Lineare Funktionen

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• Was ist eine lineare Funktion?
• Lage von Geraden
• Steigung einer Gerade berechnen

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Was ist eine lineare Funktion?

Hier erfährst du genau, was lineare Funktionen sind und wie ihre Graphen aussehen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, was lineare Funktionen sind. Eine lineare Funktion hat die Form f von x ist gleich mx plus b. Statt f von x kann dort auch y stehen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine Gerade.

So sieht also die Gleichung einer Geraden aus. Nehmen wir als Beispiel y ist gleich 2x minus 3. b ist die Schnittstelle mit der y-Achse. b ist bei uns minus 3. Also wird die y-Achse bei minus 3 geschnitten.

m ist der Anstieg, du kannst auch Steigung sagen. m ist bei uns 2. Das siehst du leicht an dem sogenannten Steigungsdreieck. Pro Einheit nach rechts steigt die Funktion um zwei Einheiten.

Der Anstieg ist natürlich an jeder Stelle gleich. Die Einheit ist egal, du kannst Zentimeter nehmen oder die Kästchen auf dem Papier.

Lage von Geraden

So beeinflussen m und b die Lage einer Gerade im Koordinatensystem. Außerdem lernst du, wann 2 Geraden parallel sind.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du die Lage einer Gerade im Koordinatensystem an ihrer Gleichung erkennst. Die allgemeine Form einer Geradengleichung ist y ist gleich mx plus b. Steht hier nur ein x, ist der Anstieg 1, denn x ist ja das gleiche wie einmal x. Das ist der zugehörige Graph. Pro Einheit nach rechts steigt er um eine Einheit.

Hier ist m-2. Da m negativ ist, fällt die Gerade. Pro Einheit nach rechts fällt sie um zwei Einheiten.

Hier gibt es kein b, deshalb verläuft die Gerade durch den Ursprung. Denn b ist praktisch 0, also muss die y-Achse bei 0 geschnitten werden. Und das ist genau hier.

Fällt dir an der blauen und der grünen Gerade etwas auf? Sie sind parallel. Das liegt daran, dass sie den gleichen Anstieg haben, nämlich minus 2. Hier fehlt mx, deshalb verläuft die Gerade parallel zur x-Achse. Die 2 ist die Schnittstelle mit der y-Achse.

m ist praktisch 0, also darf die Gerade weder steigen noch fallen. Somit verläuft sie immer auf dieser Höhe und damit parallel zur x-Achse.

Steigung einer Gerade berechnen

So berechnest du mit Hilfe von 2 Punkten die Steigung einer Gerade. Statt Steigung kannst du auch Anstieg sagen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du den Anstieg N berechnen kannst, wenn du zwei Punkte auf der Gerade kennst. Das ist nützlich, falls man den Anstieg schwer am Schaubild erkennen kann, wie hier. Die Steigung M berechnest du mit dieser Formel.

Suche dir zwei Punkte auf dem Graphen, die du exakt ablesen kannst, wie zum Beispiel diesen Punkt und diesen Punkt. Nun setzt du in die Formel ein. Die y-Koordinate vom zweiten Punkt ist 1. Jetzt kommt dieses Minuszeichen und dann die y-Koordinate vom ersten Punkt, also minus 1. Jetzt machst du das gleiche für die x-Koordinaten.

Zuerst schreibst du die x-Koordinate vom zweiten Punkt hin, also 3. Dann wieder ein Minuszeichen und dann die x-Koordinate vom ersten Punkt. Jetzt vereinfachst du den Ausdruck. Minus minus 1 ist plus 1. 3 minus 0 ist 3 und 1 plus 1 ist 2. Die Steigung ist somit zwei Drittel.

Das kannst du dir so vorstellen. Du gehst drei Einheiten nach rechts und zwei nach oben. Dieses Dreieck kannst du auch schrumpfen.

Gehst du nun eins nach rechts, dann musst du zwei Drittel hochgehen, also weniger als eine Einheit. Jetzt ist es leicht, die Geradengleichung anzugeben. Du schreibst y ist gleich zwei Drittel x und dahinter die Schnittstelle mit der y-Achse, also minus 1. Es spielt überhaupt keine Rolle, wo auf der Gerade die Punkte liegen.

Es müssen nur zwei verschiedene Punkte sein. Deshalb steht hier die Bedingung x1 ungleich x2. Das heißt, die x-Koordinaten dürfen nicht gleich sein.

Außerdem hättest du auch diesen Punkt als Ersten und diesen als Zweiten nehmen können. Es wäre dieselbe Steigung herausgekommen. Rechne es nach, falls du es nicht glaubst.