Ableitungsregeln

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• Potenzregel
• Brüche ableiten mit der Potenzregel
• Wurzeln ableiten mit der Potenzregel
• Weitere Grundfunktionen ableiten
• Summenregel
• Faktorregel
• Kettenregel
• Produktregel
• Quotientenregel
• Ableiten ohne Quotientenregel
• Komplizierte Funktionen ableiten
• Stolperfallen
• Ableiten mit GTR oder CAS

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Potenzregel

Die Potenzregel brauchst du am häufigsten. Übe sie, bis sie dir in Fleisch und Blut übergegangen ist!

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du die Potenzregel. Als Beispiel leiten wir damit die Potenz x³ ab. Ziehe als erstes die Hochzahl 3 nach vorne.

Dann kommt x und nun bestimmst du die neue Hochzahl. Dazu ziehst du von der alten Hochzahl 1 ab. 3–1 ist 2. Die Ableitung f' von x ist somit 3x².

Nach dieser Regel könntest du auch die Ableitungen von x und x² bilden. Ich empfehle dir aber, diese einfach auswendig zu lernen. Die Ableitung von x ist 1 und die Ableitung von x² ist 2x.

Vielen Dank fürs Zuschauen!

Brüche ableiten mit der Potenzregel

Die Potenzregel ist vielseitiger einsetzbar, als es auf den ersten Blick scheint. Hier siehst du, wie du damit Brüche mit x im Nenner ableitest.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Funktion ableitest, bei der x im Nenner eines Bruches steht. Das geht mit der Potenzregel. Würde auch im Zähler x stehen, bräuchtest du stattdessen die Quotientenregel.

Bevor du die Potenzregel benutzen kannst, musst du den Bruch aber erstmal in eine Potenz umformen. 1 durch x² ist das gleiche wie x hoch minus 2. Präge dir das gut ein. Nun kannst du ableiten.

Ziehe wie immer die Hochzahl nach vorne, samt Minuszeichen. Dann kommt x und nun bestimmst du die neue Hochzahl. Dazu ziehst du von der alten Hochzahl 1 ab.

Minus 2 minus 1 ist minus 3. Stelle dir einfach ein Thermometer vor. Wenn es draußen minus 2 Grad sind und es wird noch ein Grad weniger, dann sind es minus 3 Grad, denn es wird ja noch kälter. f' von x ist somit minus 2x hoch minus 3. Wenn du faul bist, kannst du die Ableitung so stehen lassen.

Wenn du es schön machen willst, formst du sie noch in einen Bruch um. So wie vorher, nur diesmal umgekehrt. x hoch minus 3 ist das gleiche wie 1 durch x hoch 3. Eine ganze Zahl wird immer mit dem Zähler eines Bruchs multipliziert.

2 mal 1 ist 2. Das Minuszeichen bleibt vor dem gesamten Bruch stehen.

Wurzeln ableiten mit der Potenzregel

Auch Wurzeln lassen sich mit der Potenzregel ableiten, nachdem du die sie in eine Potenz umgeformt hast. Wie das geht, lernst du hier.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du Wurzel X ableitest. Das geht mit der Potenzregel. Bevor du die Potenzregel benutzen kannst, musst du die Wurzel aber erstmal in eine Potenz umformen.

X ist das gleiche wie x hoch 1. Diese Wurzel wird auch Quadratwurzel genannt, weil es die zweite Wurzel ist. Die 2 wird nur immer weggelassen. Das kannst du als Potenz schreiben.

Die Hochzahl ist dabei ein Bruch. Die 1 kommt in den Zähler und die 2 in den Nenner. Wurzel X ist also x hoch 1 halb.

Präge dir das gut ein. Nun kannst du ableiten. Ziehe wie immer die Hochzahl nach vorne.

Dann kommt x und nun bestimmst du die neue Hochzahl. Dazu ziehst du von der alten Hochzahl 1 ab. 1 halb minus 1 ist minus 1 halb.

f' von x ist somit 1 halb x hoch minus 1 halb. Wenn du faul bist, kannst du die Ableitung so stehen lassen. Wenn du es schön machen willst, formst du sie noch um.

x hoch minus 1 halb ist das gleiche wie 1 durch x hoch 1 halb. Diese Umformung kannst du immer machen, wenn die Hochzahl negativ ist. Du schreibst also einfach einen Bruch.

Oben schreibst du eine 1 und unten die Potenz ohne das Minuszeichen. Nun kommt die Umformung von vorher, nur diesmal umgekehrt. x hoch 1 halb ist Wurzel X. Und jetzt multiplizierst du noch die Brüche.

1 mal 1 ist 1 und 2 mal Wurzel X sind 2 Wurzel X. Diese Ableitung kannst du ruhig auswendig lernen. Die Ableitung von Wurzel X ist also 1 durch 2 Wurzel X. Für andere Wurzeln kannst du die Ableitung dann immer wie in diesem Video bestimmen. Merke dir dazu diese Umformung für Wurzeln.

Diese Wurzel lässt sich so als Potenz schreiben. Genauso dieser Ausdruck.

Weitere Grundfunktionen ableiten

Neben Potenzen gibt es weitere Grundfunktionen, aus denen jede kompliziertere Funktion aufgebaut ist. Die Ableitungen der Grundfunktionen musst du auswendig lernen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir die Ableitungen einiger Grundfunktionen, die du auswendig lernen musst. Die Ableitung einer Zahl ist Null. Die Zahl darf auch negativ sein oder ein Bruch oder irrational, wie zum Beispiel Pi.

Die Ableitung von e hoch x ist wieder e hoch x. Die natürliche Logarithmusfunktion ln von x hat die Ableitung 1 durch x. Sinus x hat die Ableitung Cosinus x und Cosinus x hat die Ableitung Minus Sinus x.

Summenregel

Bei einer Summe leitest du jeden Summanden einzeln ab. Hier siehst du ein Beispiel dafür.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du die Summenregel. Leite jeden Summanden einzeln ab. In diesem Beispiel leitest du also x² und sinx einzeln ab.

Die Ableitung von x² ist 2x und die Ableitung von sinx ist cosx. Dazwischen überträgst du das Pluszeichen. Würde hier stattdessen ein Minus stehen, würdest du auch hier ein Minuszeichen schreiben.

Faktorregel

Konstante Faktoren bleiben beim Ableiten erhalten. In diesem Video zeige ich dir ein Beispiel.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du die Faktorregel. Konstante Faktoren bleiben beim Ableiten erhalten. Wenn du zum Beispiel 3sinx ableiten möchtest, bleibt die 3 erhalten.

Diese schreibst du einfach ab und dann leitest du sinx ab. Das ist cosx. Machen wir noch ein zweites Beispiel.

Wenn du 3x² ableiten möchtest, bleibt die 3 wieder erhalten. Diese schreibst du einfach ab und dann leitest du x² ab. Das sind 2x.

Nun kannst du noch die 3 und die 2 multiplizieren. 3 mal 2 ist 6. Konstante Summanden fallen dagegen beim Ableiten weg. Hier ist 3 ein konstanter Faktor und bleibt beim Ableiten erhalten.

Hier ist 3 ein konstanter Summand und fällt beim Ableiten weg, denn die Ableitung einer Zahl ist ja 0. Einen Summand erkennst du an einem Plus- oder Minuszeichen. Konstant bedeutet, dass es eine feste Zahl ist, wie 3, und keine Variable, wie zum Beispiel x. Untertitel der Amara.org-Community

Kettenregel

Steht in einer Grundfunktion anstelle von x irgend ein anderer Ausdruck mit x, dann brauchst du die Kettenregel.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du die Kettenregel. Diese brauchst du, wenn die Funktion eine Verkettung ist. Verkettungen entstehen, wenn du in einer Grundfunktion das x durch einen komplizierteren Ausdruck mit x ersetzt.

Schauen wir uns ein paar Beispiele dazu an. Sinus x ist eine Grundfunktion. Schreibst du jetzt statt x 3x, ist das eine Verkettung.

Genauso ist Cosinus x eine Grundfunktion und Cosinus von 2x plus Pi eine Verkettung. e hoch x ist eine Grundfunktion. e hoch minus x Quadrat ist eine Verkettung.

ln von x ist eine Grundfunktion und ln von x Halbe ist eine Verkettung. Ebenso ist x Quadrat eine Grundfunktion. Schreibst du statt x 3x minus 4, ist das eine Verkettung.

Alle Funktionen auf der linken Seite kannst du schon ableiten, weil es Grundfunktionen sind. Alle Funktionen auf der rechten Seite sind Verkettungen, für die du eine neue Ableitungsregel brauchst, die sogenannte Kettenregel. Und die zeige ich dir jetzt.

Das erste Beispiel ist f von x gleich e hoch minus x Quadrat. Stell dir vor, wir hätten keine Verkettung und hier oben würde einfach x stehen. Nun leitest du diese Funktion ab.

Die Ableitung von e hoch x ist wieder e hoch x. Und nun leitest du noch das ab, was anstelle von x dasteht, also minus x Quadrat. Das Minus steht für den Faktor minus 1 und bleibt laut Faktorregel erhalten. Die Ableitung von x Quadrat ist 2x.

Nun multiplizierst du diese beiden Ableitungen. Dabei ersetzt du das x allerdings wieder durch das, was wirklich da stand, also minus x Quadrat. Da zwei Rechenzeichen nicht nebeneinander stehen dürfen, musst du minus 2x in Klammern setzen.

Das nennt man die äußere Ableitung und das die innere. Die Ableitung einer Verkettung ist also äußere Ableitung mal innere Ableitung. Das kannst du noch schöner schreiben, indem du die Faktoren vertauschst und den Malpunkt weglässt.

Nun braucht minus 2x auch nicht mehr in Klammern stehen. Machen wir noch ein zweites Beispiel zur Kettenregel. Stell dir vor, wir hätten keine Verkettung und statt 3x minus 4 würde hier einfach x stehen.

Nun leitest du diese Funktion ab. Die Ableitung von x Quadrat ist 2x. Und nun leitest du noch das ab, was an Stelle von x da steht, also 3x minus 4. Die Ableitung von x ist 1. Der Faktor 3 bleibt beim Ableiten erhalten und 3 mal 1 ist 3. Der konstante Summand minus 4 fällt beim Ableiten weg.

Nun multiplizierst du diese beiden Ableitungen. Dabei ersetzt du das x allerdings wieder durch das, was wirklich da stand, also 3x minus 4. Das ist die äußere Ableitung und das die innere. Nun kannst du noch zusammenfassen.

2 mal 3 ist 6. Und nun multiplizierst du die Klammer aus. 6 mal 3x sind 18x und 6 mal minus 4 ist minus 24. Diese Funktion kannst du auch ohne Kettenregel ableiten.

Dazu musst du sie aber erst umformen. Entweder durchaus multiplizieren oder mit der zweiten binomischen Formel. Das ist nämlich das gleiche wie das.

Und nun kannst du die Ableitung ohne Kettenregel bilden. Das Ergebnis ist natürlich das gleiche.

Produktregel

Ist die Funktion ein Produkt aus 2 Funktionen, dann musst du die Produktregel benutzen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du die Produktregel. Diese brauchst du, wenn die Funktion ein Produkt aus zwei Funktionen ist. Diese Funktion ist zum Beispiel ein Produkt aus den Funktionen x² und sinx.

Allgemein können wir dafür schreiben f ist u mal v. u ist x² und v ist sinx. Die Ableitung von f bildest du nach dieser Regel. u und v haben wir schon, uns fehlen nur noch die Ableitungen davon, also u' und v'.

Die Ableitung von x² ist 2x, das ist also u'. Und die Ableitung von sinx ist cosx, das ist dann v'. Nun setzen wir alles hier ein.

u' ist 2x, v ist sinx. Diese beiden Ausdrücke werden miteinander mal genommen. Dann kommt dieses Pluszeichen.

u ist x² und v' ist cosx. Auch diese beiden Ausdrücke werden miteinander mal genommen. Das ist die Ableitung f' von x.

Quotientenregel

Ist die Funktion ein Quotient aus 2 Funktionen, benutzt man die Quotientenregel.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du die Quotientenregel. Diese brauchst du, wenn die Funktion ein Quotient aus zwei Funktionen ist. Diese Funktion ist zum Beispiel ein Quotient aus den Funktionen Sinus X und X. Allgemein können wir dafür schreiben, f ist U geteilt durch V. U ist Sinus X und V ist X. Die Ableitung von f bildest du nach dieser Regel.

U und V haben wir schon. Uns fehlen noch die Ableitungen davon, also U' und V' sowie V². Die Ableitung von Sinus X ist Cosinus X. Das ist dann U'.

Die Ableitung von X ist 1. Das ist dann V'. V² ist X². Nun setzen wir alles hier ein.

U' ist Cosinus X. V ist X. Deshalb solltest du dieses X in Klammern setzen, damit es nicht zu Missverständnissen kommt. Diese beiden Ausdrücke werden miteinander malgenommen. Dann kommt dieses Minuszeichen.

U ist Sinus X. V' ist 1. Auch diese beiden Ausdrücke werden miteinander malgenommen. Und V² ist X². Hier kannst du noch die Reihenfolge tauschen, weil das so üblich ist.

Sinus X mal 1 ist einfach Sinus X. Das ist die Ableitung f' von X.

Ableiten ohne Quotientenregel

An manchen Schulen wird die Quotientenregel gar nicht gezeigt. Du brauchst sie auch nicht unbedingt, da du jeden Quotienten als Produkt schreiben und dann mit der Produktregel ableiten kannst. Wie du einen Quotienten umformst, lernst du hier.

Lösungsbeschreibung

An manchen Schulen wird die Quotientenregel gar nicht gezeigt. Man braucht sie auch nicht unbedingt, da man jeden Quotienten als Produkt schreiben und dann die Produktregel benutzen kann. Nehmen wir als Beispiel diese Funktion.

Statt Zähler geteilt durch Nenner kannst du auch Zähler mal Nenner hoch minus 1 schreiben. Und schon hast du ein Produkt, das du mit der Produktregel ableiten kannst. U ist in diesem Fall Sinus X und V ist X hoch minus 1.

Komplizierte Funktionen ableiten

Bei komplizierten Funktionen musst du die Produktregel / Quotientenregel und die Kettenregel gleichzeitig anwenden. So gehst du dabei vor, um nicht durcheinander zu kommen:

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du komplizierte Funktionen ableitest, für die du z.B. die Produkt- und die Kettenregel gleichzeitig brauchst. Diese Funktion ist z.B. ein Produkt aus den Funktionen x und e hoch –x. Allgemein können wir dafür schreiben f ist u mal v. u ist x und v ist e hoch –x.

Die Ableitung von f bildest du deshalb mit der Produktregel. Diese steht hier. u und v haben wir schon.

Uns fehlen nur noch die Ableitungen davon, also u' und v'. Die Ableitung von x ist 1. Das ist also u'. Für die Ableitung von v brauchen wir die Kettenregel.

Da hier oben nicht einfach x steht, sondern –x. Laut Kettenregel brauchen wir die äußere und die innere Ableitung. Die äußere Ableitung ist bei e-Funktion immer die Funktion selbst, also e hoch –x.

Nun kommt die innere Ableitung. Die Ableitung von x ist 1, somit ist die Ableitung von –x –1. Innere und äußere Ableitungen werden malgenommen.

Das ergibt –e hoch –x. Nun setzen wir das alles hier ein. u' ist 1, v ist e hoch –x.

Diese beiden Ausdrücke werden miteinander malgenommen. Dann kommt dieses Pluszeichen. u ist x und v' ist –e hoch –x.

Auch diese beiden Ausdrücke werden miteinander malgenommen. Plus mal Minus ergibt Minus. Nun kannst du noch e hoch –x ausklammern.

Hier bleibt die 1 übrig. Dann kommt das Minuszeichen und hier bleibt x übrig. Das ist die Ableitung f' von x. Du könntest auch hier den Faktor 1 weglassen und die Ableitung so stehen lassen.

Es sieht nur schöner aus, wenn du noch ausklammerst.

Stolperfallen

Lehrer wählen mit Vorliebe Aufgaben, die dich irritieren sollen. Deshalb zeige ich dir in diesem Video, wie du die häufigsten Stolperfallen entschärfst.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video geht es um Stolperfallen beim Ableiten und wie du sie vermeidest. Beispielsweise kann eine andere Variable als x dastehen. Hier steht t statt x. Die erste Ableitung heißt entsprechend f' von t. Die Ableitungsregeln sind die gleichen wie für x. Das Ganze ist eine Summe wegen diesem Plus.

Jeder Summand wird einzeln abgeleitet. Die Ableitung von t² ist 2t, so wie die Ableitung von x² 2x wäre. Nun kommt der zweite Summand.

Der Faktor 3 bleibt nach der Faktorregel erhalten. Die Ableitung von t ist 1, genauso wie die Ableitung von x1 wäre. Das fasst du noch zusammen.

Eine weitere Stolperfalle sind zusätzliche Variablen. Hier kommen x und t vor. Die variabliche vorn sagt dir, wonach du ableiten sollst.

Hier sollst du also wie üblich nach x ableiten. Das t behandelst du wie eine Konstante. Du kannst dir vorstellen, dass t eine Zahl wäre, zum Beispiel 2. Die Ableitung von 2² wäre 0. Entsprechend ist die Ableitung von t² 0. Hier ist t ein Faktor und Faktoren bleiben beim Ableiten erhalten.

Die Ableitung von x ist 1. Zusammengefasst ist das t. Es könnte aber auch sein, dass du nach t ableiten sollst. Jetzt musst du t wie x behandeln und x wie eine Konstante. Die Ableitung von t² ist somit 2t.

Die Ableitung von t ist 1. Jetzt ist das x ein Faktor, der beim Ableiten erhalten bleibt. Zusammengefasst sind das 2t plus x. Eine weitere Stolperfalle sind andere Bezeichnungen als f. In wirtschaftlichen Anwendungsaufgaben ist oft von Kosten die Rede. Die Kostenfunktion wird mit k bezeichnet.

Wenn du die Ableitung bildest, musst du hier natürlich k' schreiben und nicht f'. Der Rest ist wie üblich. 1000 ist eine Konstante, die beim Ableiten wegfällt.

3 ist ein konstanter Faktor, der beim Ableiten erhalten bleibt. Und die Ableitung von x ist 1. Zusammengefasst macht das 3. Das hier ist die Formel, um den Flächeninhalt eines Kreises zu berechnen. Das große A steht für Flächeninhalt und dieser ist abhängig vom Radius r. Die Ableitung heißt entsprechend A' von r. Pi ist ein konstanter Faktor, der beim Ableiten erhalten bleibt.

r musst du wie sonst x behandeln, da hier vorn r steht. Die Ableitung von r² ist somit 2r. Die 2 schreibt man üblicherweise vorn.

Die letzte Stolperfalle sind verwirrende Konstanten, wie z.B. Sinus von Pi halbe, e², den natürlichen Logarithmus von 4 oder Wurzel 3. Nehmen wir als Beispiel diese Funktion. e² und e³ sind einfach nur Zahlen und keine Funktionen, da dort gar kein x steht. Stell dir z.B. vor, statt e³ würde da eine 3 stehen und statt e² eine 2. Beim Ableiten würde dann die 2 als Faktor erhalten bleiben und die 3 als konstanter Summand wegfallen.

Und genauso machst du das jetzt. e² bleibt als Faktor erhalten und die Ableitung von x ist 1. Die Ableitung von e³ ist 0 und fällt somit weg. Somit ist f' von x e².

Ableiten mit GTR oder CAS

In diesem Video zeige ich dir, wie du deinen GTR oder CAS zum Ableiten nutzen kannst. Tutorials für alle gängigen Modelle findest du hier.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video erfährst du, wie du dein GTR oder CAS zum Ableiten benutzen kannst. Als Beispiel nehmen wir diese Funktion. Ein CAS kann die Ableitungsfunktion bestimmen.

Dazu musst du über das Menü D nach DX aufrufen und in der Klammer die Funktion eingeben. Dahinter musst du noch X schreiben. Je nach Modell sieht das etwas anders aus.

Ein GTR kann dir die Ableitung nur für konkrete X-Werte berechnen, wie zum Beispiel 3. Deshalb steht hier vorn auch F' von 3. Das kann ein CAS natürlich auch. Das Ergebnis ist dann eine Zahl, in diesem Fall 6. Da wir die Ableitung der Funktion schon kennen, können wir das Ergebnis leicht überprüfen. Wenn du hier für X3 einsetzt, kommt tatsächlich 6 raus.

Der GTR kennt diese Ableitungsfunktion aber gar nicht, sondern benutzt stattdessen ein numerisches Näherungsverfahren. Deshalb kann er dir die Ableitungsfunktion auch nicht anzeigen. Falls du die Funktion vorher schon eingegeben und gespeichert hast, kannst du hier und hier auch einfach F von X schreiben.

Der Rechner weiß, welche Funktion gemeint ist. Beide Rechner können übrigens den Graph der Ableitungsfunktion zeichnen.