph der Ableitungsfunktion f'. Bis zum nächsten Mal!

Deutung der ersten Ableitung als momentane Änderungsrate

Ein wichtiger Begriff in Textaufgaben und Anwendungen ist die momentane Änderungsrate einer Größe. Dahinter verbirgt sich die Ableitung. Warum das so ist, zeige ich dir am Beispiel "Bungee Jumping". Oft wird noch die mittlere Änderungsrate einer Größe gesucht. In diesem Video erkläre ich dir auch den Unterschied zwischen mittlerer und momentaner Änderungsrate.

Lösungsbeschreibung

Die erste Ableitung kann auch als momentane Änderungsrate gedeutet werden. Was das heißt, zeige ich dir jetzt. Stell dir vor, du hast dich zum Bungee-Jumping angemeldet.

80 Meter in die Tiefe. Wenn wir den Luftwiderstand vernachlässigen, gilt dafür dieses physikalische Gesetz. Um das Beispiel einfach zu halten, habe ich auf 5 gerundet.

S ist der Weg in Metern, also wie tief du fällst. Der Weg ist natürlich abhängig von der Zeit T, die in Sekunden angegeben wird. Je mehr Sekunden vergehen, desto tiefer fällst du.

Hier ist S also die übliche Bezeichnung für den Weg. Und hier bedeutet S Sekunde. Lass dich davon nicht irritieren, das kann bei Textaufgaben vorkommen.

Diese Funktion lässt sich im Diagramm veranschaulichen. Nach der ersten Sekunde bist du 5 Meter tief gefallen. Denn 1 zum Quadrat ist 1 und 5 mal 1 ist 5. Nach 2 Sekunden bist du schon 20 Meter gefallen.

Denn 2 zum Quadrat ist 4 und 5 mal 4 ist 20. Das sind 15 Meter mehr als nach der ersten Sekunde. Nach 3 Sekunden bist du 45 Meter gefallen.

Denn 3 zum Quadrat ist 9 und 5 mal 9 ist 45. Das sind 25 Meter mehr als nach 2 Sekunden. Nach 4 Sekunden endet der Sprung, denn du hast die 80 Meter erreicht.

4 zum Quadrat ist 16 und 5 mal 16 ist 80. Allein in der letzten Sekunde bist du 35 Meter gefallen. Das heißt, deine Fallgeschwindigkeit nimmt mit jeder Sekunde zu.

Wie gesagt, in Wirklichkeit dauert der Sprung länger, da dich der Luftwiderstand abbremst. Aber um die Rechnung einfach zu halten, tun wir so, als gäbe es keinen Luftwiderstand. Jetzt kannst du ausrechnen, wie schnell du durchschnittlich fällst oder welche Geschwindigkeit du zu einem ganz bestimmten Zeitpunkt hast.

Als Beispiel berechnen wir mal deine Durchschnittsgeschwindigkeit in den letzten 3 Sekunden. Dazu benötigen wir diese beiden Punkte. In den letzten 3 Sekunden fällst du 75 Meter.

Das schreibst du als Bruch. Oben kommen die 75 Meter hin und unten die 3 Sekunden. 75 Meter sind ja 80 Meter minus 5 Meter.

Und 3 Sekunden sind 4 Sekunden minus 1 Sekunde, wenn du es ausführlich aufschreiben willst. 75 geteilt durch 3 ist 25. Deine Durchschnittsgeschwindigkeit sind also 25 Meter pro Sekunde.

Zeichnest du eine Gerade durch diese 2 Punkte, ist das genau ihre Steigung. Da die Gerade den Graph in 2 Punkten schneidet, nennt man sie eine Sekante. Wegen dem Minuszeichen ist das und das eine Differenz.

Außerdem ist das Ganze ein Quotient wegen dem Bruchstrich. Somit nennt man diesen Ausdruck auch Differenzenquotient. Wie du gesehen hast, kann man damit eine durchschnittliche Änderungsrate berechnen.

Hier ändert sich der zurückgelegte Weg durchschnittlich um 25 Meter pro Sekunde. In Textaufgaben und Anwendungen wird das oft als mittlere Änderungsrate bezeichnet. Wie du gesehen hast, fällst du mit der Zeit immer schneller.

Jetzt könnte man ja auch fragen, welche Geschwindigkeit erreichst du am Ende des Sprungs. Grafisch kannst du dir das so vorstellen. Die Steigung der grünen Gerade ist ja die mittlere Geschwindigkeit in den letzten 3 Sekunden, nämlich 25 Meter pro Sekunde.

Entsprechend ist die Steigung dieser Gerade die mittlere Geschwindigkeit in den letzten beiden Sekunden, nämlich 30 Meter pro Sekunde. Genauso ist die Steigung dieser Gerade die mittlere Geschwindigkeit in der letzten Sekunde, nämlich 35 Meter pro Sekunde. Und wenn wir jetzt noch einen Schritt weiter gehen, erhalten wir die Tangente in diesem Punkt.

Entsprechend ist ihre Steigung die Geschwindigkeit, die du genau in diesem Moment hast, nämlich 40 Meter pro Sekunde. Die Steigung der Tangente können wir mit der Ableitung berechnen. Die Ableitung von t² sind 2t und 5 mal 2t sind 10t.

Nun setzt du für t4 ein. Denn der Sprung endet ja nach 4 Sekunden. 10 mal 4 ist 40.

Somit ist deine Geschwindigkeit zum Schluss 40 Meter pro Sekunde. Also genau in diesem Moment. Deshalb nennt man das eine momentane Änderungsrate.

Und diese berechnest du mit der Ableitung. Die Ableitung ist außerdem der Differenzialquotient. Auch dieses Wort könnte in einer Textaufgabe auftauchen.

Statt momentaner Änderungsrate sagt man auch lokale Änderungsrate.