Sinus- und Kosinusfunktionen

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• Die Sinusfunktion
• Die Kosinusfunktion
• Die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion
• Einfluss der Parameter a, b, c und d. a: Streckung / Stauchung in y-Richtung
• b: Streckung / Stauchung in x-Richtung
• c: Verschiebung an der x-Achse
• d: Verschiebung an der y-Achse
• So skizzierst du eine komplizierte Sinusfunktion
• So bestimmst du zu einem Graph die Funktionsgleichung

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Die Sinusfunktion

Lösungsbeschreibung

In diesem Video stelle ich dir die Sinusfunktion vor. Hier siehst du den Graph der Sinusfunktion. Als erstes geht es um die Einteilung der x-Achse.

Hier liegt Pi. Die Kreiszahl Pi ist eine irrationale Zahl. Merke dir, dass Pi rund 3,14 ist.

Wenn hier Pi ist, dann müssen hier logischerweise 2 Pi sein. Hier sind Pi Halbe, hier sind 3 Halbe Pi und so weiter. Das ist die Einteilung der x-Achse im Bogenmaß.

Genauso gut können wir sie im Gradmaß einteilen. Pi entspricht 180°. Folglich sind hier 360°, hier sind 90° und so weiter.

Die Sinusfunktion hat die Periode 2 Pi. Das bedeutet, nach 2 Pi wiederholt sich der Kurvenverlauf. Du könntest also diesen Abschnitt des Graphen kopieren und immer wieder davor und dahinter anfügen.

Die Nullstellen liegen bei 0, Pi, 2 Pi, –Pi, –2 Pi und so weiter. Da die Sinusfunktion periodisch ist, hat sie unendlich viele Nullstellen, die wir nicht alle einzeln aufschreiben können. Da die Nullstellen aber vielfache von Pi sind, können wir einfach K mal Pi schreiben, wobei K eine beliebige ganze Zahl ist.

Setzt du für K 1 ein, erhältst du die Nullstelle Pi. Setzt du für K –2 ein, erhältst du die Nullstelle –2 Pi und so weiter. Wichtig bei der Sinusfunktion ist noch der Wertebereich.

Alle Funktionswerte liegen nämlich zwischen –1 und 1, die Grenzen eingeschlossen. Der Graph bewegt sich nur innerhalb der orangen Linien. Ein paar Funktionswerte solltest du auswendig wissen oder dir herleiten können.

Zum Beispiel den Sinus von 90°. Dazu suchst du 90° auf der x-Achse, gehst hoch auf den Funktionsgraphen und rüber zur y-Achse. Dort liest du den zugehörigen Funktionswert 1 ab.

Sinus von 90° ist also 1. 90° entsprechen Pi halbe im Bogenmaß. Also ist Sinus von Pi halbe ebenfalls 1. Den Sinus von 90° bzw. von Pi halbe kannst du auch mit deinem Taschenrechner ausrechnen.

Je nachdem, ob du im Gradmaß oder im Bogenmaß rechnen willst, musst du deinen Taschenrechner entsprechend einstellen. Was bei dir eingestellt ist, erkennst du oben im Display. Der Buchstabe D oder die Abkürzung DEG stehen für den englischen Begriff degree, also Grad.

Der Buchstabe R oder die Abkürzung Rad steht für Bogenmaß. Wie du deinen Taschenrechner umstellst, steht in der Bedienungsanleitung. Die meisten Taschenrechner muss man vorher umstellen.

Bei manchen kann man die Einheit aber auch direkt eingeben. Weitere wichtige Werte sind Sinus von 0° bzw. Sinus von 0 ist 0, denn hier hat der Graph eine Nullstelle.

Ebenso bei 180° bzw. bei Pi und bei 360° bzw. bei 2Pi.

Der Sinus von 270° bzw. 3 halbe Pi ist –1. Es macht wenig Sinn, diese Werte auswendig zu lernen.

Besser ist es, wenn du sie dir herleiten kannst, indem du den Graphen der Sinusfunktion skizzierst oder den Einheitskreis zur Hilfe nimmst. Den Einheitskreis zeige ich dir in einem anderen Video.

Die Kosinusfunktion

Lösungsbeschreibung

In diesem Video stelle ich dir die Cosinus-Funktion vor. Im letzten Video haben wir die Sinus-Funktion besprochen, deren Graph hier rot dargestellt ist. Verschiebst du diesen Graph um Pi halbe nach links, erhältst du den Graph der Cosinus-Funktion und umgekehrt.

Die Periode und der Wertebereich der Cosinus-Funktion und der Sinus-Funktion sind gleich. Die Periode ist 2Pi, das bedeutet, nach 2Pi wiederholt sich der Kurvenverlauf. Du könntest also diesen Abschnitt des Graphen kopieren und immer wieder davor und dahinter anfügen.

Die Funktionswerte liegen zwischen –1 und 1, die Grenzen eingeschlossen. Der Graph bewegt sich nur innerhalb der orangen Linien. Die Nullstellen liegen bei Pi halbe, 3 halbe Pi, –Pi halbe, –3 halbe Pi und so weiter.

Da die Cosinus-Funktion periodisch ist, hat sie unendlich viele Nullstellen, die wir nicht alle einzeln aufschreiben können. Der Abstand zwischen zwei benachbarten Nullstellen ist jedoch immer Pi. Also erreichst du jede beliebige Nullstelle, indem du von Pi halbe aus in Schritten der Länge Pi immer weiter nach rechts oder nach links gehst.

Das schreibt man so auf. Die Nullstellen sind Pi halbe plus kPi, wobei k eine beliebige ganze Zahl ist. k ist im Prinzip die Anzahl der Schritte und ein Schritt hat die Länge Pi.

Ist k positiv, gehst du nach rechts, ist k negativ, gehst du nach links. Setzt du für k zum Beispiel die Zahl 1 ein, erreichst du die Nullstelle 3 halbe Pi. Setzt du für k die Zahl –1 ein, erreichst du die Nullstelle –Pi halbe.

Setzt du für k die Zahl –0 ein, bleibst du bei der Nullstelle –Pi halbe. Ein paar Funktionswerte solltest du auswendig wissen oder dir herleiten können, zum Beispiel den Kosinus von 0°. Dazu suchst du 0° auf der x-Achse, gehst hoch auf den Funktionsgrafen und liest den zugehörigen Funktionswert auf der y-Achse ab.

Kosinus von 0° ist 1. 0° ist auch 0 im Bogenmaß, also ist Kosinus von 0 ebenfalls 1. Da die Kosinusfunktion die Periode 2Pi hat, ist auch Kosinus von 2Pi gleich 1. Da 2Pi 360° entsprechen, gilt Kosinus von 360° gleich 1. Weitere wichtige Werte sind Kosinus von 90° bzw. Kosinus von Pi halbe ist 0, denn hier hat der Graph eine Nullstelle. Ebenso bei 270° bzw.

bei 3 halbe Pi. Der Kosinus von 180° bzw. Pi ist –1.

Es macht wenig Sinn, diese Werte auswendig zu lernen. Besser ist es, wenn du sie dir herleiten kannst, indem du den Graphen der Kosinusfunktion skizzierst oder den Einheitskreis zur Hilfe nimmst. Den Einheitskreis zeige ich dir in einem anderen Video.

Die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion

Die Graphen der einfachen Sinus- und Kosinusfunktion können gestreckt, gestaucht und verschoben werden. In diesem Video zeige ich dir, welche 4 Parameter das in der Funktionsgleichung widerspiegeln.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video stelle ich dir die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion vor. f von x gleich Sinus x ist die einfachste Sinusfunktion, die es gibt. Hier siehst du den Graph dazu.

Sinusfunktionen können aber viel komplizierter aussehen, wie zum Beispiel diese. Offenbar sieht auch der Graph ganz anders aus. Zum Beispiel ist der maximale Funktionswert jetzt 3 und nicht mehr 1, wie bei Sinus x. Die einzelnen Bestandteile, die dazu gekommen sind, werden in Büchern immer mit a, b, c und d bezeichnet.

Das ist die Form einer allgemeinen Sinusfunktion. Die allgemeine Kosinusfunktion sieht entsprechend so aus. Alle vier Parameter haben einen speziellen Einfluss auf den Graphen.

Was sie genau bewirken, zeige ich dir in den folgenden Videos.

Einfluss der Parameter a, b, c und d. a: Streckung / Stauchung in y-Richtung

In den folgenden Videos siehst du genau, welchen Einfluss die einzelnen Parameter auf den Graphen haben. Dabei spielt es keine Rolle, ob es sich um eine Sinus- oder Kosinusfunktion handelt. Mit dem Parameter a kannst du den Graphen in y-Richtung strecken bzw. stauchen. Wie das geht, zeige ich dir in diesem Video.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, was das A in der allgemeinen Sinusfunktion bzw. Kosinusfunktion bewirkt. Die folgenden Ausführungen gelten also für beide, auch wenn wir als Beispiel nur die Sinusfunktion betrachten.

Dabei gehen wir von dieser einfachen Sinusfunktion aus, die du bereits kennst. A ist der Faktor vor Sinus X. Hier ist A1, den Faktor 1 schreibt man aber nicht extra hin. Hier ist A2.

Dadurch wird der Graph in Y-Richtung um den Faktor 2 gestreckt. Das heißt, alle Funktionswerte verdoppeln sich. Aus 1 wird 2. Aus –1 wird –2.

Die Nullstellen bleiben natürlich erhalten, denn 0 mal 2 ist immer noch 0. Ist A größer als 1, wird der Graph um den Faktor A gestreckt. Beim nächsten Beispiel ist A ein Halb. Im Vergleich zur einfachen Sinusfunktion wird der Graph nun in Y-Richtung gestaucht.

Alle Funktionswerte werden mit dem Faktor ein Halb multipliziert. Das heißt, sie werden halbiert. Aus 1 wird ein Halb.

Aus –1 wird –ein Halb. Die Nullstellen bleiben natürlich erhalten, denn 0 mal ein Halb ist immer noch 0. Ist A zwischen 0 und 1, wird der Graph um den Faktor A gestaucht. Nehmen wir nochmal die Funktion g von x und schreiben zusätzlich ein Minuszeichen vor die 2. Nun wird der blaue Graph an der x-Achse gespiegelt.

Ist A negativ, wird der Graph also zusätzlich an der x-Achse gespiegelt. Der Ausschlag nach oben bzw. unten wird als Amplitude bezeichnet.

Die Amplitude ist der Betrag von A. Die Amplitude ist hier und hier, also jeweils 2. Beim Betrag lässt man das Minuszeichen nämlich weg. Und hier ist die Amplitude 1.

b: Streckung / Stauchung in x-Richtung

Mit dem Parameter b kannst du den Graphen in x-Richtung strecken bzw. stauchen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, was das b in der allgemeinen Sinusfunktion bzw. Cosinusfunktion bewirkt. Die folgenden Ausführungen gelten also für beide, auch wenn wir als Beispiel nur die Sinusfunktion betrachten.

Dabei gehen wir von dieser einfachen Sinusfunktion aus, die du bereits kennst. b ist der Faktor Form x. Hier ist b1. Eine 1 schreibt man aber nicht extra hin.

Hier ist b2. Dadurch wird der Graph in x-Richtung gestaucht. Das erkennst du gut an den Nullstellen.

Die Nullstelle bei Pi ist jetzt bei Pi halber. Ist b größer als 1, wird der Graph also gestaucht. Um den Faktor zu bestimmen, rechnest du 1 geteilt durch b. Setzt du für b die 2 ein, ergibt das den Faktor 1 halb.

Auch die Periode ändert sich dadurch. Während die einfache Sinusfunktion die Periode 2Pi hat, hat der blaue Graph die Periode Pi. Denn schon nach Pi ist eine komplette Schwingung abgeschlossen.

Die Periode wird mit dieser Formel berechnet. Wenn du nun für b2 einsetzt, kommt tatsächlich Pi raus. Beim nächsten Beispiel ist b 0,5.

Dadurch wird der Graph in x-Richtung gestreckt. Das erkennst du wieder gut an den Nullstellen. Die Nullstelle bei Pi ist jetzt bei 2Pi.

Und auch die Periode ändert sich wieder. Ist b also zwischen 0 und 1, wird der Graph gestreckt. Um den Faktor zu bestimmen, setzt du für b 0,5 ein.

1 geteilt durch 0,5 ergibt den Faktor 2. Im Prinzip kann b auch negativ sein, aber dieser Fall wird im Unterricht nicht behandelt. Die Sinusfunktion wäre dann zusätzlich an der x-Achse gespiegelt, die Cosinusfunktion aber nicht.

c: Verschiebung an der x-Achse

Mit dem Parameter c kannst du den Graphen entlang der x-Achse verschieben.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, was das c in der allgemeinen Sinusfunktion bzw. Cosinusfunktion bewirkt. Die folgenden Ausführungen gelten also für beide, auch wenn wir als Beispiel nur die Sinusfunktion betrachten.

Dabei gehen wir von dieser einfachen Sinusfunktion aus, die du bereits kennst. c steht hier in der Klammer. Da hier nichts nach dem x kommt, ist c praktisch 0. Hier ist c Pi und wegen dem Minus wird der Graph um Pi nach rechts verschoben.

Das erkennst du gut an den Hochpunkten. Bei 0,5 Pi war ein Hochpunkt. Dieser ist jetzt bei 1,5 Pi.

Hier ist das nächste Beispiel. c ist Pi Halbe und wegen dem Plus wird der Graph diesmal nach links verschoben. Das erkennst du wieder gut an den Hochpunkten.

Bei Pi Halbe hatte der rote Graph einen Hochpunkt. Dieser ist jetzt bei 0.

d: Verschiebung an der y-Achse

Mit dem Parameter d kannst du den Graphen entlang der y-Achse verschieben.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, was das d in der allgemeinen Sinusfunktion bzw. Cosinusfunktion bewirkt. Die folgenden Ausführungen gelten also für beide, auch wenn wir als Beispiel nur die Sinusfunktion betrachten.

Dabei gehen wir von dieser einfachen Sinusfunktion aus, die du bereits kennst. d ist der Summand hinter dem Sinus. Da hier nichts nach Sinus x kommt, ist d praktisch 0. Hier ist d 2 und wegen dem Plus wird der Graph um 2 nach oben verschoben.

Das erkennst du gut an der Schnittstelle mit der y-Achse. Vorher war die Schnittstelle bei 0, jetzt ist sie bei 2. Hier ist das nächste Beispiel. d ist 1 und wegen dem Minus wird der Graph diesmal nach unten verschoben.

Die Schnittstelle mit der y-Achse ist nun bei –1. Die Reihenfolge könnte übrigens auch vertauscht sein, sodass zum Beispiel hier die 2 zuerst kommt.

So skizzierst du eine komplizierte Sinusfunktion

In diesem Video zeige ich dir, wie du den Graph einer komplizierten Sinusfunktion skizzierst. Genauso würdest du auch bei einer Kosinusfunktion vorgehen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du den Graph einer allgemeinen Sinusfunktion skizzierst. Genauso würdest du auch bei einer Cosinusfunktion vorgehen. Das ist unser Beispiel.

Nun musst du innerhalb der Klammer erstmal die 2 ausklammern. Hier muss dann Pi Halbe stehen, denn Pi Halbe mal 2 ist Pi. Nun leiten wir Schritt für Schritt den zugehörigen Graph aus dem Graphen der einfachen Sinusfunktion her.

A ist 3. A bewirkt eine Streckung um den Faktor 3 in Y-Richtung. Den roten Graphen blende ich erstmal aus, damit das Schaubild nicht zu unübersichtlich wird. B ist 2. B bewirkt eine Stauchung um den Faktor 1 Halb in X-Richtung.

Den letzten Graphen blende ich wieder aus. C ist Pi Halbe. Wegen dem Minus folgt daraus eine Verschiebung um Pi Halbe nach rechts.

Den letzten Graphen blende ich wieder aus. D ist 1. Wegen dem Plus folgt daraus eine Verschiebung um 1 nach oben. Hier siehst du zum Vergleich nochmal die einfache Sinusfunktion, mit der wir gestartet sind.

Mit Hilfe von B können wir auch leicht die Periode berechnen. Dazu teilst du 2Pi durch B, also durch 2. Die Periode ist Pi. Am Graph ist das nicht so leicht zu erkennen, weil der Graph noch nach oben verschoben wurde.

Du kannst dir aber eine neue Mittellinie denken. Sie muss so liegen, dass der Ausschlag nach oben genauso groß ist wie der Ausschlag nach unten. Und jetzt siehst du, dass eine komplette Schwingung wirklich bei Pi abgeschlossen ist.

Vielen Dank!

So bestimmst du zu einem Graph die Funktionsgleichung

Hier zeige ich dir, wie du zum Graphen einer Sinusfunktion die zugehörige Funktionsgleichung ermittelst. Genauso würdest du auch bei einer Kosinusfunktion vorgehen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du aus dem Graphen einer Sinusfunktion die zugehörige Funktionsgleichung ermittelst. Genauso würdest du auch bei einer Kosinusfunktion vorgehen. Suche dir zunächst die Mittellinie.

Von hier aus ist der Abstand zum Hoch- und Tiefpunkt gleich groß. Dieser Abstand ist die Amplitude, also 2. a entspricht der Amplitude. Die Periode ist offensichtlich 6, da bei 6 eine komplette Schwingung abgeschlossen ist.

Mithilfe der Periode kannst du b berechnen. Stelle dazu die Formel für die Periode nach b um. Rechne mal b und teile nun durch p. Nun setzt du für p 6 ein.

2 und 6 kürzen sich. b ist somit pi Drittel. Der Graph der einfachen Sinusfunktion wurde nicht entlang der x-Achse verschoben.

c ist also 0. Der Graph wurde allerdings um 1 nach oben verschoben, da die Mittellinie durch 1 geht. Somit ist d 1 und du musst ein Plus davor schreiben. Damit erhältst du den gesuchten Funktionsterm.

a ist 2, b ist pi Drittel, c ist 0 und wird weggelassen und d ist 1 mit einem Plus davor.