Quadratische Funktionen

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• Was ist eine quadratische Funktion?
• Scheitelform einer Normalparabel
• Scheitelform in Normalform umwandeln
• Normalform in Scheitelform umwandeln
• So zeichnest du eine Normalparabel

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Was ist eine quadratische Funktion?

Hier erfährst du genau, was quadratische Funktionen sind und wie ihre Graphen aussehen. Außerdem erkläre ich dir, wann man von einer Normalparabel spricht und was die Standardnormalparabel ist.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, was quadratische Funktionen sind. Eine quadratische Funktion hat allgemein die Form f von x ist gleich ax² plus bx plus c. Hier siehst du ein Beispiel. Der zugehörige Graph ist eine Parabel.

Ist a negativ wie hier, dann ist die Parabel nach unten geöffnet. Bei einer Normalparabel ist a gleich 1. Die 1 wird aber nicht hingeschrieben. Meist benutzt man dann statt b p und statt c q. Das erinnert dich vielleicht an die pq-Formel.

Mit der pq-Formel könntest du jetzt die Nullstellen dieser Funktion ausrechnen. Hier siehst du ein Beispiel für eine Normalparabel. Während allgemeine Parabeln mal breiter und mal schmaler sind, sehen Normalparabeln immer gleich aus.

Es gibt im Schreibwarengeschäft sogar Kurvenschablonen, um sie zu zeichnen. Der Begriff Normalparabel taucht oft in Textaufgaben auf. Präge dir diese Form deshalb gut ein.

Die Standardnormalparabel ist einfach x². Bis zum nächsten Mal.

Scheitelform einer Normalparabel

Um die Funktionsgleichung einer Normalparabel anzugeben, benötigst du nur ihren Scheitelpunkt. Die Gleichung nennt man dann Scheitelform. Umgekehrt lässt sich an der Scheitelform auch sofort der Scheitelpunkt der Parabel ablesen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du die Scheitelform einer Normalparabel bestimmst. Dazu benötigst du lediglich den Scheitelpunkt. Hier siehst du zwei Normalparabeln.

Ihr Scheitelpunkt ist der Hoch- bzw. Tiefpunkt. F hat den Scheitelpunkt 1 – 2 und G hat den Scheitelpunkt – 3, 4. Ob eine Parabel eine Normalparabel ist, kannst du ganz leicht testen.

Gehe vom Scheitelpunkt aus eine Einheit nach rechts und eine Einheit nach unten bzw. nach oben. Landest du wieder auf dem Graphen, ist es eine Normalparabel.

Um die Scheitelform von F zu bestimmen, schreibst du eine Klammer mit einem X darin und einem Quadrat außen. Hinter das X schreibst du die X-Koordinate des Scheitelpunktes mit geändertem Vorzeichen. Aus 1 wird –1.

Hinter die Klammer schreibst du die Y-Koordinate des Scheitelpunktes, also –2. Diese Gleichung nennt man Scheitelform, weil man daran sofort den Scheitelpunkt ablesen kann. Sollst du aus solch einer Gleichung den Scheitelpunkt ablesen, nimmst du diese Zahl und änderst das Vorzeichen.

Das ist die X-Koordinate des Scheitelpunktes. Und dann nimmst du diese Zahl. Das ist die Y-Koordinate.

Bestimmen wir jetzt die Scheitelform von G. Schreibe wieder eine Klammer mit einem X darin und dem Quadrat außen. Jetzt nimmst du die X-Koordinate und änderst das Vorzeichen. Und dann nimmst du die Y-Koordinate.

Da diese Parabel nach unten geöffnet ist, musst du noch ein Minus vor die Klammer schreiben.

Scheitelform in Normalform umwandeln

Hier zeige ich dir, wie du die Scheitelform in die Normalform umwandelst. Das machst du zum Beispiel, um die Nullstellen der Parabel zu berechnen. Die Umwandlung erfolgt durch eine Binomische Formel oder durch Ausmultiplizieren.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du die Scheitelform einer Parabel in die Normalform umwandelst. Dazu hast du zwei Möglichkeiten. Die binomischen Formeln oder Ausmultiplizieren.

Ich zeige dir beide Varianten. Beginnen wir mit den binomischen Formeln. Wegen dem Pluszeichen nimmst du die erste binomische Formel.

Diese habe ich dir zur Erinnerung hierhin geschrieben. Würde hier ein Minus stehen, dann würdest du die zweite binomische Formel nehmen. Die dritte binomische Formel brauchst du hierfür gar nicht.

A ist bei uns x und B ist bei uns 3. Jetzt schreibst du einfach diese Zeile ab und ersetzt A durch x und B durch 3. A Quadrat ist somit x Quadrat. 2ab sind 2 mal x mal 3. b Quadrat ist 3 Quadrat. Dahinter kommt natürlich noch minus 1. Und nun fasst du zusammen.

2 mal 3 sind 6. 3 zum Quadrat ist 9. 9 minus 1 ist 8. Das ist die Normalform der Parabel. Falls du die binomischen Formeln nicht magst, kannst du auch Schritt für Schritt ausmultiplizieren. Wie das geht, zeige ich dir jetzt.

Das Quadrat bedeutet ja, dass die Klammer mit sich selbst multipliziert wird. Und nun rechnest du. x mal x sind x Quadrat.

x mal 3 sind 3x. 3 mal x sind ebenfalls 3x. Und 3 mal 3 ist 9. Dahinter kommt natürlich noch minus 1. Und nun fasst du zusammen.

3x plus 3x sind 6x. 9 minus 1 ist 8. Und schon hast du die Normalform. Hier siehst du die Parabel.

Um ihre Gleichung anzugeben, hast du also zwei Möglichkeiten. Die Scheitelform und die Normalform. Es gibt sogar noch eine dritte Möglichkeit über die Linearfaktorzerlegung.

Diese zeige ich dir in einem anderen Video.

Normalform in Scheitelform umwandeln

Hier zeige ich dir, wie du umgekehrt die Normalform in die Scheitelform umwandelst. Das ist z.B. sinnvoll, um den Scheitelpunkt zu bestimmen. Die Umwandlung gelingt durch einen kleinen Trick: die quadratische Ergänzung.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du die Normalform einer Parabel in die Scheitelform umwandelst. Das ist etwas schwieriger als umgekehrt. Du brauchst dafür die erste oder zweite binomische Formel.

Dieses Beispiel kennst du schon aus dem letzten Video. Wegen diesem Pluszeichen nimmst du die erste binomische Formel, die ich dir zur Erinnerung hier hingeschrieben habe. Jetzt ordnest du zu.

a muss bei uns x sein. Aber was ist dann b? Das findest du heraus, wenn du dir den mittleren Teil anschaust. Dieser ist ja immer 2ab.

2a sind bei uns 2x. Dann muss b also 3 sein, denn 2 mal 3 macht 6. e² sind dann 3². Das schreibst du erstmal dahinter.

Da du aber nicht irgendwas dazu schreiben darfst, was vorher gar nicht da war, ziehst du es gleich wieder ab. Das nennt man eine quadratische Ergänzung. Dahinter kommt noch Plus 8. Du hast die Gleichung also ein bisschen aufgebläht.

Wozu das gut sein soll, zeige ich dir jetzt. Laut der ersten binomischen Formel ist das hier das gleiche wie das. Du kannst also das hier abschreiben und dabei für a x einsetzen und für b 3. Damit hast du diesen Teil ersetzt.

Den Rest musst du noch dahinter schreiben. 3² ist 9. Und –9 plus 8 ist –1. Und schon hast du die Scheitelform der Normalparabel, an der du leicht den Scheitelpunkt ablesen kannst.

Hätte hier ein Minus gestanden, hättest du die zweite binomische Formel verwendet. Dann hättest du an folgenden Stellen ebenfalls Minus statt Plus schreiben müssen. Hier, hier, hier, hier und hier.

Der Rest wäre aber komplett gleich.

So zeichnest du eine Normalparabel

Hier siehst du 2 Möglichkeiten, eine Normalparabel zu zeichnen: mit Hilfe des Scheitelpunktes oder einer Wertetabelle.

Lösungsbeschreibung

Jetzt zeige ich dir, wie du eine Normalparabel zeichnest. Hast du die Scheitelform gegeben, liest du einfach den Scheitelpunkt ab und legst deine Kurvenschablone an diesem Punkt an. Alternativ kannst du die Parabel frei handzeichnen.

Gehe vom Scheitelpunkt jeweils eins zur Seite und eins nach oben. Dort sind weitere Punkte, die du mit dem Scheitelpunkt verbinden kannst. Als nächstes gehst du vom Scheitelpunkt je zwei Einheiten zur Seite und vier nach oben.

Dort liegen weitere Punkte. Das geht so leicht, weil es sich um eine Normalparabel handelt. Das erkennst du daran, dass vor der Klammer keine Zahl steht.

Würde vor der Klammer ein Minuszeichen stehen, würdest du übrigens nach unten statt nach oben gehen. Hast du die Normalform gegeben, machst du eine Wertetabelle. Das ist eine Tabelle mit zwei Zeilen.

Oben stehen x-Werte, die du dir selbst aussuchst. Diese setzt du in die Gleichung ein und bestimmst die zugehörigen Funktionswerte oder einfach y-Werte. Rechnen wir das mal für minus 1 nach.

Du schreibst also diese Zeile ab und ersetzt x durch minus 1, also hier, hier und hier. Nun fasst du zusammen. Minus 1 zum Quadrat ist 1. 6 mal minus 1 ist minus 6. 1 minus 6 ist minus 5. Und minus 5 plus 8 ist 3. Das schreibst du dann hier rein.

Und nun markierst du diesen Punkt im Koordinatensystem. Du suchst minus 1 auf der x-Achse und 3 auf der y-Achse. Der zugehörige Punkt liegt dann hier.

Genauso machst du das für die anderen Punkte. Und dann verbindest du sie mit der Schablone oder Freihand. Natürlich könntest du auch bei der Scheitelform eine Wertetabelle machen.

Aber dieser Weg ist schneller.