ln-Funktionen

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• Was sind ln-Funktionen?
• Die natürliche Logarithmusfunktion
• Tipps zum Umformen von Logarithmen
• Definitionsbereich
• Schnittstelle mit der y-Achse
• Nullstellen
• Verhalten im Unendlichen bzw. am Rand des Definitionsbereichs

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Was sind ln-Funktionen?

In diesem Video zeige ich dir Beispiele für ln-Funktionen und erkläre dir, was an ihren Graphen besonders ist.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video siehst du Beispiele für ln-Funktionen. ln von x ist die natürliche Logarithmusfunktion. Verknüpfst oder verkettest du diese mit anderen Funktionen, entstehen kompliziertere ln-Funktionen.

Das, was in der Klammer steht, nennt man das Argument der ln-Funktion. Das Argument muss positiv sein. Hier darfst du für x zum Beispiel nicht 0 oder negative Zahlen einsetzen.

Wie du siehst, verläuft der blaue Graph deshalb nur über den positiven Teil der x-Achse. Die kreisförmige Aussparung zeigt an, dass der Punkt 0,0 nicht zum Graph gehört. Denn für x darfst du ja gar nicht 0 einsetzen.

Hier dagegen darfst du für x auch negative Zahlen einsetzen, da das Quadrat davon positiv ist. Nur 0 darfst du nicht einsetzen, da 0 zum Quadrat immer noch 0 ist. Deshalb hat der rote Graph durch x gleich 0 eine sogenannte Asymptote.

Er nähert sich der Asymptote von links und rechts immer mehr an, aber berührt sie nie.

Die natürliche Logarithmusfunktion

Hier erfährst du die wichtigsten Fakten über die natürliche Logarithmusfunktion, die du am besten auswendig lernst.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video geht es um die natürliche Logarithmusfunktion ln von x. Hier siehst du ihren Graph. Der Graph verläuft nur über den positiven Teil der x-Achse. Das heißt lnx ist nur definiert für x größer 0. Der Definitionsbereich sind also die positiven reellen Zahlen.

Statt Definitionsbereich sagt man auch Definitionsmenge. Der Definitionsbereich hat immer mit der x-Achse zu tun. Der Wertebereich dagegen hat immer mit der y-Achse zu tun.

Der Graph verläuft über die komplette y-Achse. Denn hier rechts steigt der Graph immer weiter an, wenn auch sehr langsam. Der Wertebereich sind somit alle reellen Zahlen.

Statt Wertebereich sagt man auch Wertemenge. Bei x gleich 1 hat der Graph eine Nullstelle. Nähern wir uns dem linken Rand des Definitionsbereichs, also der Null auf der x-Achse, fällt der Graph steil nach unten.

Die Funktionswerte gehen gegen minusunendlich. Das schreibst du so auf. f von x geht gegen minusunendlich für x gegen 0. Die y-Achse ist somit senkrechte Asymptote.

Das bedeutet, der Graph nähert sich der y-Achse beliebig genau an, aber berührt sie nie. Auch wenn das auf dem Schaubild anders wirkt. Die y-Achse wird durch die Gleichung x gleich 0 beschrieben.

Gehen wir auf der x-Achse in diese Richtung gegen unendlich, dann steigen die Funktionswerte immer weiter an. f von x geht also gegen unendlich für x gegen unendlich. ln von x ist die Umkehrfunktion von e hoch x. Das bedeutet, wenn du den Graph an der 45°-Linie spiegelst, erhältst du den Graph der e-Funktion.

Und umgekehrt. Es bedeutet außerdem, dass sich beide Funktionen gegenseitig aufheben. ln von e hoch x ist einfach x. Und umgekehrt genauso.

e hoch lnx ist x. Das brauchst du, um Gleichungen zu lösen.

Tipps zum Umformen von Logarithmen

In diesem Video gebe ich dir ein paar Tipps, wie du Logarithmen umformen und dadurch vereinfachen kannst. Diese Tipps sind eigentlich die 3 Logarithmengesetze, aber Tipps klingt einfach besser!

Lösungsbeschreibung

Manchmal musst du eine Gleichung erst umformen, damit du sie lösen kannst. In diesem Video gebe ich dir ein paar Tipps dafür. Diese Tipps sind eigentlich die 3-Logarithmen-Gesetze, aber Tipps klingt einfach besser.

Mit Argument bezeichnet man das, was in der Klammer steht. Ist das Argument eine Potenz wie a hoch r, dann kannst du das r als Faktor vor den Logarithmus ziehen. Zum Beispiel ist ln von x² das gleiche wie 2·ln von x. Umgekehrt funktioniert das natürlich auch.

Einen Faktor vor dem Logarithmus kannst du als Hochzahl in die Klammer ziehen. Steht in der Klammer ein Produkt wie a·b, kannst du dafür ln von a plus ln von b schreiben. Zum Beispiel ist ln von 2x das gleiche wie ln von 2 plus ln von x. Steht in der Klammer ein Quotient wie a·b, kannst du dafür ln von a minus ln von b schreiben.

Zum Beispiel ist ln von 1·x das gleiche wie ln von 1 minus ln von x. Das kannst du sogar noch weiter vereinfachen. ln von 1 ist nämlich 0, was du auswendig wissen solltest. Die 0 kann man auch weglassen.

Minus ln von x ist somit das gleiche wie ln von 1·x. Bei Anwendung dieser Gesetze ändert sich allerdings manchmal der Definitionsbereich. Das Argument muss ja immer größer als 0 sein.

Hier darfst du für x somit alles außer 0 einsetzen, also auch negative Zahlen, da das Quadrat davon ja immer positiv ist. Aber hier darfst du nur positive Zahlen einsetzen. Der Definitionsbereich hat sich also geändert.

Behalte diesen Hinweis im Hinterkopf.

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich gibt an, welche Zahlen du für x einsetzen darfst. ln-Funktionen sind nämlich nicht für alle Zahlen definiert. Hier lernst du, wie du den Definitionsbereich bestimmst. Hinweis: Multiplizierst oder teilst du eine Ungleichung durch eine negative Zahl, dreht sich das Relationszeichen um: > wird zu < und umgekehrt.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du den Definitionsbereich einer ln-Funktion bestimmst. Dazu nehmen wir dieses Beispiel. Das, was beim ln in der Klammer steht, muss immer größer als 0 sein.

x plus 1 muss also größer als 0 sein. Nun löst du diese Ungleichung nach x auf. Dazu bringst du einfach die 1 rüber.

x muss somit größer als minus 1 sein. Der Definitionsbereich gibt an, welche Zahlen man für x einsetzen darf. Der Definitionsbereich sind dann alle reellen Zahlen, die größer sind als minus 1. Also alle x-Element r, für die gilt, x ist größer als minus 1. Hier siehst du den Graph von f. Er verläuft nur dort, wo x größer ist als minus 1. Durch minus 1 verläuft eine senkrechte Asymptote.

Diese nähert sich der Graph von rechts immer weiter an, ohne sie jedoch zu berühren. Da alle Punkte auf dieser Gerade die x-Koordinate minus 1 haben, ist das auch die Gleichung der Asymptote. Statt Definitionsbereich sagt man übrigens auch Definitionsmenge.

Schnittstelle mit der y-Achse

So berechnest du die Schnittstelle des Graphen mit der y-Achse und gibst den Schnittpunkt an.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du die Schnittstelle einer ln-Funktion mit der y-Achse berechnest. Als Beispiel nehmen wir diese Funktion. Am Graphen siehst du die Schnittstelle leicht.

Hier ist die Schnittstelle 2. Hast du kein Schaubild zur Verfügung, kannst du sie auch berechnen. Die Schnittstelle ist f von 0. Setze also hier und hier für x 0 ein. 0 plus 1 ist 1. Und ln von 1 ist 0. Denn 1 ist ja die Nullstelle des natürlichen Logarithmus.

Sowas musst du auswendig wissen. Somit kommt wie erwartet 2 raus. Sollst du den Schnittpunkt angeben, brauchst du zwei Koordinaten.

2 ist die y-Koordinate. Und die x-Koordinate ist immer 0. Das siehst du, wenn du von hier aus runter auf die x-Achse gehst. Deshalb haben wir ja auch hier für x 0 eingesetzt.

In einer Textaufgabe könnte statt dem Schnittpunkt auch der gemeinsame Punkt mit der y-Achse gesucht sein. Dann ist dieser Punkt gemeint. Schauen wir uns zum Vergleich noch die natürliche Logarithmusfunktion an.

Wie du siehst, schneidet der Graph die y-Achse nicht. Sondern die y-Achse ist eine senkrechte Asymptote. Es gibt also keine Schnittstelle.

Wir könnten auch keine Schnittstelle berechnen, da wir für x ja gar nicht 0 einsetzen dürfen. Untertitel der Amara.org-Community

Nullstellen

So berechnest du die Nullstellen des Graphen und gibst die gemeinsamen Punkte mit der x-Achse an.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du die Nullstellen einer ln-Funktion bestimmst. Als Beispiel nehmen wir die natürliche Logarithmusfunktion. Am Graphen siehst du die Nullstelle leicht.

Sie ist bei 1. Hast du kein Schaubel zur Verfügung, kannst du sie auch berechnen. Wie bei jeder Funktion setzt du dazu f von x gleich 0. f von x ist ja lnx. Um nach x aufzulösen, benutzt du die Umkehrfunktion e hoch x. Das heißt, du exponierst die Gleichung.

Die e-Funktion und die ln-Funktion heben sich gegenseitig auf und links bleibt x übrig. Rechts schreibst du statt 0 e hoch 0. Das ist 1. Merke dir, irgendwas hoch 0 ist immer 1, außer 0 hoch 0. Sollst du den Schnitt Punkt angeben, brauchst du zwei Koordinaten. 1 ist die x-Koordinate und die y-Koordinate ist immer 0. Das siehst du, wenn du von hier aus rüber auf die y-Achse gehst.

In einer Textaufgabe könnte statt dem Schnitt Punkt auch der gemeinsame Punkt mit der x-Achse gesucht sein. Dann ist dieser Punkt gemeint.

Verhalten im Unendlichen bzw. am Rand des Definitionsbereichs

Bei einer ln-Funktion ist nicht nur das Verhalten im Unendlichen interessant, sondern auch das Verhalten am Rand ihres Definitionsbereiches. Die natürliche Logarithmusfunktion f(x)=lnx ist z.B. nur für x>0 definiert. x=0 ist somit der linke Rand ihres Definitionsbereichs. Aber wie verhält sich der Graph, wenn er sich diesem Rand nähert? Steigt oder fällt er unendlich? Solche Fragen solltest du beantworten können. In diesem Video zeige ich dir 3 Regeln, die dir dabei helfen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video geht es um das Verhalten einer ln-Funktion im unendlichen bzw. am Rand ihres Definitionsbereichs. Dazu zeige ich dir drei Regeln.

Regel 1. Präge dir den Verlauf von lnx ein. lnx geht gegen minusunendlich für x gegen 0. Denn hier fällt der Graph immer weiter. Die y-Achse ist eine senkrechte Asymptote, die durch die Gleichung x gleich 0 beschrieben wird.

Und lnx geht gegen unendlich für x gegen unendlich. Denn hier steigt der Graph immer weiter. Links hat der Definitionsbereich einen Rand, nämlich 0. Rechts hat er keinen Rand, sondern ist unendlich.

Mithilfe dieser Regel können wir das Verhalten weiterer ln-Funktionen bestimmen, wie zum Beispiel diese hier. Wie du siehst, wurde dieser Graph einfach ein wenig nach links und nach oben verschoben. Das haben die 1 und die 2 bewirkt.

Wie du den Definitionsbereich dieser Funktion bestimmst, habe ich dir schon in einem anderen Video gezeigt. Der Definitionsbereich sind die reellen Zahlen, die größer sind als minus 1. Der Graph verläuft somit nur dort, wo x größer ist als minus 1. Der linke Rand des Definitionsbereichs ist jetzt also minus 1. Rechts hat der Definitionsbereich keinen Rand, sondern ist unendlich. Das hat sich nicht verändert.

Da der Graph einfach nur verschoben wurde, bleibt sein Verhalten natürlich gleich. Hier ging er am linken Rand gegen minus unendlich. Deshalb ist das hier genauso.

Außerdem hat dieser Graph am linken Rand eine Asymptote. Deshalb ist das hier genauso, nur dass der linke Rand bei x gleich minus 1 ist statt bei x gleich 0. Für x gegen unendlich geht dieser Graph gegen unendlich. Deshalb ist das hier genauso.

Kommen wir zur Regel 2. Mit dieser Regel kannst du das Verhalten von ln-Funktionen bestimmen, die diese Form haben. n ist dabei eine natürliche Zahl, wie 1, 2, 3 usw. Ein Beispiel dafür siehst du hier.

x hoch n ist hier x². Und danach kommt lnx. x² ist für alle reellen Zahlen definiert.

Aber ln von x ist nur für positive Zahlen definiert. Somit ist der Definitionsbereich R+, genau wie bei der natürlichen Logarithmusfunktion. Links hat der Definitionsbereich somit einen Rand, nämlich 0. Rechts hat er keinen Rand, sondern ist unendlich.

Nun brauchst du gar nicht lange zu überlegen, was hier hinkommt. Das schreibst du einfach von oben ab, da unsere Funktion ja genau diese Form hat. Hier siehst du den Graph dieser Funktion.

x gegen 0 bedeutet, dass du auf der x-Achse gegen 0 gehst. f von x gegen 0 bedeutet, dass die Funktionswerte gegen 0 gehen. Diese liest du auf der y-Achse ab.

Die Funktionswerte fallen, werden sogar negativ, doch dann steigen sie wieder und gehen gegen 0. Damit deutlich wird, dass der Punkt 0,0 nicht zum Graphen gehört, machst du dort eine kreisförmige Aussparung. Denn wir dürfen für x ja gar nicht 0 einsetzen. x gegen unendlich bedeutet, dass du auf der x-Achse immer weiter nach rechts gehst.

Und wie du siehst, steigt der Graph hier immer weiter an. Er geht also gegen unendlich. Kommen wir zur letzten Regel.

Mit dieser Regel kannst du das Verhalten von ln-Funktionen bestimmen, die diese Form haben. n ist dabei eine natürliche Zahl, wie 1, 2, 3 usw. Ein Beispiel dafür siehst du hier.

x hoch n ist bei uns x. Das heißt, n ist 1 und 1 kann man weglassen. Der Nenner darf positiv oder negativ sein, nur nicht 0. ln von x ist aber nur für positive x definiert. Somit ist der Definitionsbereich wieder R+, wie bei der natürlichen Logarithmusfunktion.

Links hat der Definitionsbereich somit einen Rand, nämlich 0. Rechts hat er keinen Rand, sondern ist unendlich. Nun brauchst du gar nicht lange zu überlegen, was hier hinkommt. Das schreibst du einfach von hier ab, da unsere Funktion ja genau diese Form hat.

Hier siehst du den Graph dieser Funktion. x gegen 0 bedeutet, dass du auf der x-Achse gegen 0 gehst. Und wie du siehst, fällt der Graph hier immer weiter.

Er geht also gegen minusunendlich. Somit ist die y-Achse eine senkrechte Asymptote für x gegen 0. x gegen unendlich bedeutet, dass du auf der x-Achse immer weiter nach rechts gehst. Und wie du siehst, kommt der Graph der x-Achse hier immer näher.

Das heißt, er geht gegen 0. Somit ist die x-Achse eine waagerechte Asymptote für x gegen unendlich.