Achsen- und Punktsymmetrie

Springe zu den Inhalten

• Was ist mit Achsensymmetrie zur y-Achse gemeint?
• Was ist mit Punktsymmetrie zum Ursprung gemeint?
• Symmetrie nachweisen / Achsensymmetrie zur y-Achse nachweisen
• Punktsymmetrie zum Ursprung nachweisen
• Symmetrie bei ganzrationalen Funktionen schnell erkennen
• Weitere Symmetrien

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Was ist mit Achsensymmetrie zur y-Achse gemeint?

In diesem Video siehst du 3 typische Graphen, die achsensymmetrisch zur y-Achse sind.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir Funktionen, die achsensymmetrisch zur Y-Achse sind. Das erste Beispiel ist die Normalparabel f von x gleich x². Hier siehst du ihren Graph.

Spiegelst du den rechten Teil des Graphen an der Y-Achse, erhältst du den linken Teil und umgekehrt. Das ist mit Achsensymmetrie zur Y-Achse gemeint. Das gleiche gilt für den Graph dieser gebrochen rationalen Funktion.

Und auch für den Graph der Kosinusfunktion. Funktionen wie diese nennt man auch Geradefunktionen.

Was ist mit Punktsymmetrie zum Ursprung gemeint?

In diesem Video siehst du 3 typische Graphen, die punktsymmetrisch zum Ursprung sind.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir Funktionen, die punktsymmetrisch zum Ursprung sind. Das erste Beispiel ist f von x gleich x hoch 3. Hier siehst du den Graph. Mit Ursprung ist der Punkt 0,0 gemeint.

Würdest du den Graph an diesem Punkt festhalten und wie einen Propeller drehen, würde er nach einer halben Drehung wieder genauso aussehen wie jetzt. Das ist mit Punktsymmetrie zum Ursprung gemeint. Das gleiche gilt für den Graph dieser gebrochen rationalen Funktion.

Und auch für den Graph der Sinusfunktion. Funktionen wie diese nennt man auch ungerade Funktionen.

Symmetrie nachweisen / Achsensymmetrie zur y-Achse nachweisen

Um eine Funktion f(x) auf Symmetrie zu untersuchen, bildest du als erstes f(−x) - Lässt sich dieser Ausdruck in f(x)umformen, ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse. - Lässt sich dieser Ausdruck dagegen in −f(x)umformen, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Wie das genau geht, zeige ich dir in den folgenden beiden Videos. Ansonsten liegt keine dieser beiden Symmetrien vor. Der Graph kann aber immer noch zu anderen Geraden oder Punkten symmetrisch sein. Auch das ließe sich dann rechnerisch nachweisen, wird aber in der Regel nicht im Unterricht behandelt.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du nachweist, dass eine Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist. Dazu nehmen wir dieses Beispiel. Der Definitionsbereich sind die reellen Zahlen ohne Null.

Das liegt daran, dass man nicht durch Null teilen darf. Null zum Quadrat ist nämlich auch Null und somit würdest du durch Null teilen. Deshalb darfst du für x nicht Null einsetzen.

Nun musst du zeigen, dass f von –x das gleiche ist wie f von x. Um f von –x zu bilden, ersetzt du dieses x durch –x. Beachte, dass du hier zusätzlich eine Klammer setzen musst, sonst wird das Minus nicht mitquadriert. Nun vereinfachst du diesen Ausdruck.

Das Minus steht für –1 und –1 zum Quadrat ist 1. Die 1 brauchst du nicht extra hinschreiben. Im Nenner steht somit x². Das ist f von x. Somit hast du gezeigt, dass der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist.

Um nachzuvollziehen, was hier steht, setzen wir für x mal die Zahl 1 ein. –x ist dann logischerweise –1. Diese beiden x-Werte sollen nun den gleichen Funktionswert haben.

Lass uns das mal nachprüfen. Tatsächlich, beide haben den Funktionswert 1. Es reicht aber nicht, dass nur stichprobenartig für einige x-Werte zu zeigen, denn es soll für alle x aus dem Definitionsbereich gelten. Deshalb musst du den Beweis wie hier allgemeingültig aufschreiben, mit x statt mit konkreten Zahlen.

Punktsymmetrie zum Ursprung nachweisen

So weist du nach, dass ein Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du nachweist, dass eine Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Dazu nehmen wir dieses Beispiel. Der Definitionsbereich sind die reellen Zahlen ohne 0. Das liegt daran, dass man nicht durch 0 teilen darf.

Nun musst du zeigen, dass f von –x das gleiche ist wie –f von x. Um f von –x zu bilden, ersetzt du dieses x durch –x. Ein Minus im Nenner darfst du vor dem gesamten Bruch ziehen. Somit steht hier –f von x. Damit hast du gezeigt, dass der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Um nachzuvollziehen, was hier steht, setzen wir für x mal die Zahl 1 ein. –x ist dann logischerweise –1. Diese beiden x-Werte sollen bis auf das Vorzeichen den gleichen Funktionswert haben.

Lass uns das mal nachprüfen. Tatsächlich! Hier ist der Funktionswert –1 und hier 1. Die Funktionswerte unterscheiden sich also nur durch das Vorzeichen. Es reicht aber nicht, das nur stichprobenartig für einige x-Werte zu zeigen.

Denn es soll für alle x aus dem Definitionsbereich gelten. Deshalb musst du den Beweis, wie hier, allgemeingültig mit x aufschreiben, statt mit konkreten Zahlen.

Symmetrie bei ganzrationalen Funktionen schnell erkennen

Die "normalen" Funktionen heißen eigentlich ganzrationale Funktionen. Bei ihnen kannst du die Symmetrie zur y-Achse oder zum Ursprung schon am Funktionsterm erkennen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video geht es um die Symmetrie eines Graphen. Der rote Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Das bedeutet, wenn du diesen Teil an der y-Achse spiegelst, erhältst du diesen Teil und umgekehrt.

Achsensymmetrie zur y-Achse erkennst du auch daran, dass in der Funktionsgleichung nur gerade Potenzen vorkommen, wie x², x⁴ und so weiter. Auch eine einzelne Zahl ist erlaubt. Ein Beispiel ist die Funktionsgleichung des roten Graphen.

Hier haben wir x⁴, x² und eine einzelne Zahl. Der blaue Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Stell dir vor, du würdest den Graph an diesem Punkt festhalten und wie einen Propeller drehen.

Nach einer halben Drehung würde der Graph genauso aussehen wie jetzt. Das ist mit Punktsymmetrie gemeint. Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung erkennst du daran, dass in der Funktionsgleichung nur ungerade Potenzen vorkommen, wie x, x³, x⁵ und so weiter und keine einzelne Zahl.

Ein Beispiel ist die Funktionsgleichung des blauen Graphen. Hier haben wir x³ und x. Noch ein Hinweis. Der Graph einer Funktion kann auch zu anderen Punkten und Geraden symmetrisch sein.

Aber das erkennt man nicht so einfach an der Funktionsgleichung.

Weitere Symmetrien

Graphen können auch zu anderen Geraden oder Punkten symmetrisch sein. In diesem Video siehst du 2 Beispiele.

Lösungsbeschreibung

Grafen von Funktionen können auch zu anderen Achsen oder Punkten symmetrisch sein. Hier siehst du das erste Beispiel. Der Graph ist eine Normalparabel.

Wie jede Parabel ist der Graph symmetrisch zu der Gerade, die senkrecht durch ihren Scheitelpunkt verläuft. Da alle Punkte auf dieser Gerade die x-Koordinate 1 haben, wird die Gerade durch die Gleichung x gleich 1 beschrieben. Das nächste Beispiel ist diese Funktion dritten Grades.

Offensichtlich ist ihr Graph punktsymmetrisch zu diesem Punkt. Dieser Punkt hat die Koordinaten 2-1. Solche Symmetrien lassen sich auch rechnerisch nachweisen, aber das ist etwas aufwendiger.

Man kann sie auch nicht einfach am Funktionsterm erkennen.