Gebrochenrationale Funktionen

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• Was ist eine gebrochenrationale Funktion?
• Definitionslücken bestimmen
• Nullstellen
• Hebbare Definitionslücke oder Polstelle?
• Graph mit hebbarer Definitionslücke zeichnen
• Graph mit Polstelle
• Polstelle auf VZW untersuchen
• Verhalten im Unendlichen / z < n
• z = n
• Schiefe Asymptote bestimmen
• z > n + 1
• z = n + 1
• Graph mit Polstelle skizzieren

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Was ist eine gebrochenrationale Funktion?

Hier siehst du typische Beispiele für gebrochenrationale Funktionen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir Beispiele für gebrochenrationale Funktionen. Bei gebrochenrationalen Funktionen steht eine ganzrationale Funktion im Nenner eines Bruchs. Meistens steht auch im Zähler ein Polynom.

Manchmal aber auch nur eine Zahl. Schauen wir uns mal diese Funktion an. Wie du weißt, darf der Nenner eines Bruchs nie Null sein.

Wenn du hier für x2 einsetzen würdest, würde aber genau das passieren. x darf also nicht 2 sein. Das heißt, bei x gleich 2 gibt es eine Definitionslücke.

Bei dieser Funktion ist das genauso. Würdest du für x2 einsetzen, käme in der Klammer Null raus. Und Null zum Quadrat ist immer noch Null.

Wegen solcher Definitionslücken kann der Graph ziemlich verrückt aussehen, wie bei der Funktion g. Graphen, die so aussehen, nennt man Hyperblen. Sie haben zwei zueinander symmetrische Äste. Das muss aber nicht immer so sein, wie du am Beispiel der Funktion f siehst.

Die Funktionsgleichung sieht echt kompliziert aus und auch hier gibt es eine Definitionslücke. Aber der Graph ist nur eine Gerade mit einer kleinen Besonderheit hier oben.

Definitionslücken bestimmen

Definitionslücken sind Stellen, an denen der Nenner eines Bruchs Null wird. Da das nämlich nicht passieren darf, müssen diese Stellen ermittelt und vom Definitionsbereich ausgeschlossen werden.

Lösungsbeschreibung

Als erstes bestimmst du bei gebrochen rationalen Funktionen immer die Definitionslücken. Das sind die Stellen, für die der Nenner 0 wird. Um diese Stellen herauszufinden, setzt du den Nenner 0 und löst nach x auf.

Dazu rechnest du plus 2 und schon hast du die Definitionslücke. f hat bei x gleich 2 eine Definitionslücke. Der Definitionsbereich sind somit die reellen Zahlen ohne 2. Das bedeutet, du darfst für x alle Zahlen außer 2 einsetzen.

Denn für 2 wird der Nenner 0, was nicht erlaubt ist, da du nicht durch 0 teilen darfst. Statt Definitionsbereich sagt man auch Definitionsmenge.

Nullstellen

Eine gebrochenrationale Funktion kann nur dort Nullstellen haben, wo das Zählerpolynom Nullstellen hat. Nullstellen, die gleichzeitig Definitionslücken sind, entfallen jedoch.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du die Nullstellen einer gebrochen rationalen Funktion berechnest. Dieses Beispiel kennst du schon aus dem letzten Video. Diese Funktion hat eine Definitionslücke bei x gleich 2. Nullstellen von f können nur dort sein, wo der Zähler 0 wird.

Präge dir das gut ein. Um die Nullstellen zu berechnen, musst du diesmal also den Zähler 0 setzen und dann nach x auflösen. Bringe als erstes die 4 rüber und ziehe nun die Wurzel.

Die Wurzel aus 4 ist 2. Die Wurzel aus x² ergibt immer zwei Lösungen, eine positive und eine negative. Die Lösungen sind somit 2 und –2. Nur wenn hier eine negative Zahl steht, gibt es gar keine Lösungen.

Jetzt gleichst du deine Lösungen mit den Definitionslücken ab. Dadurch entfällt die Nullstelle 2, denn wir dürfen für x ja gar nicht 2 einsetzen. Merke dir, Lösungen, die gleichzeitig Definitionslücken sind, sind keine Nullstellen.

Somit hat diese Funktion nur eine Nullstelle, nämlich –2. Diese siehst du hier. Die Lösung 2 wäre hier.

Und wie du siehst, ist der Graph nicht mal in der Nähe, sondern hier oben. 2 ist also definitiv keine Nullstelle.

Hebbare Definitionslücke oder Polstelle?

Eine Definitionslücke ist entweder eine hebbare Definitionslücke oder eine Polstelle. Bei einer hebbaren Definitionslücke sieht der Graph bis auf eine kleine Besonderheit ganz gewöhnlich aus. An einer Polstelle zeigt er jedoch ein ganz verrücktes Verhalten. Um den Graph zu skizzieren, musst du also herausfinden, welcher Fall vorliegt. Wie das geht, zeige ich dir hier.

Lösungsbeschreibung

Eine Definitionslücke ist immer entweder eine hebbare Definitionslücke oder eine Polstelle. In diesem Video zeige ich dir, wie du herausfindest, welcher Fall vorliegt. Nehmen wir diese beiden Funktionen als Beispiele.

Sie unterscheiden sich lediglich um das Quadrat. Beide haben bei x gleich 2 eine Definitionslücke. Denn wenn du für x 2 einsetzt, wird der Nenner bei beiden 0. Im ersten Beispiel ist 2 eine einfache Nullstelle des Nenners.

Wegen dem Quadrat ist 2 hier eine doppelte Nullstelle. Nun brauchst du zum Abgleich noch die Nullstellen des Zählerpolynoms. Der Zähler wird 0, wenn du für x 2 oder –2 einsetzt.

Denn 2 zum Quadrat ist 4 und 4 – 4 ist 0. Das Gleiche kommt raus, wenn du für x – 2 einsetzt. Da der Zähler gleich ist, sind auch die Nullstellen des Zählers gleich. Ist die Nullstelle des Nenners gleichzeitig eine Nullstelle des Zählers, dann ist es eine hebbare Definitionslücke.

Dabei musst du aber die Vielfachheiten berücksichtigen. Hier ist 2 zwar auch eine Nullstelle des Zählers, aber nur eine einfache. Beim Nenner ist es eine doppelte.

Diese Nullstelle hebt quasi nur eine dieser beiden Nullstellen weg. Somit ist 2 eine Polstelle. Am Schaubild macht es einen riesen Unterschied, ob der Graph eine hebbare Definitionslücke oder eine Polstelle hat.

Mehr dazu in den folgenden Videos.

Graph mit hebbarer Definitionslücke zeichnen

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Funktion mit hebbarer Definitionslücke zeichnest und worauf du dabei achten musst.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du einen Graph mit hebbarer Definitionslücke zeichnest. Wie wir schon festgestellt haben, hat diese Funktion eine hebbare Definitionslücke bei x gleich 2. Bei einer hebbaren Definitionslücke lässt sich der Bruch immer kürzen. Dazu musst du Zähler und Nenner als Linearfaktorzerlegung schreiben.

Der Nenner kann in diesem Beispiel nicht weiter zerlegt werden. Aber der Zähler schon. Dafür nimmst du die beiden Nullstellen des Zählers.

Also auch die Nullstelle, die gar nicht im Definitionsbereich von f liegt. Dann schreibst du für jede Nullstelle eine Klammer mit einem x darin. Und dahinter die Nullstelle mit geändertem Vorzeichen.

Aus 2 wird –2 und aus –2 wird plus 2. Auf dieselbe Zerlegung würdest du auch mit der dritten binomischen Formel kommen. Und jetzt kürzt du. Übrig bleibt x plus 2. f von x gleich x plus 2 ist einfach nur eine Gerade.

Die Schnittstelle mit der y-Achse ist 2 und die Steigung ist 1. Du gehst also immer 1 zur Seite und 1 hoch. Das ist der Graph dieser komplizierten Funktion. Du musst nur an der Definitionslücke 2 eine kleine kreisförmige Aussparung machen, da dieser Punkt nicht zum Graphen gehört.

Hier macht der Graph sozusagen einen kleinen Sprung.

Graph mit Polstelle

An einer Polstelle zeigt der Graph ein ziemlich verrücktes Verhalten. In diesem Video zeige ich dir 2 Beispiele und erkläre dir, was mit senkrechter Asymptote und Vorzeichenwechsel (VZW) an der Polstelle gemeint ist.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie eine Polstelle aussieht. Wie wir schon festgestellt haben, hat diese Funktion eine Polstelle bei x gleich 2. Das ist hier. Nähern wir uns von links der Polstelle, stürzt der Graph ins Minusunendliche ab.

Nähern wir uns von rechts der Polstelle, schießt der Graph hoch ins Unendliche. Also ein ganz verrücktes Verhalten. Der Graph nähert sich dieser senkrechten Gerade an, die genau durch die Polstelle verläuft.

Diese Gerade hat die Gleichung x gleich 2, denn alle Punkte auf dieser Gerade haben die x-Koordinate 2. Diese Gerade nennt man eine senkrechte Asymptote. Merke dir, bei Polstellen hat der Graph senkrechte Asymptoten. Einmal geht der Graph nach unten und einmal nach oben.

Deshalb ist das eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel, kurz Vzw. Diese Funktion hat auch eine Polstelle bei 2, aber ohne Vorzeichenwechsel. Denn der Graph geht auf beiden Seiten der Polstelle in die gleiche Richtung, nämlich nach oben.

Polstelle auf VZW untersuchen

Um einen Graph mit Polstelle zu skizzieren, musst du wissen ob an der Polstelle ein Vorzeichenwechsel (VZW) stattfindet oder nicht. In diesem Video zeige ich dir, wie du das herausfindest.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Polstelle auf Vorzeichenwechsel untersuchst. Dazu nehmen wir dieses Beispiel mit der Polstelle 2. Nun setzt du einfach Testwerte ein, die dicht links bzw. rechts von der Polstelle liegen, zum Beispiel 1,9 und 2,1.

Setzt du in den Bruch für x1,9 ein, erhältst du diesen Bruch. Du brauchst nicht auszurechnen, was das genau ist. Uns interessiert nur, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist.

2² wäre 4, also ist 1,9² weniger als 4. Wenn du davon 4 abziehst, ist das Ergebnis negativ. 1,9-2 ist –0,1, aber wenn du das quadrierst, kommt etwas Positives raus. Minus geteilt durch Plus ergibt Minus.

Somit wissen wir, dass f von x gegen Minus unendlich geht, wenn wir uns von links der Polstelle annähern. Wir gehen auf der x-Achse, also immer näher an die Polstelle 2 heran, aber bleiben links davon. Somit ist x immer kleiner als 2. Nun machst du das Gleiche für den Testwert 2,1.

Setzt du in den Bruch für x2,1 ein, erhältst du diesen Bruch. 2² wäre 4, also ist 2,1² größer als 4. Wenn du davon 4 abziehst, ist das Ergebnis positiv. 2,1-2 ist 0,1 und das Quadrat davon ist auch positiv.

Plus geteilt durch Plus bleibt positiv. Somit wissen wir, dass f von x gegen Unendlich geht, wenn wir uns von rechts der Polstelle annähern. Wir gehen auf der x-Achse, also immer näher an die Polstelle 2 heran, aber bleiben rechts davon.

Somit ist x immer größer als 2. Da f einmal gegen Unendlich und einmal gegen Minusunendlich geht, ist das eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Bei einer Polstelle ohne Vorzeichenwechsel hätte hier beide Male das Gleiche gestanden, also entweder Unendlich oder Minusunendlich.

Verhalten im Unendlichen / z < n

Verhalten im Unendlichen Wie sich der Graph für x→±∞ verhält, hängt im Wesentlichen vom Grad des Zähler- und des Nennerpolynoms ab (kurz z und n). Dabei unterscheidet man 4 Fälle: z < n, z = n, z = n+1, z > n+1 In den folgenden Videos zeige ich dir für jeden Fall ein Beispiel. Darunter findest du noch mal eine Zusammenfassung. z < n Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, nähert sich der Graph im Unendlichen immer der x-Achse an.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video geht es um das Verhalten im Unendlichen, wenn der Zählergrad kleiner ist als der Nennergrad. Ein Beispiel dafür ist diese Funktion. Der Zählergrad z ist 0, denn im Zähler kommt gar kein x vor.

Der Nennergrad n ist 2. Das siehst du noch deutlicher, wenn du den Nenner ausmultiplizierst oder mit der zweiten binomischen Formel umformst. Wenn z kleiner ist als n, strebt die Funktion gegen 0, also gegen die x-Achse, wenn x gegen plus oder minus unendlich geht. Wie du siehst, kommt der Graph der x-Achse immer näher, wenn du immer weiter nach links oder rechts gehst.

Aber der Graph berührt die x-Achse nie, auch wenn das auf dem Schaubild so aussieht. Somit ist die x-Achse eine waagerechte Asymptote, die durch die Gleichung y gleich 0 beschrieben wird. Denn alle Punkte auf der x-Achse haben ja die y-Koordinate 0.

z = n

Sind Zähler- und Nennergrad gleich, nähert sich der Graph im Unendlichen einer waagerechten Asymptote an. Hier zeige ich dir, wie du diese bestimmst.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video geht es um das Verhalten im Unendlichen, wenn Zählergrad und Nennergrad gleich sind. Ein Beispiel dafür ist diese Funktion. Der Zählergrad z ist offensichtlich 2 und auch der Nennergrad n ist 2. Das siehst du noch deutlicher, wenn du den Nenner ausmultiplizierst oder mit der zweiten binomischen Formel umformst.

Wenn Z und N gleich sind, strebt die Funktion gegen a durch b. a und b sind die sogenannten Leitkoeffizienten, also die Zahlen vor den höchsten x-Potenzen. Wenn nichts davor steht, steht dort eigentlich eine 1, denn x² ist das gleiche wie ein x². a und b sind somit beide 1 und 1 geteilt durch 1 ist 1. f strebt also gegen 1, für x gegen Plus und Minusunendlich.

Deshalb kannst du nun die waagerechte Asymptote y gleich 1 einzeichnen. Sie liegt parallel zur x-Achse und geht durch 1 auf der y-Achse. Wie du siehst, kommt der Graph der Asymptote immer näher, wenn du immer weiter nach links oder rechts gehst.

Aber der Graph berührt die Asymptote nie. In diesem Beispiel nähert sich der Graph einmal von unten und einmal von oben an. Es gibt natürlich auch Funktionen, wo er beide Male aus der gleichen Richtung kommt.

Schiefe Asymptote bestimmen

So bestimmst du durch Polynomdivision die Gleichung der schiefen Asymptote.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du bei gebrochen rationalen Funktionen die Gleichung einer schiefen Asymptote bestimmst. Dazu nehmen wir dieses Beispiel. Der Graph ist hier rot dargestellt.

Wie du siehst, nähert er sich der blauen Gerade an. Diese schneidet die y-Achse bei 2 und hat die Steigung 1, also 1 zur Seite und 1 hoch. Dafür schreibst du hier x. Die Gleichung der schiefen Asymptote ist somit y gleich x plus 2. Jetzt zeige ich dir, wie du die Gleichung der Asymptote ohne Schaubild bestimmen kannst.

Dazu machst du mit dem Zähler und dem Nenner eine Polynomdivision. x² geteilt durch x ist x. Jetzt rechnest du das Ganze rückwärts. x mal x sind x².

x mal –1 ist –x. Nun machst du eine Klammer drumrum und ein Minuszeichen davor. Jetzt ziehst du die Klammer von oben ab.

Der vordere Teil fällt immer weg. Du brauchst also nur x minus –x zu rechnen. Das sind 2x, denn Minus mal Minus macht Plus.

Du rechnest so lange weiter, bis hier kein x mehr steht. 2x geteilt durch x ist 2. Jetzt rechnest du das Ganze wieder rückwärts. 2 mal x sind 2x.

Und 2 mal –1 ist –2. Nun machst du wieder eine Klammer drumrum und ein Minuszeichen davor. Jetzt ziehst du die Klammer von oben ab.

Der vordere Teil fällt wieder weg. Minus –2 ist 2. Jetzt steht kein x mehr da. Und dafür gibst du folgenden Rest an.

Du schreibst die 2 hin. Und da die 2 positiv ist, schreibst du hier ein Plus. Dann schreibst du das unter den Bruchstrich.

Denn du sollst ja durch x minus 1 teilen. Das kannst du mit einem Bruchstrich schreiben oder mit einem Geteilzeichen. Für die Gleichung der Asymptote nimmst du nur diesen Teil.

z > n + 1

Der Vollständigkeit halber zeige ich dir ein Beispiel, bei dem der Zählergrad mindestens um 2 größer ist als der Nennergrad. Solche Funktionen wirst du aber nicht selbst untersuchen müssen.

Lösungsbeschreibung

Der Vollständigkeit halber geht es in diesem Video um das Verhalten im Unendlichen, wenn der Zählergrad z größer ist als der Nennergrad n plus 1. Ein Beispiel dafür ist diese Funktion. Der Zählergrad z ist 3 und der Nennergrad n ist 1. In einem solchen Fall kann man gar nicht pauschal sagen, wie sich der Graph im Unendlichen verhält. Gehen wir immer weiter nach links, steigt der rote Graph immer weiter.

Genauso, wenn wir immer weiter nach rechts gehen. Somit geht f von x gegen unendlich für beide Richtungen, also für x gegen plus und minus unendlich. Hier fällt der Graph zwar unendlich, aber das ist ja nur in einem schmalen Abschnitt der x-Achse.

Solche Funktionen musst du nicht selbst analysieren. Ich zeige dir dieses Beispiel nur der Vollständigkeit halber. Rechnerisch würdest du aber genauso vorgehen, wie bei z gleich n plus 1. Wenn man den Begriff Asymptote im weiteren Sinne verwendet, dann kann man darunter auch eine Näherungskurve verstehen.

Wie du siehst, verläuft der Graph annähernd wie die blaue Parabel. Je weiter du auf der x-Achse gegen plus unendlich oder minus unendlich gehst. Die Gleichung der Parabel ist j von x gleich x².

z = n + 1

So bestimmst du das Verhalten im Unendlichen, wenn der Zählergrad genau um 1 größer ist als der Nennergrad. In diesem Fall gibt es eine schiefe Asymptote.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video geht es um das Verhalten im Unendlichen, wenn z genau um 1 größer ist als n. Ein Beispiel dafür ist diese Funktion. Der Zählergrad z ist 2 und der Nennergrad n ist 1. z ist also n plus 1. Dann geht f einmal gegen unendlich und einmal gegen minus unendlich. Du musst nur noch herausfinden, ob so herum oder genau umgekehrt.

Dann würde hier unendlich und hier minus unendlich stehen. Jetzt zeige ich dir, wie du dir darüber Klarheit verschaffst. Dazu ist eine kleine Rechnung nötig.

Klammere die größte x-Potenz aus, die im Nenner vorkommt. Hier kommt sowieso nur eine Potenz von x vor, also klammerst du diese aus. Das sieht auf den ersten Blick kompliziert aus, ist es aber gar nicht.

x mal 1 ist x und x mal 1 geteilt durch x ist 1, denn die beiden x kürzen sich. Im Zähler klammerst du nun das gleiche aus, also x. x mal x sind x² und x mal 1 ist x. Nun kannst du die beiden x kürzen und die Klammern weglassen. Übrig bleibt dieser Bruch.

Mit diesem Bruch kannst du das Verhalten für x gegen plus und minus unendlich sehr leicht bestimmen. Ausdrücke mit x oder höheren Potenzen von x im Nenner kannst du dabei komplett ignorieren. Setze für x als erstes unendlich ein.

Unendlich plus 1 ist immer noch unendlich. Und wenn du durch 1 teilst, ändert sich ja nichts am Ergebnis. Somit strebt f von x gegen unendlich für x gegen unendlich.

x gegen unendlich bedeutet, du gehst immer weiter nach rechts. Und wie du dir vorstellen kannst, geht der rote Graph hier immer weiter nach oben, also gegen unendlich. Nun setzt du für x minus unendlich ein.

Minus unendlich plus 1 ist immer noch minus unendlich. Und wenn du durch 1 teilst, ändert sich auch hier nichts am Ergebnis. Somit strebt f von x gegen minus unendlich für x gegen minus unendlich.

x gegen minus unendlich bedeutet, du gehst immer weiter nach links. Und wie du dir vorstellen kannst, geht der rote Graph hier immer weiter nach unten, also gegen minus unendlich. Auch hier gibt es eine Asymptote, die aber nicht waagerecht, sondern schief ist.

Das ist immer so, wenn z gleich n plus 1 ist. Im nächsten Video zeige ich dir, wie du die Gleichung der schiefen Asymptote ermittelst. Beim G8 Abitur wird das aber nicht von dir verlangt.

Graph mit Polstelle skizzieren

So gehst du vor, um den Graphen einer gebrochenrationalen Funktion mit Polstelle zu skizzieren.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du den Graph einer gebrochen rationalen Funktion mit Polstelle skizzierst. Dazu nehmen wir dieses Beispiel. Nehmen wir an, du hast diese Funktion schon untersucht und willst abschließend den Graphen skizzieren.

Dann zeichnest du als erstes alle Asymptoten ein, die du gefunden hast. Da f bei x gleich 2 eine Polstelle hat, gibt es schon mal eine senkrechte Asymptote durch x gleich 2. Im Unendlichen geht f von x gegen 3. Also gibt es eine waagerechte Asymptote durch y gleich 3. Außerdem hat f eine Nullstelle bei x gleich 1. Jetzt ist schon klar, dass ein Ast der Hyperbel hier entlang verlaufen muss. Wenn wir uns von links der Polstelle nähern, gehen die Funktionswerte somit gegen Minusunendlich.

Die Frage ist jetzt nur, ob der andere Ast daneben verläuft oder schräg gegenüber. Oben drüber kann er nicht verlaufen, da wir dann ja keine Funktion mehr hätten. Dann würden einem x-Wert mehrere y-Werte zugeordnet.

Einer hier unten und einer hier oben. Das geht nicht. Der entscheidende Hinweis ist nun, dass an der Polstelle ein Vorzeichenwechsel stattfindet.

Das heißt, wenn wir uns von rechts der Polstelle nähern, müssen die Funktionswerte gegen Unendlich gehen. Somit muss der zweite Ast schräg gegenüber liegen.