Differenzenquotient und Differenzialquotient

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• Was ist der Differenzen- und der Differenzialquotient?
• Ableiten mit dem Differenzialquotient / Ableitungsfunktion bestimmen
• Ableitung an einer bestimmten Stelle berechnen

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Was ist der Differenzen- und der Differenzialquotient?

Hier zeige ich dir den Differenzen- und den Differenzialquotient und erkläre dir ausführlich am Schaubild, was damit gemeint ist.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video geht es um den Differenzenquotient und den Differentialquotient. Dieser Ausdruck wird als Differenzenquotient bezeichnet. Um ihn zu veranschaulichen, nehmen wir einen festen x-Wert, den wir x0 nennen.

Hier ist x0. Den zugehörigen Funktionswert f von x0 liest du hier ab. In der Formel steht er hier.

Nun nehmen wir einen zweiten x-Wert, der zu x0 den Abstand h hat. Den zugehörigen Funktionswert f von x0 plus h liest du hier ab. In der Formel steht er hier.

f von x0 plus h minus f von x0 ist genau der Abstand der beiden Funktionswerte. Diesen kannst du auch hier einzeichnen. Genauso kannst du auch diesen x-Wert minus diesen x-Wert rechnen.

x0 plus h minus x0 ist h. Das ist genau der Abstand der beiden x-Werte. Den du auch hier einzeichnen kannst. Somit steht hier die Differenz der x-Werte, nämlich h, und hier die Differenz der Funktionswerte.

Wegen dem Bruchstrich ist das ein Quotient. Deshalb heißt dieser Ausdruck Differenzenquotient. In Textaufgaben bzw. Anwendungsaufgaben berechnest du damit die mittlere Änderungsrate einer Größe. Schreibst du nun Limes für h gegen 0 davor, erhältst du den sogenannten Differenzialquotienten. Limes wird mit Lim abgekürzt und bedeutet Grenzwert.

Schauen wir uns wieder am Beispiel x0 an, was das bedeutet. h ist ja der Abstand dieser beiden x-Werte. Wenn h gegen 0 geht, rückt dieser x-Wert also immer näher an den ersten x-Wert heran.

Zum Beispiel so. Dadurch verändern sich auch die anderen Werte. Nur x0 und f von x0 bleiben fest.

Wir könnten jedes Mal alle Werte hier einsetzen und den Quotienten berechnen. Falls sich das Ergebnis immer weniger ändert, je näher h gegen 0 geht, dann hat dieser Quotient einen festen Grenzwert. Und jetzt kommt das Spannende.

Dieser Grenzwert ist die Ableitung f' von x0. Entsprechend ist dieser Grenzwert die Ableitung f' von x. Wenn du das nächste Mal eine Funktion ableitest, kannst du statt den Ableitungsregeln also auch diesen Differenzialquotienten benutzen. Wie das geht, zeige ich dir in einem extra Video.

Existiert der Grenzwert für alle x aus dem Definitionsbereich, dann heißt die Funktion f differenzierbar. Existiert der Grenzwert zumindest an der Stelle x0, dann ist f differenzierbar in x0. In Textaufgaben bzw.

Anwendungsaufgaben berechnest du mit dem Differenzialquotient die momentane oder auch lokale Änderungsrate einer Größe.

Ableiten mit dem Differenzialquotient / Ableitungsfunktion bestimmen

In diesem Video lernst du, die Ableitungsfunktion mit dem Differenzialquotienten zu bestimmen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du die Ableitungsfunktion mit dem Differentialquotienten bestimmst. Als Beispiel nehmen wir die Funktion f von x gleich x². Mit den bekannten Regeln kannst du diese Funktion leicht ableiten.

Die Ableitung ist 2x. Es gibt aber noch eine andere Methode, um diese Ableitungsfunktion zu ermitteln, nämlich mit dem Differentialquotient. Das Ganze hier bezeichnet man als Differentialquotient.

Die Ableitung f' von x ist genau dieser Differentialquotient. Am Ende kommt hier also ebenfalls die Ableitung 2x raus. Und wie man dahin kommt, zeige ich dir jetzt.

f von x ist ja x². Das können wir schon mal hinschreiben. Hier sollen wir nicht f von x einsetzen, sondern f von x plus h. Statt x wie hier schreibst du also einfach x plus h. Das musst du in Klammern setzen.

Ohne Klammer würde nämlich nur das h quadriert werden. x plus h zum Quadrat lässt sich mit der ersten binomischen Formel auflösen, die du hier siehst. a plus b zum Quadrat ist a² plus 2ab plus b².

Alternativ kannst du die Klammer zweimal nebeneinander schreiben und ausmultiplizieren. Jetzt benutzen wir aber die erste binomische Formel. a ist bei uns x und b ist bei uns h. a² ist bei uns dann x² und b² ist bei uns h².

2ab sind bei uns 2xh bzw. 2hx, denn Faktoren darf man vertauschen. x² minus x² fällt weg.

Somit bleibt hier nur 2hx plus h² übrig. Nun kannst du h ausklammern. In der Klammer muss dann 2x plus h stehen, denn h mal 2x sind 2hx und h mal h ist h².

Nun kannst du h in Zähler und Nenner kürzen. Übrig bleibt 2x plus h. Und jetzt bilden wir davon den Limes für h gegen 0. Frage dich einfach, was rauskommt, wenn du für h 0 einsetzen würdest? Dann käme 2x raus, also das Gleiche wie mit der Ableitungsregel. Nur, dass es viel länger gedauert hat und mega aufwendig war.

Für die Theorie wird der Differentialquotient trotzdem im Unterricht eingeführt. In der Praxis benutzt man ihn aber nicht zum Ableiten.

Ableitung an einer bestimmten Stelle berechnen

Auf die gleiche Weise kannst du mit dem Differenzialquotient auch die Ableitung an einer bestimmten Stelle berechnen. Hier siehst du ein Beispiel dafür.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du die Ableitung für ein bestimmtes x mit dem Differentialquotienten berechnest. Als Beispiel nehmen wir die Funktion f von x gleich x². Damit wir das Ergebnis später vergleichen können, bestimmen wir die Ableitung zunächst mit den bekannten Ableitungsregeln.

Die Ableitung von x² ist 2x. Setzen wir als Beispiel für x3 ein. 2 mal 3 macht 6. Somit ist die Ableitung an der Stelle 3 gleich 6. Das kann man auch mit dem Differentialquotient ausrechnen.

Das Ganze hier bezeichnet man als Differentialquotient. Um zu verdeutlichen, dass ein konkreter x-Wert gemeint ist, schreibt man hier x0 statt einfach nur x. Die Ableitung f' von x0 ist genau dieser Differentialquotient. Am Ende kommt hier also ebenfalls 6 raus.

Und wie man da hinkommt, zeige ich dir jetzt. Uns interessiert ja die Stelle 3. Deshalb schreiben wir für x0 3. f von x0 bedeutet, dass du x0, also 3, in die Funktionsgleichung einsetzt. Das macht dann 3².

Hier sollen wir nun x0 plus h in die Funktionsgleichung einsetzen. Statt 3, wie hier, schreibst du also einfach 3 plus h. Das musst du in Klammern setzen. Ohne Klammer würde nämlich nur das h quadriert werden.

3 plus h² lässt sich mit der ersten binomischen Formel auflösen, die du hier siehst. a plus b² ist a² plus 2ab plus b². Alternativ kannst du die Klammer auch zweimal nebeneinander schreiben und ausmultiplizieren.

Jetzt benutzen wir aber die erste binomische Formel. a ist bei uns 3 und b ist bei uns h. a² ist bei uns dann 3² und b² ist bei uns h². 2ab sind bei uns 2 mal 3 mal h, also 6h.

3² minus 3² fällt weg. Somit bleibt hier nur 6h plus h² übrig. Nun kannst du h ausklammern.

In der Klammer muss dann 6 plus h stehen. Denn h mal 6 sind 6h und h mal h ist h². Nun kannst du h in Zähler und Nenner kürzen.

Übrig bleibt 6 plus h. Und jetzt bilden wir davon den Limes für h gegen 0. Frage dich einfach, was rauskommt, wenn du für h 0 einsetzen würdest. Dann käme 6 raus. Also das gleiche wie mit der Ableitungsregel.

Nur, dass es viel aufwendiger war. Im Vergleich dazu sind die Ableitungsregeln doch echt praktisch.