Graphen spiegeln, strecken und verschieben

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• Spiegelung an der x-Achse oder y-Achse
• Streckung / Stauchung in y-Richtung
• Streckung / Stauchung in x-Richtung
• Verschiebung in x-Richtung
• Verschiebung in y-Richtung
• Mehrere Parameter gleichzeitig berücksichtigen

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Spiegelung an der x-Achse oder y-Achse

In diesem Video zeige ich dir, wie du den Graph einer Funktion an der x-Achse, an der y-Achse oder sogar an beiden Achsen spiegelst.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du Graphen spiegelst. Als erstes Beispiel nehmen wir die natürliche Exponentialfunktion. Hier siehst du ihren Graph.

Wenn du nun ein Minuszeichen vor die Funktion schreibst, wird der Graph an der x-Achse gespiegelt. Diese neue Funktion nennen wir einfach g von x. Wenn du das Minuszeichen stattdessen vor das x schreibst, wird der Graph an der y-Achse gespiegelt. Die Schnittstelle mit der y-Achse bleibt dabei erhalten.

Beide Spiegelungen lassen sich auch kombinieren. Das gilt nicht nur für die e-Funktion, sondern für alle Funktionen. Die Ausgangsfunktion ist f von x. Die Spiegelung an der x-Achse ist –f von x. Die Spiegelung an der y-Achse ist f von –x.

Und die Spiegelung an beiden Achsen ist –f von –x. Damit du siehst, dass das wirklich für alle Funktionen gilt, zeige ich dir jetzt weitere Beispiele. Das nächste Beispiel ist eine ganz rationale Funktion.

Hier siehst du ihren Graph. Um den Graph an der x-Achse zu spiegeln, schreibst du ein Minus vor die komplette Funktion. Hier darfst du die Klammer nicht vergessen.

Ohne Klammer würde das Minus nur für x³ gelten. Wenn du die Klammer auflöst, erhältst du –x³–1. Der zugehörige Graph sieht so aus.

Die Nullstelle bleibt erhalten. Um den Graph stattdessen an der y-Achse zu spiegeln, ersetzt du x durch –x. Da zuvor x potenziert wurde, muss nun –x potenziert werden.

Deshalb musst du –x in Klammern schreiben. –x³ bedeutet –x mal –x mal –x. Minus mal Minus ist Plus und Plus mal Minus ist wieder Minus.

Und x mal x mal x ist x³. Das ist der zugehörige Graph. Die Schnittstelle mit der y-Achse bleibt erhalten.

Das nächste Beispiel ist eine gebrochen rationale Funktion. Der Graph ist eine sogenannte Hyperbel und besteht aus zwei Ästen. Das ist die Spiegelung an der x-Achse.

Und das ist die Spiegelung an der y-Achse. Ein Minuszeichen vor dem Nenner darf man vor dem gesamten Bruch schreiben. Somit ist das der gleiche Funktionsterm wie g von x. Und der Graph sieht auch genauso aus wie der von g. Dennoch passiert hier etwas anderes.

Jetzt wird nämlich der rechte Ast nach links geklappt und umgekehrt. Das nächste Beispiel ist die Sinusfunktion. Das ist die Spiegelung an der x-Achse.

Und das ist die Spiegelung an der y-Achse. Der Graph sieht zwar genauso aus wie der von g, aber hier passiert etwas anderes. Jetzt wird nämlich der rechte Teil nach links geklappt und umgekehrt.

Das nächste Beispiel ist der natürliche Logarithmus ln. Das ist die Spiegelung an der x-Achse. Die Nullstelle bleibt erhalten.

Und das ist die Spiegelung an der y-Achse. Das letzte Beispiel ist Wurzel x. Das ist die Spiegelung an der x-Achse. Und das ist die Spiegelung an der y-Achse.

Streckung / Stauchung in y-Richtung

In diesem Video lernst du, Graphen in y-Richtung zu strecken bzw. zu stauchen. Die Nullstellen bleiben dabei übrigens gleich.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du Graphen in Y-Richtung streckst bzw. stauchst. Beides wird der Einfachheit halber unter dem Begriff Streckung zusammengefasst.

Als erstes Beispiel nehmen wir die Sinusfunktion. Hier siehst du ihren Graph. Wenn du nun den Faktor 2 vor die Funktion schreibst, wird der Graph in Y-Richtung gestreckt, also auseinandergezogen.

Der Abstand zur X-Achse hat sich an jeder Stelle verdoppelt. Die Nullstellen bleiben aber erhalten. Diese neue Funktion nennen wir einfach g von X. Wenn du stattdessen den Faktor 1 halb vor die Funktion schreibst, wird der Graph in Y-Richtung gestaucht, also zusammengedrückt.

Der Abstand zur X-Achse hat sich an jeder Stelle halbiert. Die Nullstellen bleiben aber wieder erhalten. Das gilt nicht nur für die Sinusfunktion, sondern für alle Funktionen.

Die Ausgangsfunktion ist f von X. Du streckst bzw. stauchst den Graph in Y-Richtung, indem du den Faktor a davor setzt. Für eine Streckung muss a größer als 1 sein und für eine Stauchung zwischen 0 und 1. Das a nennt man trotzdem in beiden Fällen den Streckfaktor.

Das kannst du natürlich noch mit einer Spiegelung kombinieren. Damit du siehst, dass das wirklich für alle Funktionen gilt, zeige ich dir jetzt weitere Beispiele. Das nächste Beispiel ist eine ganz rationale Funktion.

Das ist die Streckung in Y-Richtung um den Faktor 2. Hier darfst du die Klammer nicht vergessen. Ohne Klammer würde die 2 nur für x hoch 3 gelten. Wenn du die Klammer auflöst, erhältst du 2x hoch 3 plus 2. Der zugehörige Graph schneidet die Y-Achse nun bei 2 statt bei 1. Und das ist die Stauchung in Y-Richtung um den Faktor 1 halb.

Wenn du die Klammer auflöst, erhältst du 1 halb x hoch 3 plus 1 halb. Der zugehörige Graph schneidet die Y-Achse nun bei 1 halb statt bei 1. Die Nullstelle bleibt jeweils erhalten. Das nächste Beispiel ist eine gebrochen rationale Funktion.

Das ist die Streckung in Y-Richtung um den Faktor 2. Eine ganze Zahl wird mit dem Zähler eines Bruchs multipliziert. 2 mal 1 ist 2. Und das ist die Stauchung in Y-Richtung um den Faktor 1 halb. Zwei Brüche multiplizierst du, indem du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner rechnest.

Das gleiche kannst du mit der natürlichen Exponentialfunktion machen. Strecken. Der Graph schneidet die Y-Achse nun bei 2 statt bei 1. Oder Stauchen.

Der Graph schneidet die Y-Achse nun bei 1 halb statt bei 1. Das gleiche kannst du mit dem natürlichen Logarithmus Ln machen. Strecken. Oder Stauchen.

Die Nullstelle bleibt jeweils erhalten. Das gleiche kannst du mit Wurzel X machen. Strecken.

Oder Stauchen. Die Nullstelle bleibt jeweils erhalten.

Streckung / Stauchung in x-Richtung

In diesem Video lernst du, Graphen in x-Richtung zu strecken bzw. zu stauchen. Die Schnittstelle mit der y-Achse bleibt dabei übrigens gleich. Bei Sinus- und Kosinusfunktionen ändert sich dadurch die Periode p. Diese kannst du mit der Formel p=2π/b berechnen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du Graphen in X-Richtung streckst bzw. stauchst. Beides wird der Einfachheit halber unter dem Begriff Streckung zusammengefasst.

Als erstes Beispiel nehmen wir die Sinus-Funktion. Hier siehst du ihren Graph. Wenn du nun den Faktor 2 vor das X schreibst, wird der Graph in X-Richtung gestaucht, also zusammengedrückt.

Der Abstand zur Y-Achse ist nur noch halb so groß wie vorher. Der Streckfaktor ist nämlich nicht 2, sondern der Kehrwert 1 halb. Diese neue Funktion nennen wir einfach g von X. Wenn du stattdessen den Faktor 1 halb vor das X schreibst, wird der Graph in X-Richtung gestreckt, also auseinandergezogen.

Der Abstand zur Y-Achse ist nun doppelt so groß wie vorher. Der Streckfaktor ist nämlich nicht 1 halb, sondern der Kehrwert 2. Das gilt nicht nur für die Sinus-Funktion, sondern für alle Funktionen. Die Ausgangsfunktion ist f von X. Du stauchst bzw.

streckst den Graph in X-Richtung, indem du den Faktor b vor das X setzt. Für eine Stauchung muss b größer als 1 sein und für eine Streckung zwischen 0 und 1. Der Streckfaktor ist diesmal nämlich nicht das b selbst, sondern der Kehrwert 1 durch b. Das kannst du natürlich noch mit einer Spiegelung kombinieren. Damit du siehst, dass das wirklich für alle Funktionen gilt, zeige ich dir jetzt weitere Beispiele.

Das nächste Beispiel ist eine ganz rationale Funktion. Für eine Stauchung in X-Richtung um den Faktor 1 halb ersetzt du X durch 2X. Deshalb musst du das in Klammern setzen, sonst wird nur das X hoch 3 genommen.

Die 2 und das X kannst du getrennt potenzieren. 2 hoch 3 bedeutet ja 2 mal 2 mal 2 und das macht 8. Und dahinter schreibst du einfach X hoch 3. Die Nullstelle ist jetzt bei minus 1 halb statt bei minus 1. Für eine Streckung in X-Richtung um den Faktor 2 ersetzt du X durch 1 halb X und schreibst wieder alles in Klammern. 1 halb und das X kannst du getrennt potenzieren.

1 halb hoch 3 bedeutet 1 halb mal 1 halb mal 1 halb und das macht ein Achtel. Und dahinter schreibst du einfach X hoch 3. Die Nullstelle ist jetzt bei minus 2 statt bei minus 1. Die Schnittstelle mit der Y-Achse bleibt jeweils erhalten. Das nächste Beispiel ist eine gebrochen rationale Funktion.

Das ist die Stauchung in X-Richtung um den Faktor 1 halb. Der Graph sieht genauso aus wie bei der Stauchung in Y-Richtung um den Faktor 1 halb. Man kann diesen Ausdruck nämlich auch so schreiben.

An diesem Faktor kann man die Stauchung in Y-Richtung ablesen. Das ist die Streckung in X-Richtung um den Faktor 2. Diesen Ausdruck kann man noch schöner schreiben. Das X wird mit dem Zähler multipliziert.

X mal 1 ist X. Um durch einen Bruch zu teilen, musst du mit seinem Kehrwert multiplizieren. Das macht dann 1 mal 2 durch X. 1 mal 2 ist 2. Der Graph sieht genauso aus wie bei der Streckung in Y-Richtung um den Faktor 2. Das erkennst du auch am Funktionsterm, wenn du diesen noch einmal umformst. An diesem Faktor kann man nämlich die Streckung in Y-Richtung ablesen.

Das nächste Beispiel ist die natürliche Exponentialfunktion. Das ist die Stauchung in X-Richtung um den Faktor 1,5. Und das ist die Streckung in X-Richtung um den Faktor 2. Die Schnittstelle mit der Y-Achse bleibt jeweils erhalten.

Das gleiche kannst du mit dem natürlichen Logarithmus ln machen. Stauchen. Die Nullstelle ist nun bei 1,5 statt bei 1. Oder strecken.

Die Nullstelle ist nun bei 2 statt bei 1. Das gleiche kannst du mit Wurzel X machen. Stauchen. Oder strecken.

Verschiebung in x-Richtung

In diesem Video lernst du, Graphen entlang der x-Achse zu verschieben.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du Graphen in x-Richtung verschiebst. Als erstes Beispiel nehmen wir die Funktion Wurzelx. Hier siehst du ihren Graphen.

Ersetzt du x durch x plus 1, wird der Graph um 1 nach links verschoben. Diese neue Funktion nennen wir einfach g von x. Ersetzt du stattdessen x durch x minus 2, wird der Graph um 2 Einheiten nach rechts verschoben. Das gilt nicht nur für die Wurzelfunktion, sondern für alle Funktionen.

Die Ausgangsfunktion ist f von x. Willst du den Graph von f um c Einheiten nach links verschieben, schreibst du statt x x plus c. Willst du den Graph stattdessen nach rechts verschieben, schreibst du x minus c. Damit du siehst, dass das wirklich für alle Funktionen gilt, zeige ich dir jetzt weitere Beispiele. Das nächste Beispiel ist eine ganz rationale Funktion. Ersetzt du x durch x plus 1, wird der Graph um 1 nach links verschoben.

Dadurch verschiebt sich auch die Nullstelle um eine Einheit nach links. Hier darfst du die Klammer nicht vergessen. Ohne Klammer würde nur die 1 hoch 3 genommen werden.

Ersetzt du x durch x minus 2, wird der Graph um 2 Einheiten nach rechts verschoben. Dadurch verschiebt sich auch die Nullstelle um 2 Einheiten nach rechts. Das gleiche kannst du mit einer gebrochen rationalen Funktion machen.

Verschiebung um 1 nach links oder Verschiebung um 2 nach rechts. Das gleiche kannst du mit der natürlichen Exponentialfunktion machen. Verschiebung um 1 nach links oder Verschiebung um 2 nach rechts.

Das gleiche kannst du mit der Sinusfunktion machen. Verschiebung um 1 nach links oder Verschiebung um 2 nach rechts. Das gleiche kannst du mit dem natürlichen Logarithmus ln machen.

Verschiebung um 1 nach links oder Verschiebung um 2 nach rechts. Das gleiche kannst du mit der natürlichen Exponentialfunktion machen.

Verschiebung in y-Richtung

In diesem Video lernst du, Graphen entlang der y-Achse zu verschieben.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du Graphen in Y-Richtung verschiebst. Als erstes Beispiel nehmen wir die Sinus-Funktion. Hier siehst du ihren Graph.

Wenn du den Graph um eine Einheit nach oben verschieben willst, schreibst du den Funktionsterm ab und plus 1 dahinter. Diese neue Funktion nennen wir einfach g von x. Die Schnittstelle mit der y-Achse verschiebt sich dadurch auch um eine Einheit nach oben. Wenn du den Graph stattdessen um eine Einheit nach unten verschieben willst, schreibst du minus 1 dahinter.

Die Schnittstelle mit der y-Achse verschiebt sich dadurch auch um eine Einheit nach unten. Das gilt nicht nur für die Sinus-Funktion, sondern für alle Funktionen. Die Ausgangsfunktion ist f von x. Willst du den Graph von f um d Einheiten nach oben verschieben, schreibst du hinter f von x plus d. Willst du den Graph stattdessen nach unten verschieben, schreibst du minus d. Damit du siehst, dass das wirklich für alle Funktionen gilt, zeige ich dir jetzt weitere Beispiele.

Das nächste Beispiel ist eine ganz rationale Funktion. Wenn du den Graph um eine Einheit nach oben verschieben willst, schreibst du den Funktionsterm ab und plus 1 dahinter. Das kannst du noch zusammenfassen.

1 plus 1 ist 2. Für eine Verschiebung um eine Einheit nach unten schreibst du den Funktionsterm ab und minus 1 dahinter. 1 minus 1 ist 0 und fällt somit weg. Das gleiche kannst du mit einer gebrochen rationalen Funktion machen.

Verschiebung um 1 nach oben oder Verschiebung um 1 nach unten. Das gleiche kannst du mit der natürlichen Exponentialfunktion machen. Verschiebung um 1 nach oben oder Verschiebung um 1 nach unten.

Das gleiche kannst du mit dem natürlichen Logarithmus ln machen. Verschiebung um 1 nach oben oder Verschiebung um 1 nach unten. Das gleiche kannst du auch mit Wurzelx machen.

Verschiebung um 1 nach oben oder Verschiebung um 1 nach unten.

Mehrere Parameter gleichzeitig berücksichtigen

An diesem Beispiel siehst du, wie man einen Graph skizziert, der sowohl in x- und y-Richtung gestreckt als auch verschoben wurde.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du den Graph einer allgemeinen Sinusfunktion skizzierst. Genauso würdest du auch bei einer Cosinusfunktion vorgehen. Das ist unser Beispiel.

Nun musst du innerhalb der Klammer erstmal die 2 ausklammern. Hier muss dann Pi Halbe stehen, denn Pi Halbe mal 2 ist Pi. Nun leiten wir Schritt für Schritt den zugehörigen Graph aus dem Graphen der einfachen Sinusfunktion her.

A ist 3. A bewirkt eine Streckung um den Faktor 3 in Y-Richtung. Den roten Graphen blende ich erstmal aus, damit das Schaubild nicht zu unübersichtlich wird. B ist 2. B bewirkt eine Stauchung um den Faktor 1 Halb in X-Richtung.

Den letzten Graphen blende ich wieder aus. C ist Pi Halbe. Wegen dem Minus folgt daraus eine Verschiebung um Pi Halbe nach rechts.

Den letzten Graphen blende ich wieder aus. D ist 1. Wegen dem Plus folgt daraus eine Verschiebung um 1 nach oben. Hier siehst du zum Vergleich nochmal die einfache Sinusfunktion, mit der wir gestartet sind.

Mit Hilfe von B können wir auch leicht die Periode berechnen. Dazu teilst du 2Pi durch B, also durch 2. Die Periode ist Pi. Am Graph ist das nicht so leicht zu erkennen, weil der Graph noch nach oben verschoben wurde.

Du kannst dir aber eine neue Mittellinie denken. Sie muss so liegen, dass der Ausschlag nach oben genauso groß ist wie der Ausschlag nach unten. Und jetzt siehst du, dass eine komplette Schwingung wirklich bei Pi abgeschlossen ist.

Vielen Dank!