Wurzelfunktionen

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• Was sind Wurzelfunktionen?
• Wie hängen Wurzel- und Potenzfunktionen zusammen?
• Tipps zum Umformen und Rechnen mit Wurzeln
• Definitionsbereich
• Schnittstelle mit der y-Achse
• Nullstellen

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Was sind Wurzelfunktionen?

In diesem Video siehst du Beispiele für Wurzelfunktionen und lernst typische Eigenschaften von Wurzelfunktionen kennen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video schauen wir uns Wurzelfunktionen an. Hier siehst du drei Beispiele für einfache Wurzelfunktionen. Die wichtigste ist diese.

Wurzelfunktionen beginnen im Ursprung und verlaufen nur über den positiven Teil der x-Achse. Du darfst für x also nur positive Zahlen oder 0 einsetzen. Der Definitionsbereich ist somit R0+.

Diese Menge kannst du auch als Intervall angeben. Da die 0 mit zum Intervall gehört, schreibst du hier eine eckige Klammer. Bei unendlich schreibt man immer eine runde Klammer oder eine eckige Klammer, die vom Ausdruck weg zeigt.

Eigentlich kann man die dritte Wurzel auch aus negativen Zahlen ziehen. Somit könnte man den blauen Graphen eigentlich nach links weiterzeichnen. Das gilt für alle Wurzelfunktionen mit ungeradem Wurzelexponenten, also auch fünfte Wurzel aus x, siebte Wurzel aus x und so weiter.

Um jedoch alle Wurzelfunktionen einheitlich behandeln zu können, muss man sich auf den Bereich beschränken, in dem alle definiert sind. Und das ist eben R0+. Entsprechend verlaufen die Wurzelfunktionen in diesem Definitionsbereich auch nur über den positiven Teil der y-Achse einschließlich 0. Der Wertebereich ist also ebenfalls R0+.

Alle Wurzelfunktionen haben den Punkt 0,0 gemeinsam. Und sie gehen durch den Punkt 1,1. Somit haben sie eine Nullstelle bei x gleich 0. Außerdem sind sie streng monoton steigend.

Du kannst auch streng monoton wachsend sagen. Verknüpfst oder verkettest du Wurzelfunktionen mit anderen Funktionen, können sich alle besprochenen Eigenschaften komplett ändern. Der Graph von f sieht noch wie eine typische Wurzelfunktion aus, ist aber im Koordinatensystem verschoben.

Statt im Ursprung beginnt der Graph hier. Um klarzustellen, dass dieser Punkt zum Graphen gehört, macht man einen ausgefüllten Kreis. Der Graph von g besteht aus zwei Ästen, die symmetrisch zur y-Achse sind.

Hier ist der Graph streng monoton fallend. Und hier streng monoton steigend. Auch der Graph von h besteht aus zwei Ästen.

Diese verlaufen nur über den negativen Teil der y-Achse, einschließlich 0. Hier hat sich der Wertebereich also fast komplett geändert.

Wie hängen Wurzel- und Potenzfunktionen zusammen?

Wurzel- und Potenzfunktionen sind Umkehrfunktionen zueinander. Was das bedeutet und wofür du das nutzen kannst, erfährst du hier.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie Wurzel- und Potenzfunktionen zusammenhängen. Als Beispiel nehmen wir die Potenzfunktion x². Ihr Graph ist die Standard-Normalparabel.

Wenn du jetzt diesen Teil der Parabel nimmst und an der 45°-Linie spiegelst, erhältst du den roten Graphen. Und das ist der Graph dieser Wurzelfunktion. Umgekehrt gilt das Gleiche.

Würdest du den roten Graphen an der grünen Linie spiegeln, würdest du diesen Teil der Parabel erhalten. Wurzelfunktionen sind somit Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen für x größer gleich 0. Umkehrfunktionen heben sich gegenseitig auf. Somit ist Wurzel x² einfach x. Genauso ist die Wurzel aus x² einfach x. Um Umkehrfunktionen zu erkennen, ist der Wurzelexponent entscheidend.

Wurzel x ist ja eigentlich die zweite Wurzel aus x. Die 2 wird nur immer weggelassen. Der Wurzelexponent und die Hochzahl müssen also übereinstimmen. Dann sind es Umkehrfunktionen.

Entsprechend sind auch x³ und die dritte Wurzel aus x Umkehrfunktion und so weiter.

Tipps zum Umformen und Rechnen mit Wurzeln

Durch geschicktes Umformen kannst du viele Wurzelaufgaben im Kopf lösen. Hier zeige ich dir alle Tricks dafür! Außerdem lernst du, Wurzeln als Potenzen zu schreiben.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video bekommst du Tipps zum Umformen und Rechnen mit Wurzeln. Für das Ergebnis spielt es keine Rolle, ob du zuerst potenzierst und dann die Wurzel ziehst oder umgekehrt. Am Beispiel wird das gleich klarer.

Angenommen, du willst die dritte Wurzel aus 8² ziehen. Hier rechnest du von innen nach außen. 8² ist 64.

Und die dritte Wurzel aus 64 ist 4, denn 4 mal 4 mal 4 ist 64. Stattdessen könntest du aber auch zuerst die dritte Wurzel aus 8 ziehen und das Ergebnis quadrieren. Die dritte Wurzel aus 8 ist 2, denn 2 mal 2 mal 2 ist 8. Und 2² ergibt ebenfalls 4. Solche Ausdrücke lassen sich als Potenz schreiben.

Dabei ist die Hochzahl ein Bruch. Das m kommt in den Zähler und das n kommt in den Nenner. Die dritte Wurzel aus x² ist demnach x²².

Die Hochzahl 2 wird zum Zähler. Der Wurzelexponent 3 wird zum Nenner. Auch Wurzel x lässt sich damit als Potenz schreiben.

Der Wurzelexponent ist nämlich 2. Dieser wird nur immer weggelassen. Deshalb heißt diese Wurzel auch Quadratwurzel. Und x ist ja das gleiche wie x¹.

Jetzt kannst du die Wurzel leicht als Potenz schreiben. Das ist x½. Die 1 kommt in den Zähler des Bruchs und die 2 in den Nenner.

Das solltest du dir gut merken. Multiplizierst du 2² Wurzeln, kannst du alles unter eine Wurzel schreiben. Wenn du zum Beispiel Wurzel 3 mal Wurzel 12 ausrechnen willst, ist das sehr nützlich.

Denn beide Wurzeln lassen sich nicht einfach im Kopf ziehen. Wenn du aber alles unter eine Wurzel schreibst und zusammenfasst, erhältst du die Wurzel aus 36. Und das ist einfach 6. Multiplizierst du 2 mal die gleiche Quadratwurzel, kommt das raus, was unter der Wurzel steht.

Nehmen wir als Beispiel Wurzel 5 mal Wurzel 5. Wie im Beispiel darüber kannst du alles unter eine Wurzel schreiben. 5 mal 5 ist 25. Und die Wurzel daraus ist tatsächlich 5. Diese Zwischenschritte kannst du dir natürlich sparen.

Du kannst es dir auch so merken. Wurzel 5 mal Wurzel 5 ist ja das gleiche wie Wurzel 5 zum Quadrat. Da sich Wurzelziehen und Quadrieren gegenseitig aufheben, bleibt nur die 5 übrig.

Statt die Wurzel aus einem Bruch zu ziehen, kannst du die Wurzel auch getrennt aus Zähler und Nenner ziehen. Wenn du zum Beispiel die Wurzel aus ein Neuntel ziehen willst, kannst du einfach die Wurzel aus 1 und aus 9 getrennt ziehen. Die Wurzel aus 1 ist 1 und die Wurzel aus 9 ist 3. Die Wurzel aus ein Neuntel ist somit ein Drittel.

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich gibt an, welche Zahlen du für x einsetzen darfst. Wurzelfunktionen sind nämlich nicht für alle Zahlen definiert. Hier lernst du, wie du den Definitionsbereich bestimmst. Hinweis: Multiplizierst oder teilst du eine Ungleichung durch eine negative Zahl, dreht sich das Relationszeichen um: ≥ wird zu ≤ und umgekehrt.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du den Definitionsbereich einer Wurzelfunktion bestimmst. Dazu nehmen wir dieses Beispiel. Das, was unter der Wurzel steht, muss immer größer oder gleich 0 sein, da du aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kannst.

x plus 1 muss also größer gleich 0 sein. Nun löst du diese Ungleichung nach x auf. Dazu bringst du einfach die 1 rüber.

x muss somit größer gleich –1 sein. Der Definitionsbereich gibt an, welche Zahlen man für x einsetzen darf. Der Definitionsbereich sind dann alle reellen Zahlen, die größer oder gleich –1 sind.

Also alle x-Element r, für die gilt x größer gleich –1. Hier siehst du den Graph von f. Er verläuft nur dort, wo x – 1 oder größer ist. Statt Definitionsbereich sagt man übrigens auch Definitionsmenge.

Schnittstelle mit der y-Achse

So berechnest du die Schnittstelle des Graphen mit der y-Achse und gibst den Schnittpunkt bzw. den gemeinsamen Punkt mit der y-Achse an.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du die Schnittstelle einer Wurzelfunktion mit der y-Achse bestimmst. Als Beispiel nehmen wir diese Funktion. Am Graphen siehst du die Schnittstelle leicht.

Hier ist die Schnittstelle 1. Hast du kein Schaubild zur Verfügung, kannst du sie auch berechnen. Die Schnittstelle ist f von 0. Setze also hier und hier für x 0 ein. 0 plus 1 ist 1 und die Wurzel aus 1 ist ebenfalls 1. Sollst du den Schnittpunkt angeben, brauchst du zwei Koordinaten.

1 ist die y-Koordinate und die x-Koordinate ist immer 0. Das siehst du, wenn du von hier aus runter auf die x-Achse gehst. Deshalb haben wir auch hier für x 0 eingesetzt. In einer Textaufgabe könnte statt dem Schnittpunkt auch der gemeinsame Punkt mit der y-Achse gesucht sein.

Dann ist dieser Punkt gemeint. Einfache Wurzelfunktionen wie Wurzel X schneiden die y-Achse sowieso nicht, sondern berühren sie nur. Deshalb ist 0,0 dann kein Schnittpunkt, sondern einfach der gemeinsame Punkt mit der y-Achse.

Der Rechenweg wäre aber genauso wie in diesem Beispiel.

Nullstellen

So berechnest du die Nullstellen des Graphen und gibst die Schnittpunkte bzw. gemeinsamen Punkte mit der x-Achse an.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du die Nullstellen einer Wurzelfunktion bestimmst. Dazu nehmen wir dieses Beispiel. Am Graphen siehst du die Nullstelle leicht.

Sie ist bei –1. Hast du kein Schaubild zur Verfügung, kannst du sie auch berechnen. Wie bei jeder Funktion setzt du dazu f von x gleich 0. f von x ist ja die Wurzel aus x plus 1. Um nach x aufzulösen, quadrierst du die Gleichung.

Quadrieren und Wurzel ziehen heben sich gegenseitig auf. Und links bleibt x plus 1 übrig. Rechts schreibst du statt 0, 0 zum Quadrat.

Das ist 0, denn 0 mal 0 ist immer noch 0. Nun bringst du noch die 1 rüber. Und schon hast du die Nullstelle. Sollst du den gemeinsamen Punkt mit der x-Achse angeben, brauchst du zwei Koordinaten.

–1 ist die x-Koordinate. Und die y-Koordinate ist immer 0. Das siehst du, wenn du von hier aus rüber auf die y-Achse gehst. In diesem Beispiel wird die x-Achse nur berührt und nicht geschnitten.

Natürlich gibt es auch Wurzelfunktionen, die die x-Achse schneiden. In einer Textaufgabe kann dann statt dem gemeinsamen Punkt mit der x-Achse der Schnittpunkt gesucht sein. Damit ist einfach dieser Punkt gemeint.

Da Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, musst du zum Schluss immer eine Probe machen. Dazu setzt du die gefundene Lösung hier für x ein und prüfst, ob das eine wahre Aussage ergibt. Wie das geht, zeige ich dir auf der nächsten Seite.

Hier schreibst du also statt x –1. –1 plus 1 ist 0. Und die Wurzel aus 0 ist ebenfalls 0. 0 ist gleich 0 ist eine wahre Aussage, was du mit w.a. abkürzen kannst. Somit ist –1 die Nullstelle von f.