Nullstellen

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• Was ist eine Nullstelle?
• Wie berechne ich Nullstellen?
• Linearfaktorzerlegung
• Gebrochenrationale Funktionen
• Exponentialfunktionen
• e-Funktionen
• ln-Funktionen
• Sinus- und Kosinusfunktionen
• Wurzelfunktionen
• Doppelte Nullstellen
• Newton-Verfahren

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Was ist eine Nullstelle?

An einer Nullstelle schneidet oder berührt der Graph einer Funktion die x-Achse. In diesem Video siehst du, was damit genau gemeint ist.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video erkläre ich dir, was eine Nullstelle ist. Beginnen wir mit diesem Beispiel. An einer Nullstelle schneidet oder berührt der Graph die x-Achse.

Somit hat dieser Graph eine Nullstelle bei 2, denn hier schneidet er die x-Achse. Außerdem hat er eine Nullstelle bei 0, denn hier berührt er die x-Achse. Genau genommen sind das sogar 2 Nullstellen bzw.

eine Doppelte. Darauf gehe ich in einem extra Video genauer ein. Die Nullstellen würdest du so aufschreiben.

Gibt es mehrere Nullstellen, solltest du sie nummerieren. Die ersten beiden Nullstellen sind 0 und die dritte Nullstelle ist 2. Das nächste Beispiel ist die natürliche Exponentialfunktion oder kurz E-Funktion. Ihr Graph schneidet oder berührt die x-Achse nicht.

Er nähert sich ihr lediglich an. Das bedeutet, die E-Funktion hat keine Nullstelle. Als letztes Beispiel nehmen wir die Sinusfunktion.

Ihr Graph ist periodisch. Er schneidet die x-Achse bei 0, bei Pi, das ist rund 3,14, bei 2Pi und so weiter. Genauso entlang dem negativen Teil der x-Achse.

Die Nullstellen sind also Vielfache von Pi. Das kannst du so aufschreiben. Für k darf eine beliebige ganze Zahl eingesetzt werden, also 0, 1, 2, 3, minus 1, minus 2 und so weiter.

So kann man jede der unendlich vielen Nullstellen erhalten.

Wie berechne ich Nullstellen?

Die "normalen" Funktionen heißen eigentlich ganzrationale Funktionen. Der Ansatz ist bei jeder Funktion gleich. Du setzt die Funktion Null (also f(x)=0) und löst diese Gleichung. Der genaue Lösungsweg hängt vom Typ der Funktion ab (z.B. ganzrationale Funktion, e-Funktion, Sinusfunktion, ...). Im Folgenden findest du für jeden Typ ein Beispiel. Einige Funktionen (gebrochenrationale Funktionen, Logarithmus- und Wurzelfunktionen) sind nicht für alle x definiert. Deshalb musst du zum Schluss prüfen, ob die gefundenen Lösungen überhaupt im Definitionsbereich liegen. Wenn nicht, sind es keine Nullstellen!

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du die Nullstellen einer ganz rationalen Funktion bestimmst. Dazu nehmen wir dieses Beispiel. Am Graphen siehst du die Nullstelle leicht, sie ist bei 2. Nullstellen sind Stellen, an denen der Graph die x-Achse schneidet oder berührt.

Hast du kein Schaubild zur Verfügung, kannst du sie auch berechnen. Dazu setzt du f von x gleich 0. f von x ist ja 2x-4. Nun löst du nach x auf.

Du rechnest plus 4 und teilst dann durch 2. Die Nullstelle ist somit 2. Sollst du den Schnittpunkt angeben, brauchst du 2 Koordinaten. 2 ist die x-Koordinate. Und die y-Koordinate ist immer 0. Das siehst du leicht, wenn du von hier aus rüber zur y-Achse gehst.

In einer Textaufgabe könnte statt dem Schnittpunkt auch der gemeinsame Punkt mit der x-Achse gesucht sein. Dann ist dieser Punkt gemeint. Es gibt auch Funktionen, die mehrere Nullstellen haben oder gar keine.

Oder Nullstellen, an denen die x-Achse nur berührt, aber nicht geschnitten wird.

Linearfaktorzerlegung

Mit Hilfe der Nullstellen kannst du eine ganzrationale Funktion in Linearfaktoren zerlegen und dadurch faktorisieren. Umgekehrt kannst du an der Linearfaktorzerlegung auch die Nullstellen ablesen. Hier zeige ich dir, wie das geht.

Lösungsbeschreibung

Mithilfe der Nullstellen kannst du einen Funktionsterm komplett anders darstellen. Nehmen wir als Beispiel diese Funktion dritten Grades. Sie hat drei einfache Nullstellen.

Minus eins, zwei und drei. Für jede Nullstelle kannst du eine Klammer mit einem X darin schreiben. Hinter das X schreibst du nun jeweils eine Nullstelle mit geändertem Vorzeichen.

Aus der Nullstelle minus eins wird plus eins. Aus zwei wird minus zwei. Und aus drei wird minus drei.

Außerdem musst du diesen Koeffizienten übertragen. Würde hier nur X hoch drei stehen, bräuchtest du nichts vor die Klammern schreiben. Wichtig, es muss der Koeffizient vor der höchsten Potenz von X sein.

Also zum Beispiel nicht die minus zwei. Das Besondere ist nun, dass diese beiden Ausdrücke gleich sind. Du kannst das Video gerne mal abstoppen und die Klammern ausmultiplizieren, um dich selbst davon zu überzeugen.

Das ist die sogenannte Linearfaktorzerlegung. Umgekehrt kannst du an der Linearfaktorzerlegung auch sofort die Nullstellen ablesen. Sie stehen hier drin.

Du musst lediglich das Vorzeichen ändern. Hieraus folgt die erste Nullstelle, X1 gleich minus eins. Hieraus folgt X2 gleich zwei.

Und hieraus folgt X3 gleich drei.

Gebrochenrationale Funktionen

Eine gebrochenrationale Funktion kann nur dort Nullstellen haben, wo das Zählerpolynom Nullstellen hat. Nullstellen, die gleichzeitig Definitionslücken sind, entfallen jedoch.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du die Nullstellen einer gebrochen rationalen Funktion berechnest. Dieses Beispiel kennst du schon aus dem letzten Video. Diese Funktion hat eine Definitionslücke bei x gleich 2. Nullstellen von f können nur dort sein, wo der Zähler Null wird.

Präge dir das gut ein. Um die Nullstellen zu berechnen, musst du diesmal also den Zähler Null setzen und dann nach x auflösen. Bringe als erstes die 4 rüber und ziehe nun die Wurzel.

Die Wurzel aus 4 ist 2. Die Wurzel aus x² ergibt immer zwei Lösungen, eine positive und eine negative. Die Lösungen sind somit 2 und –2. Nur wenn hier eine negative Zahl steht, gibt es gar keine Lösungen.

Jetzt gleichst du deine Lösungen mit den Definitionslücken ab. Dadurch entfällt die Nullstelle 2, denn wir dürfen für x ja gar nicht 2 einsetzen. Merke dir, Lösungen, die gleichzeitig Definitionslücken sind, sind keine Nullstellen.

Somit hat diese Funktion nur eine Nullstelle, nämlich –2. Diese siehst du hier. Die Lösung 2 wäre hier.

Und wie du siehst, ist der Graph nicht mal in der Nähe, sondern hier oben. 2 ist also definitiv keine Nullstelle.

Exponentialfunktionen

Hier erläutere ich dir an 2 Beispielen, warum Exponentialfunktionen wie f(x)=e^x keine Nullstellen haben und die x-Achse eine waagerechte Asymptote ist.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video geht es um die Nullstellen von Exponentialfunktionen. Kurz gesagt, sie haben keine. Nehmen wir als Beispiel die e-Funktion.

Ihr Graph nähert sich zwar der x-Achse an, aber berührt sie nie, auch wenn das auf dem Schaubild anders wirkt. Der Graph hat somit keine Nullstelle. Das kannst du auch rechnerisch zeigen.

Um die Nullstellen zu berechnen, setzt du ja f von x gleich 0. f von x ist e hoch x. Diese Gleichung ist jedoch nicht lösbar. Somit hat die e-Funktion keine Nullstellen. Hier siehst du noch ein zweites Beispiel.

Auch der blaue Graph nähert sich der x-Achse an, doch berührt sie nie. Deshalb ist die x-Achse eine sogenannte Asymptote. Zusätzlich kann man noch spezifizieren, dass es eine waagerechte Asymptote ist.

Es gibt nämlich auch senkrechte oder schiefe.

e-Funktionen

Im Gegensatz zu Exponentialfunktionen können e-Funktionen Nullstellen haben. In diesem Video zeige ich dir, wie du sie bestimmst. Die Funktion f(x)=e^x wird weiter oben bei den Exponentialfunktionen behandelt.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du die Nullstellen einer E-Funktion bestimmst. Dazu nehmen wir dieses Beispiel. Am Graphen siehst du die Nullstelle leicht, sie ist bei 1. Hast du kein Schaubel zur Verfügung, kannst du sie auch berechnen.

Wie bei jeder Funktion setzt du dazu f von x gleich 0. f von x ist ja das hier. Das ist ein Produkt aus den Faktoren 3, 1-x und ex. Ein Produkt ist 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist.

3 ist schon mal nicht 0. ex kann auch nicht 0 werden, egal welche Zahl du für x einsetzt. Das musst du dir merken. Nur 1-x kann noch 0 werden.

Löse nun einfach nach x auf. Bringe dazu das x rüber und tausche noch die Seiten. Sollst du den Schnittpunkt angeben, brauchst du zwei Koordinaten.

1 ist die x-Koordinate und die y-Koordinate ist immer 0. Das siehst du, wenn du von hier aus rüber auf die y-Achse gehst. In einer Textaufgabe könnte statt dem Schnittpunkt auch der gemeinsame Punkt mit der x-Achse gesucht sein. Dann ist dieser Punkt gemeint.

ln-Funktionen

In diesem Video zeige ich dir, wie du die Nullstellen von ln-Funktionen berechnest. Beachte, dass Lösungen entfallen, die nicht im Definitionsbereich liegen!

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du die Nullstellen einer ln-Funktion bestimmst. Als Beispiel nehmen wir die natürliche Logarithmusfunktion. Am Graphen siehst du die Nullstelle leicht, sie ist bei 1. Hast du kein Schaubel zur Verfügung, kannst du sie auch berechnen.

Wie bei jeder Funktion setzt du dazu f von x gleich 0. f von x ist ja lnx. Um nach x aufzulösen, benutzt du die Umkehrfunktion e hoch x. Das heißt, du exponierst die Gleichung. Die e-Funktion und die ln-Funktion heben sich gegenseitig auf und links bleibt x übrig.

Rechts schreibst du statt 0 e hoch 0. Das ist 1. Merke dir, irgendwas hoch 0 ist immer 1, außer 0 hoch 0. Sollst du den Schnittpunkt angeben, brauchst du zwei Koordinaten. 1 ist die x-Koordinate und die y-Koordinate ist immer 0. Das siehst du, wenn du von hier aus rüber auf die y-Achse gehst. In einer Textaufgabe könnte statt dem Schnittpunkt auch der gemeinsame Punkt mit der x-Achse gesucht sein.

Dann ist dieser Punkt gemeint.

Sinus- und Kosinusfunktionen

Da Sinus- und Kosinusfunktionen periodisch sind, haben sie entweder unendlich viele Nullstellen oder gar keine. In diesem Video zeige ich dir, wie du die Nullstellen der einfachen Sinus- und Kosinusfunktion angibst.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video geht es um die Nullstellen der Sinus- und Kosinusfunktion. Der rote Graph ist die Sinusfunktion und der blaue Graph ist die Kosinusfunktion. Da beide periodisch sind, haben sie unendlich viele Nullstellen.

Der rote Graph schneidet die x-Achse bei 0, bei Pi, das ist rund 3,14, bei 2 Pi und so weiter. Genauso entlang dem negativen Teil der x-Achse. Die Nullstellen sind also Vielfache von Pi.

Das kannst du so aufschreiben. Der Index n steht für Nullstelle, aber du kannst ihn auch weglassen. Für k darf eine beliebige ganze Zahl eingesetzt werden, also 0, 1, 2, 3, minus 1, minus 2 und so weiter.

So kann man jede der unendlich vielen Nullstellen erhalten. Der blaue Graph schneidet die x-Achse bei Pi halbe, bei 3 halbe Pi, bei minus Pi halbe und so weiter. Zu Pi halbe werden also Vielfache von Pi addiert oder subtrahiert.

Das kannst du so aufschreiben. Für k darf wieder eine beliebige ganze Zahl eingesetzt werden. Setzt du für k die Zahl 0 ein, bleibst du bei der Nullstelle Pi halbe.

Setzt du für k die Zahl 1 ein, gehst du von Pi halbe aus um Pi nach rechts und erreichst somit die Nullstelle 3 halbe Pi. Setzt du für k die Zahl minus 1 ein, gehst du von Pi halbe aus um Pi nach links und erreichst die Nullstelle minus Pi halbe. Setzt du für k die Zahl 2 ein, dann gehst du von Pi halbe aus um 2 Pi nach rechts und so weiter.

Auf diese Weise kannst du jede der unendlich vielen Nullstellen erreichen.

Wurzelfunktionen

In diesem Video zeige ich dir, wie du die Nullstellen von Wurzelfunktionen berechnest. Mache zum Schluss eine Probe, um Scheinlösungen zu entlarven und sicher zu gehen, dass die Lösungen im Definitionsbereich liegen! Scheinlösungen können sich durchs Quadrieren einschleichen, da das keine Äquivalenzumformung ist.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du die Nullstellen einer Wurzelfunktion bestimmst. Dazu nehmen wir dieses Beispiel. Am Graphen siehst du die Nullstelle leicht.

Sie ist bei –1. Hast du kein Schaubild zur Verfügung, kannst du sie auch berechnen. Wie bei jeder Funktion setzt du dazu f von x gleich 0. f von x ist ja die Wurzel aus x plus 1. Um nach x aufzulösen, quadrierst du die Gleichung.

Quadrieren und Wurzel ziehen heben sich gegenseitig auf. Und links bleibt x plus 1 übrig. Rechts schreibst du statt 0, 0 zum Quadrat.

Das ist 0, denn 0 mal 0 ist immer noch 0. Nun bringst du noch die 1 rüber. Und schon hast du die Nullstelle. Sollst du den gemeinsamen Punkt mit der x-Achse angeben, brauchst du zwei Koordinaten.

–1 ist die x-Koordinate. Und die y-Koordinate ist immer 0. Das siehst du, wenn du von hier aus rüber auf die y-Achse gehst. In diesem Beispiel wird die x-Achse nur berührt und nicht geschnitten.

Natürlich gibt es auch Wurzelfunktionen, die die x-Achse schneiden. In einer Textaufgabe kann dann statt dem gemeinsamen Punkt mit der x-Achse der Schnittpunkt gesucht sein. Damit ist einfach dieser Punkt gemeint.

Da Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, musst du zum Schluss immer eine Probe machen. Dazu setzt du die gefundene Lösung hier für x ein und prüfst, ob das eine wahre Aussage ergibt. Wie das geht, zeige ich dir auf der nächsten Seite.

Hier schreibst du also statt x –1. –1 plus 1 ist 0. Und die Wurzel aus 0 ist ebenfalls 0. 0 ist gleich 0 ist eine wahre Aussage, was du mit w.a. abkürzen kannst. Somit ist –1 die Nullstelle von f.

Doppelte Nullstellen

Bei vielen Aufgaben ist es wichtig, zwischen einfachen und doppelten Nullstellen zu unterscheiden, z.B.: - um Graphen zu skizzieren - um Schaubilder und Funktionsgleichungen einander zuzuordnen - bei "Steckbriefaufgaben". Hier erkläre ich dir den Unterschied zwischen einfachen und doppelten Nullstellen und zeige dir, woran du sie erkennst. Nullstellen mit dem GTR oder CAS berechnen Um Nullstellen mit dem GTR oder CAS zu bestimmen, hast du 2 Möglichkeiten: 1. Möglichkeit Gib die Funktion ein (z.B. y=x^2+x−2) und lasse den Graph anzeigen! Lasse nun die Nullstellen bestimmen! 2. Möglichkeit: Gib die zugehörige Gleichung (in unserem Beispiel x^2+x−2=0) ein und lasse diese vom Taschenrechner lösen!

Lösungsbeschreibung

In diesem Video geht es um einfache und doppelte Nullstellen. Dazu nehmen wir dieses Beispiel. Wie du siehst, hat der Graph zwei Nullstellen, nämlich 2 und 0. An dieser Nullstelle schneidet der Graph die x-Achse.

Doch an dieser berührt er sie nur. Diese Nullstelle ist in Wahrheit nämlich eine doppelte Nullstelle. Und an doppelten Nullstellen wird die x-Achse immer nur berührt stattgeschnitten.

Das ist wichtig für dich, wenn du Graphen skizzieren musst. In der Regel sollst du die Nullstellen zuerst berechnen und dann den Graph skizzieren. Deshalb zeige ich dir jetzt, wie die Rechnung dazu aussehen würde.

Wie immer beim Berechnen der Nullstellen setzt du f von x gleich 0. f von x ist ja x hoch 3 minus 2x². Nun kannst du x² ausklammern. Hier bleibt die 2 übrig.

Und hier x, denn x mal x² ist x hoch 3. Die linke Seite ist nun ein Produkt aus den Faktoren x² und x-2. Ein Produkt ist 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Also setzt du die Faktoren nacheinander 0. Das ergibt die Gleichungen x² gleich 0 und x-2 gleich 0. Nun löst du diese Gleichungen.

Hier ziehst du die Wurzel. Die Wurzel aus 0 ist 0. Die Wurzel aus x² ergibt immer zwei Lösungen, nämlich eine positive und eine negative. 0 und –0 ist aber dasselbe, deshalb sind die Lösungen x1 und x2 gleich.

Also ist 0 eine doppelte Nullstelle. Nur wenn hier eine negative Zahl steht, gibt es gar keine Lösungen. Nun löst du noch diese Gleichung.

Dazu bringst du die 2 rüber. Da wir schon zwei Nullstellen haben, ist das die dritte. 2 ist eine einfache Nullstelle.

Übrigens sehen auch vierfache oder sechsfache Nullstellen so aus. Immer wenn die Vielfachheit eine gerade Zahl ist, wird die x-Achse nur berührt statt geschnitten.

Newton-Verfahren

Nicht immer ist es möglich, Nullstellen exakt zu berechnen (z.B. bei bestimmten ganzrationalen Funktionen fünften Grades und höher). Mit Hilfe des Newton-Verfahrens kannst du Nullstellen aber näherungsweise bestimmen. Ein weiteres Iterationsverfahren ist übrigens das Intervallhalbierungsverfahren.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du mit dem Newton-Verfahren Nullstellen berechnest. Es gibt Funktionen, deren Nullstellen du nicht mit den üblichen Methoden berechnen kannst, wie diese. Das ist eine ganz rationale Funktion dritten Grades.

Dafür gibt es keine Formel wie die pq-Formel oder die abc-Formel. Du kannst auch nicht x ausklammern, da hier kein x vorkommt. Für eine Polynom-Division müsstest du erst eine Nullstelle durch Raten finden.

Diese Funktion hat aber nur eine Nullstelle und diese ist auch keine glatte Zahl, also auch durch Raten hast du keine Chance. In solchen Fällen gibt es immer noch das Newton-Verfahren. Damit bestimmen wir jetzt die Nullstelle dieser Funktion auf drei Nachkommastellen genau.

Newton war übrigens ein englischer Mathematiker und Physiker. Für das Verfahren brauchst du einen Startwert. Wenn dieser nicht in der Aufgabe gegeben ist, musst du selbst einen Startwert bestimmen.

Dazu suchst du nach einem Vorzeichenwechsel. Setzt du in diese Funktion für x zum Beispiel 1 ein, kommt –1 raus. An der Stelle 1 nimmt f also den Wert –1 an.

Setzt du für x stattdessen 2 ein, kommt 2 raus. Das siehst du hier. Irgendwo dazwischen muss folglich eine Nullstelle liegen.

Gibt es also einen Vorzeichenwechsel, wie hier von – zu Plus, muss zwischen 1 und 2 eine Nullstelle liegen. Jetzt nimmst du x gleich 1 als Startwert für das Newton-Verfahren. Der Startwert wird mit x0 bezeichnet.

Hier siehst du den Startwert. Das ist sozusagen Runde 0 im Newton-Verfahren. Den Funktionswert an dieser Stelle haben wir gerade ausgerechnet.

Das war –1. Nun brauchst du noch den Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle. Hier siehst du nochmal die Ausgangsfunktion f. Diese leitest du also erstmal ab.

Die Hochzahl 3 kommt nach vorn. 0,5 mal 3 macht 1,5 und aus der 3 wird eine 2. Die Ableitung von –0,5x ist –0,5 und –1 fällt beim Ableiten weg. Setzt du hier für x1 ein, kommt 1 raus.

Nun kommt das entscheidende beim Newton-Verfahren. Du berechnest jetzt mit dieser Formel einen x-Wert, der näher an der Nullstelle dran ist als der Startwert. Wenn das x0 ist, ist der nächste Wert x1.

Hier setzt du den Startwert 1 ein. Dann kommt ein Minus und ein Bruch. Oben steht das und unten steht das.

Das ergibt 2. Diese 2 ist nun der Ausgangswert in der nächsten Runde. Das, was vorher der Startwert 1 war, ist jetzt diese 2. Du berechnest jetzt f von 2, indem du hier für x2 einsetzt. Das ergibt 2. Und dann berechnest du f' von 2, indem du hier für x2 einsetzt.

Das ergibt 5,5. Nun setzt du wieder in diese Formel ein. Der nächste x-Wert ist 2 minus das geteilt durch das.

Der nächste x-Wert ist 1,63636. Nun wiederholst du das Ganze mit diesem Wert. Die nächste Näherung ist 1,53039.

Der x-Wert hat sich nicht mehr so stark geändert wie von hier zu hier. Das bedeutet, wir kommen der Nullstelle immer näher. Nun wiederholst du das Ganze mit diesem Wert.

Jetzt ist die erste Nachkommastelle 5 schon gleich geblieben. Die Nullstelle ist also irgendwas mit 1,5. Nun wiederholst du das Ganze mit diesem x-Wert.

Die nächste Näherung ist 1,52138. Jetzt sind die ersten 3 Nachkommastellen gleich geblieben. Diese sind somit sicher.

Würdest du das Newton-Verfahren fortsetzen, könntest du die Nullstelle noch genauer berechnen. Laut Aufgabenstellung braucht das Ergebnis aber nur auf 3 Nachkommastellen genau zu sein. Und das ist hier bereits der Fall, da sich 5, 2 und 1 nicht mehr geändert haben.

Das, was ich als Runden bezeichnet habe, sind die sogenannten Iterationsschritte. Das Newton-Verfahren ist eines von verschiedenen Iterationsverfahren zur Nullstellenberechnung. Die Nullstelle xn ist also 1,52138.

Diese Nullstelle ist bis auf 3 Nachkommastellen genau. Als Lösung würde auch 1,521 reichen. Setzt du die Lösung in die Ausgangsfunktion ein, kommt diese Zahl raus.

Das ist nahezu 0. Der Graph schneidet die x-Achse also ziemlich genau an dieser Stelle. Damit ist die Aufgabe gelöst. Ich möchte dir aber noch kurz zeigen, welches Prinzip hinter dem Newton-Verfahren steckt.

Hier siehst du die Iterationsschritte und die Näherung für die Nullstelle, die wir berechnet haben. 1 war der selbstgewählte Startwert. Beim Newton-Verfahren legst du im Prinzip an dieser Stelle die Tangente an den Graphen.

Und die Nullstelle der Tangente wird der nächste x-Wert. Hier die 2. Im nächsten Schritt legst du die Tangente bei x gleich 2 an den Graphen. Ihre Nullstelle ist 1,63636.

Die Nullstelle der Tangente liegt mit jedem Schritt näher an der gesuchten Nullstelle der Funktion. Aus der Gleichung der Tangente ergibt sich durch Umstellen diese Formel. Wie genau ist nicht wichtig.

Du solltest es nur mal gehört haben.