Exponentialfunktionen

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• Was sind Exponentialfunktionen?
• Basiswechsel
• Schnittstelle mit der y-Achse
• Nullstellen
• Monotonie und Verhalten im Unendlichen

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Was sind Exponentialfunktionen?

Unter Exponentialfunktionen können sich die meisten Schüler gar nichts vorstellen. Hier lernst du Schritt für Schritt, wie du selbst eine Wertetabelle für eine Exponentialfunktion erstellst und ihren Graph skizzierst. Anschließend zeige ich dir weitere Beispiele für Exponentialfunktionen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video erkläre ich dir, was Exponentialfunktionen sind. Ein Beispiel siehst du hier. Das Ungewohnte an Exponentialfunktionen ist, dass x nicht unten steht, sondern oben.

Für x darfst du beliebige Zahlen einsetzen. Das sind dann die Hochzahlen. Als Beispiel füllen wir mal diese Wertetabelle aus.

Für x setzt du diese Werte ein. Fangen wir mal in der Mitte an und setzen für x 1 ein. 2 hoch 1 ist einfach 2. Nun setzen wir für x 2 ein.

2 hoch 2 oder 2 zum Quadrat ist 4. Nun kannst du auch leicht 2 hoch 3 ausrechnen. Das ist ja 2 mal 2 mal 2. 2 mal 2 ist 4, wie wir gerade ausgerechnet haben. Und 4 mal 2 ist 8. Du kannst also auch diesen Funktionswert einfach mit 2 multiplizieren und schon hast du den nächsten Wert.

Nun setzen wir für x 0 ein. 2 hoch 0 ist 1. Merke dir, irgendwas hoch 0 ist immer 1, außer 0 hoch 0. Als letztes setzen wir für x minus 1 ein. Diese Rechnung siehst du hier ausführlich.

Du setzt also hier und hier für x minus 1 ein. Bei einer negativen Hochzahl kannst du auch einen Bruch schreiben. Das schreibst du ohne das Minuszeichen in den Nenner und in den Zähler schreibst du eine 1. 2 hoch 1 ist einfach 2. Und 1 halb ist das gleiche wie 0,5.

Nun zeige ich dir die berechneten Punkte am Schaubild. Die x-Werte aus dieser Zeile stehen auf der x-Achse. Die Werte für f von x sind auf der y-Achse.

Zu minus 1 gehört der Funktionswert 0,5. Zu 0 gehört der Funktionswert 1. Zu 1 gehört der Funktionswert 2. Zu 2 gehört der Funktionswert 4. Und zu 3 gehört der Funktionswert 8. Jetzt zeige ich dir weitere Beispiele für Exponentialfunktionen. Die allgemeine Form ist f von x gleich c mal a hoch x. a ist eine positive Zahl und gleich 1. c darf alles außer 0 sein.

Zum Beispiel f von x ist gleich 2 mal 5 hoch x. Hier ist c 2 und a 5. Bei Exponentialfunktionen ist c die Schnittstelle mit der y-Achse. Deshalb schneidet der rote Graph die y-Achse bei 2. Die wichtigste Exponentialfunktion ist e hoch x. Diese wird auch natürliche Exponentialfunktion oder kurz e-Funktion genannt. Hier ist a die eulersche Zahl e. e ist eine irrationale Zahl wie auch Pi.

Merke dir, dass e rund 2,718 ist. c ist hier 1 und wird deshalb nicht extra hingeschrieben. Das heißt, der blaue Graph schneidet die y-Achse bei 1. Hier ist c minus 1. Der grüne Graph schneidet die y-Achse somit bei minus 1. Außerdem ist dieser Graph einfach nur die Spiegelung des blauen Graphen an der x-Achse.

Genau das bewirkt nämlich der Faktor minus 1. Im letzten Beispiel ist c wieder 1 und wird nicht extra hingeschrieben. Somit schneidet der orange Graph die y-Achse bei 1. Da a mit 0,2 zwischen 0 und 1 liegt, ist der Graph diesmal aber fallend statt steigend.

Basiswechsel

Jede Exponentialfunktion mit beliebiger Basis lässt sich als Funktion mit der Basis e darstellen. Diese Umwandlung wird als Basiswechsel bezeichnet. Hier zeige ich dir, wie das geht.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du einen Basiswechsel vornimmst. Jede Exponentialfunktion lässt sich nämlich mit der Basis e schreiben. Statt a hoch x darfst du auch e hoch x mal ln von a schreiben.

Vorher war die Basis a, jetzt ist die Basis e. ln ist der natürliche Logarithmus. Das ist die Umkehrfunktion zur natürlichen Exponentialfunktion. Um zu beweisen, dass die beiden Ausdrücke gleich sind, musst du entweder diesen Ausdruck in diesen umwandeln oder umgekehrt.

Ich finde es umgekehrt leichter. Du schreibst also erstmal den rechten Ausdruck ab. Vielleicht weißt du noch, dass man das x so in die Klammer ziehen darf.

Die natürliche Exponentialfunktion und der natürliche Logarithmus ln heben sich gegenseitig auf und übrig bleibt nun a hoch x. Nun steht hier der Ausdruck von der linken Seite. Damit ist der Beweis erbracht. Schauen wir uns noch ein Beispiel dazu an.

Statt 5 hoch x darfst du also auch e hoch x mal ln 5 schreiben. ln von 5 sind rund 1,6. Beim Thema Wachstum wird meist einheitlich die Basis e verwendet.

Deshalb kann es nötig oder zumindest geschickter sein, andere Basen in die Basis e umzuwandeln.

Schnittstelle mit der y-Achse

Hier lernst du, die Schnittstelle des Graphen mit der y-Achse zu berechnen. Außerdem zeige ich dir, wie du sie direkt am Funktionsterm erkennst.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du die Schnittstelle einer Exponentialfunktion mit der y-Achse bestimmst. Als Beispiel nehmen wir die natürliche Exponentialfunktion. Am Graphen siehst du die Schnittstelle leicht.

Hier ist die Schnittstelle 1. Hast du kein Schaubild zur Verfügung, kannst du sie auch berechnen. Die Schnittstelle ist f von 0. Setze also hier und hier für x,0 ein. e hoch 0 ist 1. Merke dir, irgendwas hoch 0 ist immer 1, außer 0 hoch 0. Sollst du den Schnittpunkt angeben, brauchst du zwei Koordinaten.

1 ist die y-Koordinate und die x-Koordinate ist immer 0. Das siehst du, wenn du von hier aus runter auf die x-Achse gehst. Deshalb haben wir auch hier für x,0 eingesetzt. In einer Textaufgabe könnte statt dem Schnittpunkt auch der gemeinsame Punkt mit der y-Achse gesucht sein.

Dann ist dieser Punkt gemeint. Bei Exponentialfunktionen kann man die Schnittstelle mit der y-Achse auch ganz ohne Rechnung an der Funktionsgleichung erkennen. Die Schnittstelle ist nämlich immer das c. Schauen wir uns nochmal unser Beispiel e hoch x an.

e entspricht a. c ist hier nämlich 1 und wird deshalb nicht extra hingeschrieben. Somit schneidet der rote Graph die y-Achse bei 1, wie wir auch schon berechnet hatten. Hier siehst du noch ein zweites Beispiel.

Diesmal ist c 2. Somit schneidet der blaue Graph die y-Achse bei 2. Das bedeutet, dieser Ausdruck spielt für die Schnittstelle gar keine Rolle.

Nullstellen

Hier erläutere ich dir an 2 Beispielen, warum Exponentialfunktionen keine Nullstellen haben und die x-Achse eine waagerechte Asymptote ist.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video geht es um die Nullstellen von Exponentialfunktionen. Kurz gesagt, sie haben keine. Nehmen wir als Beispiel die E-Funktion.

Ihr Graph nähert sich zwar der x-Achse an, aber berührt sie nie, auch wenn das auf dem Schaubild anders wirkt. Der Graph hat somit keine Nullstelle. Das kannst du auch rechnerisch zeigen.

Um die Nullstellen zu berechnen, setzt du ja f von x gleich 0. f von x ist e hoch x. Diese Gleichung ist jedoch nicht lösbar. Somit hat die E-Funktion keine Nullstellen. Hier siehst du noch ein zweites Beispiel.

Auch der blaue Graph nähert sich der x-Achse an, doch berührt sie nie. Deshalb ist die x-Achse eine sogenannte Asymptote. Zusätzlich kann man noch spezifizieren, dass es eine waagerechte Asymptote ist.

Es gibt nämlich auch senkrechte oder schiefe.

Monotonie und Verhalten im Unendlichen

Die Monotonie und das Verhalten im Unendlichen lassen sich direkt am Funktionsterm ablesen. Welche 4 Fälle möglich sind und woran du sie erkennst, zeige ich dir in diesem Video.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video geht es um die Monotonie und das Verhalten im Unendlichen von Exponentialfunktionen. Beides kann man sehr leicht am Funktionsterm erkennen. Entscheidend dafür sind das c und das a. In dieser Tabelle habe ich dir alles Wichtige zusammengefasst.

Beim c unterscheidest du, ob es größer oder kleiner ist als 0. Beim a unterscheidest du, ob es zwischen 0 und 1 liegt oder größer ist als 1. Daraus ergeben sich vier Kombinationen. Für jede siehst du hier ein Beispiel. a ist hier e und damit größer als 1, denn e ist rund 2,718.

c ist 1 und wird nicht extra hingeschrieben. Damit ist c größer als 0. Hier ist a 0,5 und c ist 2. Hier ist a 0,2 und c ist –1. Und hier ist a e und c ist wieder –1.

Kommen wir nun zur Monotonie. In jeder Zeile und in jeder Spalte muss einmal fallend und einmal steigend stehen. Wenn du dir nur diesen Fall merkst, kannst du damit die drei anderen Fälle herleiten.

Für c größer 0 und a größer 1 ist der Graph immer streng monoton steigend. Statt steigend kannst du auch wachsend sagen. Somit muss hier fallend stehen, hier wieder steigend und hier wieder fallend.

Die x-Achse ist bei allen Exponentialfunktionen eine sogenannte waagerechte Asymptote. Der Graph darf sie also nicht berühren und erst recht nicht überqueren. Ist c positiv, verläuft der Graph nur oberhalb der x-Achse.

Die Graphen sehen entsprechend so aus. Dieser Graph fällt und dieser Graph steigt streng monoton. Manchen Schülern ist nicht klar, warum dieser Graph steigt.

Denn so rum fällt er doch. Du musst entlang der x-Achse aber immer in Pfeilrichtung gehen. Und so lang steigt der Graph.

Ist c negativ, dann verläuft der Graph nur unterhalb der x-Achse. Die Graphen sehen entsprechend so aus. Dieser Graph steigt und dieser Graph fällt streng monoton.

An den Graphen lässt sich leicht das Verhalten im Unendlichen erkennen. Damit ist gemeint, wie sich der Graph verhält, wenn du immer weiter nach rechts bzw. nach links gehst.

In diese Richtung geht x gegen –unendlich und in diese Richtung gegen unendlich. Für x gegen unendlich steigt dieser Graph unendlich. Dafür schreibst du f von x gegen unendlich.

Für x gegen –unendlich kommt der Graph der x-Achse immer näher. Dafür schreibst du f von x gegen 0. Bei diesem Fall ist es genau umgekehrt. Für x gegen unendlich kommt der Graph der x-Achse immer näher.

Dafür schreibst du f von x gegen 0. Für x gegen –unendlich steigt der Graph unendlich. Dafür schreibst du f von x gegen unendlich. Nun schauen wir uns diesen Fall an.

Für x gegen unendlich kommt der Graph der x-Achse immer näher. Dafür schreibst du f von x gegen 0. Für x gegen –unendlich fällt der Graph unendlich. Dafür schreibst du f von x gegen –unendlich.

Nun schauen wir uns den letzten Fall an. Für x gegen unendlich fällt der Graph unendlich. Dafür schreibst du f von x gegen –unendlich.

Und für x gegen –unendlich kommt der Graph der x-Achse immer näher. Dafür schreibst du f von x gegen 0.