e-Funktionen
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Was sind e-Funktionen?
Hier siehst du 2 Beispiele für e-Funktionen.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video zeige ich dir zwei Beispiele für e-Funktionen. Verknüpfst du die natürliche Exponentialfunktion e hoch x, mit anderen Funktionen entstehen sogenannte e-Funktionen. Die Graphen können ziemlich merkwürdig aussehen.
Die natürliche Exponentialfunktion e hoch x wird meist auch nur e-Funktion genannt.
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Schnittstelle mit der y-Achse
So berechnest du die Schnittstelle des Graphen mit der y-Achse und gibst den Schnittpunkt an.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video zeige ich dir, wie du die Schnittstelle einer E-Funktion mit der Y-Achse bestimmst. Als Beispiel nehmen wir diese Funktion. Am Graphen siehst du die Schnittstelle leicht.
Hier ist die Schnittstelle 3. Hast du kein Schaubel zur Verfügung, kannst du sie auch berechnen. Die Schnittstelle ist f von 0. Setze also hier, hier und hier für x, 0 ein. 1-0 ist 1. Und e hoch 0 ist auch 1. Merke dir, irgendwas hoch 0 ist immer 1. Außer 0 hoch 0. Und 3 mal 1 mal 1 ist 3. Sollst du den Schnittpunkt angeben, brauchst du zwei Koordinaten.
3 ist die Y-Koordinate und die x-Koordinate ist immer 0. Das siehst du, wenn du von hier aus runter auf die x-Achse gehst. Deshalb haben wir auch hier für x, 0 eingesetzt. In einer Textaufgabe könnte statt dem Schnittpunkt auch der gemeinsame Punkt mit der Y-Achse gesucht sein.
Dann ist dieser Punkt gemeint.
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Nullstellen
Im Gegensatz zu Exponentialfunktionen können e-Funktionen Nullstellen haben. In diesem Video zeige ich dir, wie du sie bestimmst.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video zeige ich dir, wie du die Nullstellen einer E-Funktion bestimmst. Dazu nehmen wir dieses Beispiel. Am Graphen siehst du die Nullstelle leicht.
Sie ist bei 1. Hast du kein Schaubel zur Verfügung, kannst du sie auch berechnen. Wie bei jeder Funktion setzt du dazu f von x gleich 0. f von x ist ja das hier. Das ist ein Produkt aus den Faktoren 3, 1-x und ex.
Ein Produkt ist 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. 3 ist schon mal nicht 0. ex kann auch nicht 0 werden, egal welche Zahl du für x einsetzt. Das musst du dir merken.
Nur 1-x kann noch 0 werden. Löse nun einfach nach x auf. Bringe dazu das x rüber und tausche noch die Seiten.
Sollst du den Schnittpunkt angeben, brauchst du zwei Koordinaten. 1 ist die x-Koordinate und die y-Koordinate ist immer 0. Das siehst du, wenn du von hier aus rüber auf die y-Achse gehst. In einer Textaufgabe könnte statt dem Schnittpunkt auch der gemeinsame Punkt mit der x-Achse gesucht sein.
Dann ist dieser Punkt gemeint.
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Verhalten im Unendlichen
Um das Verhalten einer e-Funktion für x→±∞ zu bestimmen, musst du dir zunächst alle Glieder einzeln anschauen. Anschließend ermittelst du daraus das Gesamtverhalten des Graphen. Dabei helfen dir die 3 Regeln, die ich dir in diesem Video zeige.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video zeige ich dir, wie du das Verhalten einer e-Funktion für x gegen plus und minusunendlich bestimmst. Dabei musst du drei Regeln beachten. Erste Regel.
Präge dir den Verlauf von e hoch x ein. e hoch x geht gegen unendlich für x gegen unendlich. Denn hier steigt der Graph immer weiter.
Und e hoch x geht gegen 0 für x gegen minusunendlich. Denn hier nähert sich der Graph der x-Achse immer weiter an. Zweite Regel.
Mache dir das Verhalten im Unendlichen einfacher Potenzfunktionen wie x² oder x hoch 3 klar. Das Verhalten hängt davon ab, ob die Hochzahl gerade oder ungerade ist. Ist n gerade, wie bei x², strebe die Funktion beide Male gegen unendlich.
Denn hier steigt der rote Graph immer weiter und hier auch. Ist n ungerade, wie bei x oder bei x hoch 3, strebt die Funktion hier gegen unendlich und hier gegen minusunendlich. Also x hoch n gegen unendlich für x gegen unendlich und x hoch n gegen minusunendlich für x gegen minusunendlich.
Die dritte Regel lautet e hoch x dominiert x hoch n für x gegen plus und minusunendlich. Was damit gemeint ist, wirst du gleich sehen. Mit diesen drei Regeln untersuchen wir jetzt das Verhalten von E-Funktionen im Unendlichen.
Hier kommt das erste Beispiel. Beginnen wir mit dem Verhalten für x gegen unendlich. Nach Regel 1 geht e hoch x gegen unendlich.
Nach Regel 2 geht auch x gegen unendlich. Somit geht minus x gegen minusunendlich. Konstante Summanden wie die 1 kannst du dabei komplett ignorieren, da sie keinen Einfluss auf das Verhalten im Unendlichen haben.
Nun bestimmst du das Verhalten des kompletten Funktionsterms. Im Prinzip rechnest du dafür 3 mal minusunendlich mal unendlich. Das ergibt minusunendlich.
Regel 3 haben wir hier gar nicht gebraucht. x gegen unendlich bedeutet, dass du auf der x-Achse immer weiter nach rechts gehst. Und wie du siehst, fällt der Graph hier immer weiter.
Er geht also gegen minusunendlich. Nun bestimmen wir das Verhalten für x gegen minusunendlich. Nach Regel 1 geht e hoch x gegen 0. Nach Regel 2 geht x gegen minusunendlich.
Somit geht minus x gegen unendlich. Nun bestimmst du wieder das Verhalten des kompletten Funktionsterms. Im Prinzip rechnest du dafür 3 mal unendlich mal 0. Das heißt, dieser Faktor zieht in Richtung 0 und dieser Faktor zieht in Richtung unendlich.
Aber welcher Faktor ist stärker? Das beantwortet Regel 3. e hoch x ist dominant. Somit strebt die Funktion gegen 0, also gegen die x-Achse. x gegen minusunendlich bedeutet, dass du auf der x-Achse immer weiter nach links gehst.
Und wie du siehst, nähert sich der Graph der x-Achse immer weiter an. Aber er berührt sie nie, auch wenn das auf dem Bild anders wirkt. Deshalb nennt man die x-Achse eine waagerechte Asymptote, allerdings nur für x gegen minusunendlich.
Denn hier wird die Asymptote sogar geschnitten. Kommen wir zum zweiten Beispiel. Beginnen wir mit dem Verhalten für x gegen unendlich.
Nach Regel 1 geht e hoch x gegen unendlich. e hoch x steht jedoch im Nenner eines Bruchs. Und wird der Nenner immer größer, wird der gesamte Bruch immer kleiner.
Der Bruch geht somit gegen 0. Nach Regel 2 geht x gegen unendlich. Nun bestimmst du das Verhalten des kompletten Funktionsterms. Im Prinzip rechnest du jetzt 0 plus unendlich minus 2. Das ergibt unendlich.
x gegen unendlich bedeutet, dass du auf der x-Achse immer weiter nach rechts gehst. Und wie du siehst, steigt der rote Graph immer weiter an. Er geht also gegen unendlich.
Regel 3 haben wir hier gar nicht gebraucht. Konstanten wie minus 2 kannst du auch komplett ignorieren, da sie keinen Einfluss auf das Verhalten im Unendlichen haben. Nun bestimmen wir das Verhalten für x gegen minus unendlich.
Nach Regel 1 geht e hoch x gegen 0. e hoch x steht jedoch im Nenner eines Bruchs. Und wird der Nenner immer kleiner, wird der gesamte Bruch immer größer. Der Bruch geht somit gegen unendlich.
Nach Regel 2 geht x gegen minus unendlich. Nun bestimmst du wieder das Verhalten des kompletten Funktionsterms. Im Prinzip rechnest du dafür unendlich minus unendlich minus 2. Vorsicht, da kommt nicht minus 2 raus.
Dieser Summand zieht in Richtung unendlich. Und dieser Summand zieht in Richtung minus unendlich. Aber welcher Summand ist stärker? Das beantwortet Regel 3. e hoch x ist dominant.
Somit strebt die Funktion gegen unendlich. x gegen minus unendlich bedeutet, dass du auf der x-Achse immer weiter nach links gehst. Und wie du siehst, steigt der Graph hier immer weiter an.
Er geht also gegen unendlich. Auch hier gibt es eine Asymptote. Für die Asymptote nimmst du diese beiden Summanden.
Das ist die Asymptote für x gegen unendlich, weil dann nämlich dieser Bruch gegen 0 geht. Die Funktionswerte werden dann hauptsächlich von diesen beiden Summanden bestimmt.
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