Fehler 1. Art und 2. Art
Springe zu den Inhalten
Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.
Zurück zur Übersicht
Was bedeuten der Fehler 1. Art und 2. Art?
Verwirft man die Nullhypothese zu Unrecht, begeht man den Fehler 1. Art. Akzeptiert man sie dagegen zu Unrecht, begeht man den Fehler 2. Art.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video erkläre ich dir, was mit Fehler erster Art und zweiter Art gemeint ist. Bei einem Signifikanztest wird die Nullhypothese H0 am Ende entweder verworfen oder akzeptiert. Du kannst auch sagen, die Nullhypothese wird abgelehnt bzw.
beibehalten. Das Ergebnis des Tests sagt aber nichts darüber aus, ob die Nullhypothese in Wirklichkeit wahr oder falsch ist. Beides kann der Fall sein.
Somit kann man sich bei einem Test richtig oder falsch entscheiden. Verwirft man die Nullhypothese und ist diese tatsächlich falsch, hat man sich richtig entschieden. Ist sie in Wirklichkeit jedoch wahr, hat man sich falsch entschieden.
Das wird als Fehler erster Art bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit dafür wird auch Irrtumswahrscheinlichkeit genannt. Hat man die Nullhypothese dagegen akzeptiert, hat man sich in diesem Fall richtig entschieden.
Akzeptiert man jedoch eine Nullhypothese, die in Wirklichkeit falsch ist, hat man sich wiederum falsch entschieden. Das wird als Fehler zweiter Art bezeichnet. Den Fehler erster Art begeht man also, wenn man die Nullhypothese verwirft, obwohl sie stimmt, und den Fehler zweiter Art begeht man, wenn man die Nullhypothese nicht verwirft, obwohl sie nicht stimmt.
Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art wird durch das sogenannte Signifikanzniveau begrenzt. Um die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art zu berechnen, müsste man die wahren Verhältnisse kennen. Das ist normalerweise aber nicht der Fall.
Wenn man die wahren Verhältnisse kennen würde, bräuchte man ja keine Hypothesen mehr aufzustellen und zu testen. Dennoch lassen sich Aufgaben so formulieren, dass du den Fehler zweiter Art berechnen kannst. Du solltest also auch wissen, wie das geht.
Zurück zur Übersichtnoch oben
Fehler im Sachzusammenhang formulieren
Der Fehler 1. Art bedeutet, die Nullhypothese zu Unrecht zu verwerfen. Doch was heißt das in einer konkreten Situation, die in einer Textaufgabe beschrieben wird? Und was bedeutet dort der Fehler 2. Art? In diesem Video lernst du, die Fehler im Sachzusammenhang zu formulieren und ihre Konsequenzen aufzuzeigen. Außerdem erfährst du, wie man die Wahrscheinlichkeit für den schlimmeren Fehler kontrollieren kann.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video geht es darum, Fehler im Sachzusammenhang zu formulieren. Dazu lösen wir diese Aufgabe. Ein neues Medikament wird vor der Zulassung getestet.
Der Hersteller geht davon aus, dass bei höchstens 2% der Patienten Nebenwirkungen auftreten. Für einen rechtzeitigen Signifikanztest wird daher die Nullhypothese p kleinergleich 0,02 formuliert. Aufgabe A. Formuliere den Fehler 1. Art und 2. Art im Sachzusammenhang.
Und Aufgabe B. Warum sollte besser ein linksseitiger Test mit der Nullhypothese p größergleich 0,02 durchgeführt werden? Kommen wir zur Aufgabe A. Den Fehler 1. Art begeht man, wenn man die Nullhypothese verwirft, obwohl sie wahr ist. Man nimmt dann die Alternative an. Das bedeutet hier, man geht davon aus, dass bei mehr als 2% der Patienten Nebenwirkungen auftreten, obwohl das in Wahrheit nicht der Fall ist.
Mögliche Folgen sind, dass das Medikament gar nicht erst zugelassen wird oder dass der Hersteller versucht, die Nebenwirkungen zu reduzieren, obwohl das gar nicht nötig wäre. Den Fehler 2. Art begeht man, wenn man die Nullhypothese akzeptiert, obwohl sie in Wahrheit falsch ist. Das bedeutet hier, man geht davon aus, dass bei höchstens 2% der Patienten Nebenwirkungen auftreten, obwohl es in Wahrheit mehr sind.
Das hat zur Folge, dass das Medikament eher zugelassen wird und dadurch Patienten gefährdet werden. Kommen wir zur Aufgabe B. Der Fehler 2. Art hat hier die schlimmeren Folgen, da Menschen gefährdet werden. Dreht man den Test aber um, vertauscht man auch die Fehler.
Lautet die Nullhypothese, dass bei mindestens 2% Nebenwirkungen auftreten, ist nun der Fehler 1. Art der mit den schlimmeren Folgen. Nun geht man beim Fehler 1. Art davon aus, dass weniger als 2% der Patienten Nebenwirkungen haben, obwohl es in Wahrheit mehr sind. Die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art wäre aber durch das vorgegebene Signifikanzniveau begrenzt.
Über das Signifikanzniveau kann man also eine Obergrenze für die Wahrscheinlichkeit dieses Fehlers festlegen. Meist ist diese 5%.
Zurück zur Übersichtnoch oben
Fehler berechnen
Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (Irrtumswahrscheinlichkeit) wird durch das Signifikanzniveau des Tests beschränkt (z.B. maximal 5%). Du kannst sie aber auch exakt berechnen. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art lässt sich nur berechnen, wenn die wahren Verhältnisse bekannt sind. Das ist normalerweise nicht der Fall, denn wozu bräuchte man dann noch Hypothesen zu testen? Dennoch können Aufgaben so formuliert sein, dass sich auch die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art berechnen lässt.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video zeige ich dir, wie du die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art und 2. Art berechnest. Dazu lesen wir diese Aufgabe. Eine Partei will durch eine Umfrage herausfinden, ob ihr Wähleranteil p gesunken ist.
Dazu wird folgender Test durchgeführt. Die Nullhypothese lautet, p ist gleich 0,4. Die Alternative lautet, p ist kleiner als 0,4.
N ist 1000 und das Signifikanzniveau ist 5%. Dieses wird oft mit Alpha bezeichnet. Die Zufallsvariable x ist die Anzahl der Befragten, die die Partei wählen würden.
x ist bei wahrer Nullhypothese binomial verteilt mit N gleich 1000 und p gleich 0,4. Das ist genau der Test aus dem Video zum linkseitigen Signifikanztest. Der Test ergibt für H0 den Ablehnungsbereich von 0 bis 374 Stimmen.
Aufgabe A. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art? Und Aufgabe B. Berechne die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, wenn p in Wahrheit 0,37 ist. Kommen wir zur Aufgabe A. Stimmt die Nullhypothese, ist x binomial verteilt mit N gleich 1000 und p gleich 0,4. Die Verteilung von x sieht dann so aus.
Beim Fehler 1. Art wird die Nullhypothese abgelehnt, obwohl sie wahr ist. Und wann wird die Nullhypothese abgelehnt? Na, wenn die Anzahl der Stimmen im Ablehnungsbereich liegt. Dieser geht von 0 bis 374, laut Aufgabenstellung.
Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art ist damit die Wahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereichs. Also p von x kleiner gleich 374. Das berechnest du mit deinem Taschenrechner.
Die Funktion dafür heißt meist Binomcdf. Für N gibst du 1000 ein, für p 0,4 und die dritte Eingabe ist 374. Das ergibt 0,0495, also 4,95%.
Das ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art. Sie wird durch das vorgegebene Signifikanzniveau begrenzt. Deshalb kann sie nicht größer als 5% sein.
Diese Rechnung machst du auch bei der Testdurchführung. Das Ergebnis könntest du also von dort abschreiben. Kommen wir zur Aufgabe b. Jetzt sind die Farben getauscht.
Wenn der Ablehnungsbereich eine Wahrscheinlichkeit von 4,95% hat, hat der Annahmebereich eine Wahrscheinlichkeit von 95,05%. Denn beide zusammen müssen 100% ergeben. Der Annahmebereich beginnt bei 375 und geht bis 1000.
Bei Aufgabe b berechnest du jetzt aber die Wahrscheinlichkeit für den Annahmebereich, wenn p in Wahrheit nicht 0,4, sondern 0,37 ist. Das entspricht dieser roten Fläche. Sie ist kleiner als hier, weil die Verteilung anders ist.
Diese hat zum Beispiel ihr Maximum bei 370. Diese bei 400. Der Inhalt der roten Fläche ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art.
Also die Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese anzunehmen, obwohl sie falsch ist. Wir nehmen dann an, dass p 0,4 ist, obwohl p in Wahrheit 0,37 ist. Das wahre p muss also in der Aufgabe gegeben sein, sonst kannst du die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art.
nicht berechnen. In der Realität kennt man das wahre p aber normalerweise nicht. Und so berechnest du die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art.
x ist nun binomial verteilt mit n gleich 1000 und p gleich 0,37 statt 0,4. Gesucht ist p von x größer gleich 375. Größergleich ist aber immer ungeeignet zum Rechnen.
Deshalb musst du das umformen. Das geht mit dem Gegenereignis. Diese Wahrscheinlichkeit ist dann 1 minus die Wahrscheinlichkeit vom Gegenereignis.
Und das Gegenereignis zu mindestens 375 ist höchstens 374. Diese Wahrscheinlichkeit berechnest du wie zuvor mit deinem Taschenrechner. Meist heißt die Funktion Binomcdf.
Für p gibst du diesmal aber 0,37 ein. Das macht 0,6169. Und das ergibt 0,3831, also rund 38,3%.
Das ist der Inhalt der roten Fläche. Wie du siehst, ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art. riesig.
Sie kann nicht wie beim Fehler 1. Art. begrenzt werden. Sie wird nur kleiner, wenn man n größer macht.
Zurück zur Übersichtnoch oben