Konfidenzintervalle für Wahrscheinlichkeiten
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Konfidenzintervalle für Wahrscheinlichkeiten
Ist die Wahrscheinlichkeit p bei einer Binomialverteilung unbekannt, kann sie aufgrund von Beobachtungen geschätzt werden. Das Ziel ist es, ein Intervall anzugeben, das die wahre Wahrscheinlichkeit mit einer bestimmten Sicherheit überdeckt. Statt Sicherheit sagt man auch Sicherheitswahrscheinlichkeit oder Vertrauensniveau. Das Intervall wird um die relative Häufigkeit herum gebildet und hat eine ähnliche Form wie bei den Sigmaregeln. Das Intervall wird Konfidenzintervall oder Vertrauensintervall genannt. So ermittelst du es:
Lösungsbeschreibung
Manchmal ist eine Wahrscheinlichkeit unbekannt und soll aufgrund von Beobachtungen geschätzt werden. Wie das geht, lernst du in diesem Video. Das Ziel ist es, ein Intervall anzugeben, das die wahre Wahrscheinlichkeit mit einer bestimmten Sicherheit überdeckt.
Ein solches Intervall wird Konfidenzintervall oder Vertrauensintervall genannt. Bei Binomialverteilungen sieht das Intervall so aus. H steht für die relative Häufigkeit.
Diese ist ein Schätzwert für die wahre Wahrscheinlichkeit. Das Intervall ist nichts anderes als ein Bereich um diesen Schätzwert. Denn hier steht das gleiche wie hier, nur mit Plus statt mit Minus.
Z hängt von der gewählten Sicherheitswahrscheinlichkeit ab. Man sagt auch Vertrauensniveau. Willst du ein Intervall, in dem die wahre Wahrscheinlichkeit mit 90%iger Sicherheit liegt, musst du für Z 1,64 einsetzen.
Hier findest du auch die Werte für andere Sicherheitswahrscheinlichkeiten. Das sind die gleichen Werte wie bei den Sigma-Regeln. Machen wir mal ein Beispiel dazu.
Ein gezinkter Würfel wird 200 Mal geworfen. Dabei erscheint 50 Mal eine 6. In welchem Intervall liegt die Wahrscheinlichkeit für eine 6 mit einer Sicherheit von 90%? Bei einem normalen Würfel ist die Wahrscheinlichkeit ein Sechstel. Bei dem gezinkten Würfel ist diese Wahrscheinlichkeit unbekannt und soll geschätzt werden.
Betrachtet man nur die Ergebnisse 6 oder keine 6, ist die Anzahl der Sechsen binomial verteilt. Also hat das Konfidenzintervall diese Form. Du brauchst somit h, z und n. n ist 200.
Das ist die Anzahl der Würfe. h ist die relative Häufigkeit für eine 6. Bei 50 von 200 Würfen kam eine 6. Das ergibt 0,25. 1-h, also 1-0,25, ist 0,75.
Die Sicherheitswahrscheinlichkeit soll 90% betragen. Laut dieser Tabelle muss z dann 1,64 sein. Das setzt du dann hier ein.
Die Wurzel ergibt jeweils 0,03. Das macht dann 0,2 und das macht 0,3. Mit einer Sicherheit von 90% liegt die Wahrscheinlichkeit für eine 6 somit im Intervall von 0,2 bis 0,3.
Sie liegt also ziemlich sicher zwischen 20 und 30%, Grenzen eingeschlossen. Zum Vergleich, bei einem normalen Würfel ist die Wahrscheinlichkeit für eine 6 nicht ganz 17%.
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