Sigma-Regeln
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Einführung
In diesem Video lernst du, was die Sigma-Regeln sind und was sie bedeuten. Zudem erkläre ich dir die Begriffe Sicherheitswahrscheinlichkeit und Konfidenzintervall bzw. Vertrauensintervall. Die Sigma-Regeln lauten: - P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈68,3% - P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈95,4% - P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈99,7% Zum Beispiel bedeutet die erste Regel: Die Abweichung der Trefferzahl vom Erwartungswert μ ist mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 68,3% nicht größer als die Standardabweichung σ . Für eine brauchbare Näherung sollte σ>3 sein! Anschaulich ist σ ein Maß für die Breite einer Verteilung.
Lösungsbeschreibung
In diesem Video geht es um die Sigma-Regeln. Hier siehst du eine Binomialverteilung. n ist dabei 100 und die Trefferwahrscheinlichkeit p ist 0,5.
So sieht zum Beispiel die Verteilung aus, wenn du eine Münze 100 Mal wirfst und zählst, wie oft dabei Kopf oben liegt. Es ist zu erwarten, dass 50 Mal Kopf kommt. Deshalb ist der Balken bei 50 am längsten, denn die Anzahl 50 hat die größte Wahrscheinlichkeit.
50 ist der sogenannte Erwartungswert, der mit µ gezeichnet wird. Es ist aber klar, dass es auch sein kann, dass Kopf nicht genau 50 Mal kommt, sondern öfter oder seltener. Die Wahrscheinlichkeit, dass Kopf 45-55 Mal kommt, beträgt ca.
68,3%. Würdest du also für jeden grünen Balken die Wahrscheinlichkeit ablesen und die Werte zusammenrechnen, käme ca. 0,683 raus, also 68,3%.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Kopf 40-60 Mal kommt, beträgt ca. 95,4%. Und mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 99,7% kommt Kopf nicht öfter als 65 Mal und nicht seltener als 35 Mal.
Die Grenzen für den grünen Bereich erhältst du, wenn du vom Erwartungswert µ einmal die Standardabweichung Sigma abziehst und einmal dazurechnest. µ ist 50 und Sigma ist 5. 50-5 ist 45 und 50 plus 5 ist 55. Wenn du 2-mal Sigma, also 10, dazurechnest oder abziehst, erhältst du die Grenzen des gelben Bereichs und bei 3-mal Sigma erhältst du die Grenzen des roten Bereichs.
Das Intervall von 45-55 wird Sigmaintervall genannt. Von 40-60 ist das 2-Sigmaintervall und von 35-65 das 3-Sigmaintervall. Man hat festgestellt, dass diese Wahrscheinlichkeiten in etwa bei jeder Binomialverteilung hinkommen, wenn die Standardabweichung größer als 3 ist.
Die Näherung ist umso besser, je größer n ist und je näher p bei 0,5 liegt. Hier ist p 0,5. Das ist ideal, aber n könnte ruhig noch größer sein.
Deshalb ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit für eine Trefferzahl von 40-60 in Wahrheit nicht 95,4%, sondern 96,5%. Aber die Sigma-Regel liefert schon eine ziemlich gute Näherung. Schreiben wir die Sigma-Regel nochmal in Worten auf.
Für eine binomialverteilte Zufallsvariable x mit den Parametern n und p, dem Erwartungswert µ und der Standardabweichung Sigma gilt näherungsweise die Wahrscheinlichkeit, dass x einen Wert im Bereich von µ-Sigma bis µ± Sigma annimmt, beträgt etwa 68,3%. Für das 2-Sigmaintervall ist diese Wahrscheinlichkeit 95,4% und für das 3-Sigmaintervall 99,7%. Bei dem Beispiel mit der Münze waren µ 50 und Sigma 5. Das kannst du ganz einfach mit diesen Formeln ausrechnen, wenn du für n 100 einsetzt und für p 0,5.
Für unser Beispiel sähe diese Zeile so aus. 50-5 macht 45 und 50 plus 5 macht 55. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferzahl x eine Zahl von 45 bis 55 ist, beträgt etwa 68,3%.
Die Trefferzahl liegt also mit 68,3%iger Wahrscheinlichkeit im Intervall von 45 bis 55. Treffer heißt in unserem Fall, dass Kopf oben liegt. Damit diese Näherungen brauchbar sind, sollte Sigma größer als 3 sein.
Man kann auch umgekehrt eine Wahrscheinlichkeit von zum Beispiel 90% vorgeben und dazu das entsprechende Intervall bestimmen. Dann ändert sich der Faktor vor Sigma. Die vorgegebene Wahrscheinlichkeit wird oft als Sicherheitswahrscheinlichkeit bezeichnet.
Üblich sind 90%, 95% oder 99%. Das zugehörige Intervall wird Konfidenzintervall oder Vertrauensintervall genannt. Soll das Intervall mit 90%iger Wahrscheinlichkeit den Wert von x enthalten, muss der Faktor vor Sigma 1,64 sein.
Für eine 95%iger Wahrscheinlichkeit 1,96 und für eine 99%iger Wahrscheinlichkeit 2,58. Lass uns doch mal dieses Intervall für unser Beispiel mit der Münze bestimmen. µ war 50 und Sigma 5. 50 minus 1,64 mal 5 macht 41,8.
Und rechnest du das gleiche mit Plus statt mit Minus, kommt 58,2 raus. Die ganzen Zahlen in diesem Intervall gehen von 42 bis 58. Mit 90%iger Wahrscheinlichkeit kommt also 42 bis 58 mal Kopf.
Kommazahlen machen bei einer Binomialverteilung keinen Sinn, denn du kannst ja nicht 58,2 mal Kopf werfen.
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Sigma-Regeln bei Normalverteilungen / Beispielaufgabe
In dieser Beispielaufgabe lernst du, das 2σ-Intervall einer Binomialverteilung zu bestimmen und die Wahrscheinlichkeit dieses Intervalls mit dem Näherungswert der Sigma-Regel zu vergleichen. Die Sigma-Regeln gelten genauso für Normalverteilungen. Da die Zufallsvariable X dabei stetig ist, müssen die Grenzen der Intervalle keine ganzen Zahlen mehr sein. Die Intervallgrenzen werden deshalb nicht mehr nachträglich angepasst! Die Sigma-Regeln lauten: - P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈68,3% - P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈95,4% - P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈99,7%
Lösungsbeschreibung
In diesem Video lösen wir eine Beispielaufgabe zu den Sigma-Regeln. Ein Würfel wird 240 Mal geworfen. x zählt die Sechsen.
Aufgabe A. Bestimme das 2-Sigma-Intervall. Und Aufgabe B. Vergleiche die Wahrscheinlichkeit des 2-Sigma-Intervalls mit dem Näherungswert der Sigma-Regel. x ist binomial verteilt.
Denn bei jedem Wurf geht es nur um die zwei Ergebnisse, 6 oder keine 6. Da wir 240 Mal würfeln, ist n 240. Und die Wahrscheinlichkeit für eine 6 ist ein Sechstel. Denn 6 ist eine von sechs möglichen Zahlen beim Würfeln.
In Aufgabe A ist das 2-Sigma-Intervall gesucht. Dafür brauchst du zuerst den Erwartungswert µ und die Standardabweichung Sigma. µ ist n Mal p, also 240 Mal ein Sechstel.
Das ergibt 40. Es ist also zu erwarten, dass 40 Mal eine 6 kommt, wenn du 240 Mal würfelst. Die Standardabweichung berechnest du mit dieser Formel.
n ist 240. p ist ein Sechstel. Und 1-p, also 1-ein Sechstel, macht 5 Sechstel.
Multiplizierst du das und ziehst daraus die Wurzel, kommt 5,77 raus. Das 2-Sigma-Intervall bildest du nach dieser Vorschrift. Erst ziehst du vom Erwartungswert µ 2 Mal Sigma ab und dann rechnest du zu µ 2 Mal Sigma hinzu.
Das 2-Sigma-Intervall heißt so, weil hier jeweils 2 Sigma steht. µ minus 2 Mal Sigma ist dann 40 minus 2 Mal 5,77. Und µ plus 2 Mal Sigma ist 40 plus 2 Mal 5,77.
Das ergibt 28,46. Und das ergibt 51,54. Kommazahlen machen bei einer Binomialverteilung aber keinen Sinn, denn du kannst ja nicht 51,54 Mal eine 6 würfeln.
Die ganzen Zahlen in diesem Intervall sind 29, 30 und so weiter bis 51. 52 liegt nicht mehr in diesem Intervall, denn 52 ist größer als 51,54. Und 28 liegt auch nicht darin, denn 28 ist kleiner als 28,46.
Das 2-Sigma-Intervall geht somit von 29 bis 51. Kommen wir zur Aufgabe b. Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit für dieses Intervall berechnen und mit der Wahrscheinlichkeit vergleichen, die die Sigma-Regel dafür angibt. Ein Treffer bedeutet eine 6 zu würfeln.
Liegt die Trefferzahl x in diesem Intervall, dann ist 29 kleiner gleich x, kleiner gleich 51. Die Wahrscheinlichkeit davon kannst du aber nicht direkt berechnen. Du berechnest erstmal die Wahrscheinlichkeit, dass x kleiner gleich 51 ist.
Das sind dann alle Trefferzahlen von 0 Treffer bis 51 Treffer. Die Wahrscheinlichkeit für 0 Treffer bis 28 Treffer interessiert uns aber gar nicht. Deshalb ziehst du diese wieder ab.
Diese Zahl muss um 1 kleiner sein als diese Zahl. Und hier steht einfach diese Zahl. Diese Wahrscheinlichkeiten kannst du direkt mit deinem Taschenrechner berechnen.
Die Funktion dafür heißt je nach Modell meist kumulierte Binomialverteilung, BinomCDF oder BinomialCDF. Mit c, nicht mit p. Dafür erhältst du diesen Wert und dafür erhältst du diesen Wert. Das ergibt 0,9542.
Das bedeutet, die Anzahl der Sechsen liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von über 95% in diesem Intervall. Es ist also ziemlich sicher, dass du 29 bis 51 mal eine 6 würfelst, wenn du insgesamt 240 mal würfelst. Diesen Wert sollst du nun mit dem Näherungswert vergleichen, den die Sigma-Regel angibt.
Laut dieser ist die Wahrscheinlichkeit für das 2-Sigma-Intervall 0,954. Diesen Wert kannst du im Mathebuch nachschlagen. Die Sigma-Regel liefert praktisch den gleichen Wert, ohne dass wir etwas rechnen müssen.
Die Näherung ist sehr gut.
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