Normalverteilung

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• Gauß'sche Glockenfunktionen
• Was bedeutet "normalverteilt"?
• Wahrscheinlichkeiten berechnen
• Binomialverteilungen durch Normalverteilungen annähern / Der Satz von de Moivre-Laplace
• Beispielaufgabe

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Gauß'sche Glockenfunktionen

Bei einer Binomialverteilung nimmt die Zufallsvariable X nur ganze Zahlen an (X ist z.B. die Anzahl der Treffer). X ist diskret. Stetige Zufallsvariablen wie Größe, Gewicht oder Geschwindigkeit können dagegen auch Kommazahlen annehmen. Ein Gewicht nimmt z.B. stetig von 1 kg auf 2 kg zu und nicht sprunghaft. Solche Zufallsvariablen sind entsprechend stetig verteilt, z.B. normalverteilt. Sie können nicht binomialverteilt sein, da die Binomialverteilung eine diskrete Verteilung ist. Gauß'sche Glockenfunktionen sind spezielle e-Funktionen, mit denen man Wahrscheinlichkeiten berechnen kann. In diesem Video zeige ich dir 2 Beispiele dafür.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, was gaussische Glockenfunktionen sind. Gauss war einer der bedeutendsten deutschen Mathematiker und Physiker. Die nach ihm benannten gaussischen Glockenfunktionen sind E-Funktionen, die dieser Form entsprechen.

Ihre Graphen sehen aus wie Glocken. Glockenfunktionen werden mit dem griechischen Buchstaben φ bezeichnet. Alle Glockenfunktionen unterscheiden sich nur durch ihren Erwartungswert μ und ihre Standardabweichung σ, die an diesen Stellen vorkommen.

Ist μ gleich 3, muss hier eine 3 stehen. Und ist σ gleich 2, steht hier eine 2. Und hier steht 2 mal 2 zum Quadrat. Das macht 8. Zu dieser Funktion gehört die blaue Glockenkurve.

Ist μ gleich 0 und σ gleich 1, spricht man von der Standardglockenfunktion. x minus 0 ist x, also steht hier x². Und 2 mal 1 zum Quadrat ist 2. Hier kann man die 1 weglassen.

Der zugehörige Graph ist die rote Glockenkurve. μ und σ haben folgende Bedeutung. Beim μ gleich 0 liegt der Hochpunkt.

μ plus σ, also 0 plus 1, ist 1. Und μ minus σ, also 0 minus 1, ist minus 1. An diesen Stellen hat der Graph Wendepunkte. Die Wendestellen haben zu μ also den Abstand σ. Beim blauen Graph ist μ 3. An dieser Stelle ist also der Hochpunkt. σ ist 2. Die Wendestellen sind dann 3 minus 2, also 1. Und 3 plus 2, also 5. Je größer σ ist, desto breiter und flacher ist der Graph.

Jetzt erkläre ich dir, wozu du die Gaussian-Glockenfunktionen brauchst. Ist eine Zufallsvariable normal verteilt, berechnest du Wahrscheinlichkeiten durch Integration der zugehörigen Glockenfunktionen. Die Gaussian-Glockenfunktionen sind daher sogenannte Wahrscheinlichkeitsdichten von Normalverteilungen.

Was bedeutet "normalverteilt"?

Um Wahrscheinlichkeiten einer stetigen Zufallsvariable X zu berechnen, integriert man über ihre Wahrscheinlichkeitsdichte. Ist die Wahrscheinlichkeitsdichte eine Gauß'sche Glockenfunktion, heißt X normalverteilt. Handelt es sich dabei um die Standard-Glockenfunktion mit μ=0 und σ=1 heißt X standardnormalverteilt. Am Beispiel des Intelligenzquotienten wird dir gleich klar, was das alles bedeutet.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, was mit Normalverteilung gemeint ist. Dazu musst du zuerst wissen, was eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist. Damit bezeichnet man eine Funktion, mit der man Wahrscheinlichkeiten berechnen kann, indem man die Funktion integriert.

Normalverteilung bedeutet dann folgendes. Eine stetige Zufallsvariable x heißt normalverteilt mit den Parametern µ und σ, wenn ihre Wahrscheinlichkeitsdichte eine gaussische Glockenfunktion ist. Eine Glockenfunktion wird mit dem griechischen Buchstaben φ bezeichnet.

Die Parameter µ und σ tauchen hier wieder auf. Dieser Satz bedeutet folgendes. Stetige Zufallsvariablen sind z.B. Größe, Gewicht, Geschwindigkeit usw., die also auch Kommazahlen sein können.

Bei stetigen Zufallsvariablen berechnet man Wahrscheinlichkeiten durch Integrale. Ist die Funktion, die man dazu integriert, eine gaussische Glockenfunktion, sagt man x ist normalverteilt. Das kannst du auch kurz so notieren.

n steht für Normalverteilung und hier stehen der Erwartungswert µ und die Standardabweichung σ. Schauen wir uns mal ein Beispiel für eine Normalverteilung an. Der Intelligenzquotient, kurz IQ, ist normalverteilt mit µ gleich 100 und σ gleich 15. Hier das gleiche in Kurzschreibweise.

Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte ist diese gaussische Glockenkurve. µ und σ haben folgende Bedeutung. Bei µ gleich 100 liegt der Hochpunkt.

µ plus σ, also 100 plus 15, ist 115 und µ minus σ, also 100 minus 15, ist 85. An diesen Stellen hat der Graph Wendepunkte. Um zum Beispiel auszurechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für einen IQ von 85 bis 115 ist, integrierst du die Glockenfunktion über diesem Intervall.

Das sieht dann so aus. Die Zufallsvariable x gibt also den IQ an. Die Wahrscheinlichkeit, dass x einen Wert von 85 bis 115 annimmt, ist dann das Integral von 85 bis 115 über diese Glockenfunktion.

Für die Glockenfunktion lässt sich grundsätzlich jedoch keine Stammfunktion angeben. Deshalb kannst du dieses Integral nur näherungsweise mit dem Taschenrechner oder auch mit Tabellen bestimmen. Die Funktion dafür heißt bei vielen Rechnern normal CDF.

Das Ergebnis ist hier 0,68. Das bedeutet, 68% haben einen IQ von 85 bis 115. 0,68 ist der Inhalt der roten Fläche.

Der Inhalt der Gesamtfläche zwischen Glockenkurve und x-Achse ist 1. Diese Fläche entspricht somit 68% der Gesamtfläche. Die Gesamtfläche ist allerdings unbegrenzt, da die Glockenkurve die x-Achse nie berührt, auch wenn das auf dem Schaubild anders wirkt. Die x-Achse ist eine waagerechte Asymptote.

Wahrscheinlichkeiten berechnen

Um Wahrscheinlichkeiten bei einer Normalverteilung zu berechnen, integrierst du die zugehörige Glockenfunktion. Das klingt komplizierter als es ist, denn solche Aufgaben löst du komplett mit dem Taschenrechner. Die Funktion dafür heißt meist "normalcdf". In diesem Video zeige ich dir, wie das geht und was du bei den Integrationsgrenzen beachten musst.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du Wahrscheinlichkeiten bei einer Normalverteilung berechnest. Dazu lösen wir diese Aufgabe. Seitenspender werden maschinell befüllt.

Die Füllmenge kann als normal verteilt angenommen werden, mit µ gleich 400 ml und σ gleich 2 ml. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Flasche a. mehr als 396 ml und weniger als 404 ml enthält, b. höchstens 398 ml enthält und c. mindestens 398 ml enthält. Kommen wir zur Aufgabe a. x gibt die Füllmenge in ml an.

Diese soll jetzt mehr als 396 und weniger als 404 ml betragen. Mehr als 396 ml bedeutet, 396 ist kleiner als x. Und weniger als 404 ml bedeutet, x ist kleiner als 404. x liegt also zwischen diesen Werten.

Bei der Wahrscheinlichkeit stetiger Zufallsvariablen macht es aber keinen Unterschied, ob hier kleiner oder kleiner gleich steht. Die Wahrscheinlichkeit, dass x zwischen diesen Werten liegt, ist genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass x von 396 bis 404 geht. Diese Wahrscheinlichkeit berechnest du mit diesem Integral.

Die Grenzen sind 396 und 404. Integriert wird über die Glockenfunktion phi mit µ gleich 400 und σ gleich 2. µ und σ schreibst du einfach aus der Aufgabenstellung ab. Das Integral berechnest du mit einer speziellen Funktion deines Taschenrechners.

Meist heißt sie normal cdf. Dazu gibst du die Parameter µ gleich 400, σ gleich 2 und die untere und obere Integralgrenze ein. Das Ergebnis ist 0,9544, also rund 95%.

Diese Zahl entspricht diesem Flächeninhalt. Das ist die Fläche zwischen der Glockenkurve phi und der x-Achse im Intervall von 396 bis 404. Kommen wir zur Aufgabe b. Jetzt ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass höchstens 398 ml in der Flasche sind.

Das bedeutet, x ist kleiner gleich 398. Somit ist 398 die obere Integralgrenze. Eine untere Grenze ist diesmal nicht angegeben.

Vom Verständnis her müsste die untere Grenze 0 sein. Dann wäre die Flasche leer. Die Glockenkurve endet aber nicht bei x gleich 0, sondern reicht bis ins Minusunendliche.

Die untere Grenze ist damit minusunendlich. Es ist wichtig, dass du das hier korrekt aufschreibst. In den Taschenrechner kannst du das allerdings nicht eingeben.

Dort nimmst du für die untere Grenze zum Beispiel minus 10 hoch 99. Das Ergebnis ist 0,1587, also rund 16%. Diese Zahl entspricht dem Inhalt dieser Fläche, die nach links unbegrenzt ist.

Kommen wir zur Aufgabe c. Jetzt ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass mindestens 398 ml in der Flasche sind. Das bedeutet, x ist größer gleich 398. Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, hast du zwei Möglichkeiten.

Mit dem entsprechenden Integral oder mit dem Gegenereignis. Fangen wir damit an. Das Gegenereignis zu mindestens 398 ist weniger als 398.

Die Wahrscheinlichkeit hiervon ist dann 1 minus die Wahrscheinlichkeit vom Gegenereignis. Bei stetigen Zufallsvariablen macht es keinen Unterschied, ob hier kleiner oder kleiner gleich steht. Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 398 ml in der Flasche sind.

Und diese Wahrscheinlichkeit hast du gerade in Aufgabe b ausgerechnet. Das war 0,1587. Das macht dann 0,8413, also rund 84%.

Diese Zahl entspricht dem Inhalt dieser Fläche, die nach rechts unbegrenzt ist. Die zweite Möglichkeit ist über das entsprechende Integral. Wenn x größer gleich 398 sein soll, muss das die untere Integralgrenze sein.

Diesmal gibt es keine obere Grenze. Auch wenn die Flasche in der Realität irgendwann überlaufen oder bersten würde, muss hier unendlich stehen. Denn die Glockenkurve reicht bis ins Unendliche.

In den Taschenrechner kannst du das allerdings nicht eingeben. Dort nimmst du für die obere Grenze einen sehr großen Wert, zum Beispiel 10 hoch 99. Das Ergebnis ist das gleiche wie bei der Methode mit dem Gegenereignis.

Binomialverteilungen durch Normalverteilungen annähern / Der Satz von de Moivre-Laplace

Binomialverteilungen mit einer Standardabweichung σ>3 lassen sich durch Normalverteilungen annähern. Das besagt der Satz von de Moivre-Laplace. Wahrscheinlichkeiten können dann nicht nur mit der Bernoulli-Formel berechnet werden, sondern auch durch Integration. Ein Vergleich der Ergebnisse zeigt, wie genau die Annäherung ist. Der Satz von de Moivre-Laplace besagt: Ist die Standardabweichung σ einer Binomialverteilung größer als 3, lässt sie sich durch eine Normalverteilung annähern.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lernst du, wie sich eine Binomialverteilung durch eine Normalverteilung annähern lässt. Der Satz von de Moivre-Laplace besagt, eine Binomialverteilung mit den Parametern n und p und der Standardabweichung sigma größer als 3 lässt sich durch eine Normalverteilung mit den Parametern µ und sigma annähern. Nehmen wir als Beispiel die Binomialverteilung mit n gleich 100 und p gleich 0,8.

Die Kurzschreibweise dafür ist das. Nun musst du zuerst herausfinden, ob die Standardabweichung sigma größer als 3 ist. Das ist die Formel für sigma.

n ist bei uns 100, p ist 0,8 und 1-p, also 1-0,8 ist 0,2. Das ergibt 16 und die Wurzel daraus ist 4. Da 4 größer als 3 ist, lässt sich diese Binomialverteilung durch eine Normalverteilung annähern. Für die Normalverteilung brauchst du die Parameter µ und sigma.

Sigma hast du schon. µ ist der Erwartungswert der Binomialverteilung. Dieser ist n mal p, also 100 mal 0,8.

Das ergibt 80. Die Binomialverteilung wird also durch eine Normalverteilung angenähert mit den Parametern µ gleich 80 und sigma gleich 4. Sie hat den gleichen Erwartungswert und die gleiche Standardabweichung wie die Binomialverteilung. Die Kurzschreibweise sieht so aus.

Jetzt zeige ich dir, was mit Annäherung gemeint ist. Das Blaue ist die Binomialverteilung. Ihre Kontur wird durch die rote Glockenkurve angenähert.

Das ist die sogenannte Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung. Sie wird mit phi bezeichnet und hat ebenfalls die Parameter µ gleich 80 und sigma gleich 4. Durch die Annäherung kannst du Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung nun auf zwei Arten berechnen. Entweder wie bisher oder indem du die rote Glockenfunktion integrierst.

Warum das so ist, erkläre ich dir jetzt. Die Wahrscheinlichkeit für zum Beispiel 75 Treffer kannst du ja hier ablesen. Das ist gleichzeitig die Höhe des Balkens.

Die Breite ist 1. Deshalb ergibt Breite mal Höhe wieder die Wahrscheinlichkeit. Breite mal Höhe ist aber auch die Formel für den Flächeninhalt des Balkens. Die Wahrscheinlichkeit für 75 bis 78 Treffer ist also nichts anderes als der gesamte Flächeninhalt der zugehörigen Balken.

Und bei Flächeninhalt sollte es bei dir klingeln. Den kann man auch mit einem Integral berechnen. Nämlich mit dem Integral über die rote Glockenfunktion im entsprechenden Intervall.

Das Ergebnis ist in etwa gleich, da die rote Kurve die Kontur der Balken so gut annähert.

Beispielaufgabe

So näherst du eine Binomialverteilung durch eine Normalverteilung an und vergleichst die berechneten Wahrscheinlichkeiten.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video lösen wir eine Beispielaufgabe zur Annäherung einer Binomialverteilung durch eine Normalverteilung. Die Aufgabe lautet, eine Münze wird hundertmal geworfen. Die Zufallsvariable x zählt, wie oft Kopf oben liegt.

Aufgabe A, warum lässt sich diese Binomialverteilung durch eine Normalverteilung annähern? Gib die Normalverteilung an. Und Aufgabe B, berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 45 und höchstens 50 mal Kopf oben liegt. Vergleiche das Ergebnis mit dem Näherungswert der Normalverteilung.

Kommen wir zur Aufgabe A. Die Zufallsvariable x ist binomialverteilt, denn es gibt nur die zwei Ergebnisse Kopf oder Zahl und es ist nicht vorhersagbar, welches davon kommt. N ist 100, da die Münze hundertmal geworfen wird. Und P ist 0,5, da mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% Kopf oben liegt.

Eine Binomialverteilung lässt sich durch eine Normalverteilung annähern, wenn die Standardabweichung größer als 3 ist. Die Standardabweichung berechnest du mit dieser Formel. N ist 100, P ist 0,5 und 1-P, also 1-0,5 ist ebenfalls 0,5.

Das ergibt 25 und die Wurzel daraus ist 5. Da 5 größer ist als 3, ist x näherungsweise normalverteilt. Für die Normalverteilung brauchst du die Parameter µ und σ. σ hast du schon. µ ist der Erwartungswert der Binomialverteilung.

Dieser ist N mal P, also 100 mal 0,5. Das ergibt 50. Die Binomialverteilung wird also angenähert durch eine Normalverteilung mit den Parametern µ gleich 50 und σ gleich 5. Das besagt der Satz von de Moivre-Laplace.

Die Kurzschreibweise für die Normalverteilung sieht so aus. N steht für Normalverteilung, dann kommt µ und dann σ. Du kannst auch sagen, x ist näherungsweise so verteilt. Blau dargestellt ist die Binomialverteilung.

Ihre Kontur wird durch die rote Glockenkurve angenähert, die zu der Normalverteilung gehört. Genauer gesagt ist das die Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung. Sie wird mit φ bezeichnet und hat ebenfalls die Parameter µ gleich 50 und σ gleich 5. Durch die Annäherung kannst du Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung nun auf zwei Arten berechnen.

Entweder wie bisher oder indem du die rote Glockenkurve integrierst. Genau darum geht es in Aufgabe b. Dort sollst du die beiden Ergebnisse auch miteinander vergleichen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 45 Mal und höchstens 50 Mal Kopf kommt.

Dazu gehören die blauen Balken. Nun berechnest du zunächst die Wahrscheinlichkeit für höchstens 50 Treffer und ziehst davon die Wahrscheinlichkeit für höchstens 44 Treffer ab. Denn so bleibt genau die gesuchte Wahrscheinlichkeit für 45 bis 50 Treffer übrig.

Diese Wahrscheinlichkeiten berechnest du mit dem Taschenrechner. Die Funktion dafür heißt meist Binomcdf. Hierfür gibst du die Parameter n gleich 100, p gleich 0,5 und k gleich 50 ein.

Hier genauso, nur dass k jetzt 44 ist. Das ergibt das und das ergibt das. Das macht 0,4042, also rund 40,4%.

Diese Zahl entspricht dem Inhalt der blauen Fläche. Nun berechnest du diese Wahrscheinlichkeit mithilfe der Normalverteilung. Das heißt, du bestimmst den Inhalt der blauen Fläche näherungsweise durch ein Integral.

Die blaue Fläche entspricht etwa der Fläche zwischen der roten Kurve und der x-Achse in diesem Intervall. Du integrierst also über diese Glockenfunktion. Die Integrationsgrenzen sind aber nicht 45 und 50, denn der erste blaue Balken beginnt schon bei 44,5 und der letzte endet bei 50,5.

Daran musst du immer denken. Du integrierst also von 44,5 bis 50,5. Das nennt man Stetigkeitskorrektur.

Dieses Integral berechnest du mit deinem Taschenrechner. Meist heißt die Funktion dafür Normalcdf. Dazu gibst du die Parameter µ gleich 50, σ gleich 5 und die untere und obere Integralgrenze ein.

Das Ergebnis ist 0,4041. Das war das Ergebnis mit der Binomialverteilung. Die Ergebnisse sind nahezu gleich.

Die Näherung durch die Normalverteilung ist also sehr gut. Zum Schluss möchte ich dir noch zeigen, wie wichtig die Stetigkeitskorrektur ist. Angenommen, du hättest sie weggelassen und von 45 bis 50 integriert.

Dann wäre 0,3413 rausgekommen. Die Binomialverteilung ergab aber diese Wahrscheinlichkeit. Ohne Stetigkeitskorrektur ist die Näherung schlecht.

Nur wenn n noch viel größer wäre als 100, wäre die Näherung auch ohne Korrektur gut.