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Bruchgleichungen

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Was sind Bruchgleichungen?

Bei Bruchgleichungen stehen x oder höhere Potenzen von x wie x² usw. im Nenner von Brüchen. In diesem Video zeige ich dir 4 Beispiele für Bruchgleichungen.

Lösungsbeschreibung

Hier siehst du einige Beispiele für Bruchgleichungen. Bei Bruchgleichungen stehen x oder höhere Potenzen von x, wie x² usw., im Nenner von Brüchen.


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Definitionsbereich der Bruchgleichung bestimmen

Der Definitionsbereich gibt an, welche Zahlen man für x einsetzen darf. Du weißt bestimmt, dass der Nenner eines Bruchs nie Null werden darf. Doch wenn du für x bestimmte Zahlen einsetzt, könnte genau das passieren. Das musst du verhindern, indem du die Zahlen vom Definitionsbereich ausschließt, für die der Nenner Null wird. Wie du diese kritischen Zahlen ermittelst und den Definitionsbereich korrekt angibst, zeige ich dir in diesem Video. Statt Definitionsbereich kann man auch Definitionsmenge sagen. Den Definitionsbereich brauchst du erst zum Schluss wieder. Dann musst du nämlich überprüfen, ob deine berechneten Lösungen im Definitionsbereich liegen oder nicht.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, warum du bei Bruchgleichungen den Definitionsbereich bestimmen musst und wie das geht. Als Beispiel nehmen wir diese Bruchgleichung. Du weißt bestimmt, dass der Nenner eines Bruchs nie Null sein darf.

Hier darf x zum Beispiel nicht 3 sein, da 3–3 Null wäre. Für x gleich 3 ist diese Gleichung also nicht definiert. Nun musst du noch herausfinden, wann dieser Nenner Null wird.

Wenn du es nicht sofort siehst, kannst du es auch einfach ausrechnen. Das geht so. Setze diesen Nenner Null.

Dazu schreibst du den Nenner ab und ist gleich Null dahinter. Nun löst du nach x auf. Rechne dazu plus 9 und ziehe nun die Wurzel.

Die Wurzel aus 9 ist 3. Die Wurzel aus x² ist der Betrag von x. Löst du die Betragsstriche auf, erhältst du die beiden Lösungen 3 und –3. Setzt du hier also für x 3 oder –3 ein, wird dieser Nenner Null, was nicht erlaubt ist. Denn 3 zum Quadrat ist 9 und 9–9 ist Null.

Das gleiche gilt für –3. –3 zum Quadrat ist ebenfalls 9, also käme wieder Null raus. Der Vollständigkeit halber hier noch die Rechnung für den zweiten Nenner.

Schreibe den Nenner ab und ist gleich Null dahinter. Dann rechnest du plus 3 und erhältst wie erwartet die Lösung 3. Es kann also auch das gleiche rauskommen wie beim ersten Nenner. Muss aber nicht.

Das hier kannst du auch alles im Kopf rechnen. Entscheidend ist nur, dass du den Definitionsbereich hinschreibst. Der Definitionsbereich gibt an, welche Zahlen man für x einsetzen darf.

Für Definitionsbereich oder Definitionsmenge schreibst du dieses d. Dahinter schreibst du ein Istgleichzeichen und dieses r für reelle Zahlen. Die reellen Zahlen sind praktisch alle Zahlen, die du dir vorstellen kannst. Nun schreibst du diesen Schrägstrich.

Er bedeutet ohne. Und dann schreibst du die beiden Ausnahmen, die du berechnet hast, in eine geschweifte Klammer. Die Reihenfolge ist egal.

Hier steht also, der Definitionsbereich sind die reellen Zahlen ohne –3 und 3. Das bedeutet, man darf für x alle Zahlen außer –3 und 3 einsetzen. Manche Lehrer verwenden statt des Schrägstrichs auch ein Minuszeichen. Beide Schreibweisen sind möglich.

Den Definitionsbereich brauchst du erst zum Schluss wieder. Dann musst du nämlich überprüfen, ob deine berechneten Lösungen im Definitionsbereich liegen oder nicht.


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Hauptnenner bestimmen

Bei Bruchgleichungen stören die Brüche. Um diese loszuwerden, multiplizierst du die Gleichung mit dem Hauptnenner. Übrig bleibt dann eine einfache Gleichung, die du mit bekannten Mitteln lösen kannst. Leider wird in der Schule selten genau erklärt, wie man den Hauptnenner bestimmt. Das Ganze geschieht oft nach dem Motto: "Das sieht man doch!" In diesem Video zeige ich dir, wie du den Hauptnenner systematisch ermittelst. Im nächsten Video zeige ich dir, wie du nun mit dem Hauptnenner weiter rechnest.

Lösungsbeschreibung

Um eine Bruchgleichung zu lösen, solltest du mit dem Hauptnenner durchmultiplizieren. Dazu musst du aber zuerst einmal den Hauptnenner bestimmen. Wie das geht, zeige ich dir in diesem Video.

Um den Hauptnenner zu bestimmen, musst du die einzelnen Nenner faktorisieren. Faktorisieren bedeutet, in ein Produkt umwandeln. Der erste Nenner war x²-9.

Um diesen Nenner zu faktorisieren, hast du zwei Möglichkeiten, die Linearfaktorzerlegung oder die dritte binomische Formel. Schauen wir uns zunächst die Linearfaktorzerlegung an. Um den Definitionsbereich zu bestimmen, hast du diesen Nenner im letzten Video 0 gesetzt und dabei diese beiden Lösungen erhalten.

Schreibe nun für jede Lösung eine Klammer mit einem x darin. Dahinter schreibst du die gefundene Lösung mit geändertem Vorzeichen. Aus 3 wird –3 und aus –3 wird plus 3. Das ist die gesuchte Linearfaktorzerlegung.

Wenn du die Klammern ausmultiplizierst, kommt tatsächlich x²-9 raus. Probiere es aus, falls du es nicht glaubst. Ursprünglich war der Nenner eine Differenz wegen dem Minuszeichen.

Jetzt ist er ein Produkt. Um das zu verdeutlichen, könnte man zwischen die Klammern noch einen Malpunkt setzen. Die Linearfaktorzerlegung funktioniert immer, deshalb empfehle ich dir diesen Weg.

Oft gelingt die Faktorisierung auch noch über eine binomische Formel, wie in diesem Fall. Das ist manchmal allerdings schwer zu erkennen. x²-9 könnte von der Form her auf die dritte binomische Formel passen, die ich dir hier hingeschrieben habe.

a² entspricht dann x² und b² entspricht 9. Und was müsste dann b sein? Na klar, 3, denn 3² ist 9. a ist also x und b ist 3. Nun setzt du hier und hier für a x ein und hier und hier setzt du für b 3 ein. x²-9 ist also x²-3² und das ist nach der dritten binomischen Formel in Klammern x-3 mal in Klammern x±3. Wie du siehst, ergibt sich der gleiche Ausdruck wie bei der Linearfaktorzerlegung.

Der zweite Nenner war x-3. Diesen kann man nicht weiter in Faktoren zerlegen. Jetzt kannst du den Hauptnenner bestimmen.

Für den ersten Nenner schreibst du die faktorisierte Form hin. Den zweiten Nenner schreibst du einfach ab. Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache dieser beiden Nenner.

Der Hauptnenner ist sozusagen der kleinste Nenner, der diese beiden Nenner enthält. Somit ist der erste Nenner gleichzeitig der Hauptnenner, da er den zweiten Nenner enthält. Damit man das leichter sieht, habe ich den zweiten Nenner genau hier drunter platziert.

Im nächsten Video zeige ich dir, wie du nun mit dem Hauptnenner weiterrechnest.


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Lösungen berechnen und überprüfen

Nun kommt die eigentliche Rechnung. Multipliziere die Bruchgleichung mit dem Hauptnenner und kürze so viel wie möglich! Dadurch bleibt eine einfache Gleichung ohne Bruchterme übrig. Falls du Hilfe beim Lösen dieser Gleichung benötigst, schau dir diese Anleitung an: Ganzrationale Gleichungen lösen. Nachdem du die Lösungen bestimmt hast, musst du sie noch mit dem Definitionsbereich der Bruchgleichung abgleichen. Wie du das alles machst, zeige ich dir in diesem Video.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Bruchgleichung löst. Voraussetzung ist, dass du schon den Definitionsbereich und den Hauptnenner bestimmt hast, wie ich es dir in den beiden letzten Videos gezeigt habe. Das war unsere Beispielaufgabe.

Multipliziere die Bruchgleichung nun mit dem Hauptnenner. Verlängere dazu die Bruchstriche und schreibe auf dem Bruchstrich jeweils den Hauptnenner dazu. Statt x²-9 schreibe ich hier die faktorisierte Form, damit man leichter sieht, was sich wegkürzt.

Wegen dem Pluszeichen musst du x± in Klammern setzen. Das gleiche müsstest du tun, wenn hier ein Minuszeichen stehen würde. Nun kannst du kürzen.

Übrig bleibt diese einfache Gleichung. Als nächstes löst du diese Gleichung. Multipliziere zuerst die Klammern aus.

x mal x sind x². x mal 3 sind 3x. 1 mal x ist x und 1 mal 3 ist 3. 3x plus x sind 4x.

Bringe nun alles auf eine Seite. Rechne dazu –8x. Damit wird die linke Seite 0. 4x-8x sind –4x.

Das ist eine quadratische Gleichung, die du mit der pq-Formel oder der abc-Formel bzw. Mitternachtsformel lösen kannst. Wie das geht, zeige ich dir natürlich in den entsprechenden Videos.

Ich schreibe hier nur die Ergebnisse hin. Die Ergebnisse sind 3 und 1. Dies sind gleichzeitig die Lösungen unserer Bruchgleichung. Vorausgesetzt, sie liegen in ihrem Definitionsbereich.

Das musst du zum Schluss prüfen. Zur Erinnerung. Der Definitionsbereich waren die reellen Zahlen ohne –3 und 3. Da 3 nicht im Definitionsbereich liegt, entfällt die erste Lösung.

Das kannst du so aufschreiben. 3 ist nicht Element des Definitionsbereichs. Die einzige Lösung ist somit 1. Zusätzlich kannst du noch die Lösungsmenge angeben.

Dafür schreibst du dieses L für Lösungsmenge, dann ein Ist-Gleichzeichen und eine geschweifte Klammer. In die Klammer schreibst du die gefundene Lösung 1.


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