Ganzrationale Funktionen

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• Was sind ganzrationale Funktionen?
• Wie bestimme ich einen Funktionswert?
• Schnittstelle mit der y-Achse
• Einfache und doppelte Nullstellen
• Anzahl der Nullstellen
• Linearfaktorzerlegung
• Verhalten im Unendlichen
• Verhalten für x nahe Null
• Symmetrie
• Nullstellen

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Was sind ganzrationale Funktionen?

Hier erfährst du genau, was ganzrationale Funktionen sind und wie ihre Graphen aussehen. Außerdem lernst du einen wichtigen Begriff kennen: den Grad einer Funktion.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video erkläre ich dir, was ganzrationale Funktionen sind. In ganzrationalen Funktionen werden einzelne Potenzfunktionen wie x, 1,5x³, 2x² usw. summiert.

Ganzrationale Funktionen werden auch Polynomfunktionen genannt. Die größte Hochzahl am x gibt den Grad an. Das ist zum Beispiel eine ganzrationale Funktion vierten Grades.

Eine Funktion ersten Grades nennt man üblicherweise lineare Funktion. Der Graph ist eine Gerade. Eine Funktion zweiten Grades nennt man üblicherweise quadratische Funktion.

Der Graph ist eine Parabel. Präge dir das gut ein. Für lineare und quadratische Funktionen gibt es extra Videotutorials auf Abimatte, weil diese Funktionen besonders wichtig sind.

Du solltest auch die Graphen von ganzrationalen Funktionen dritten und vierten Grades skizzieren können. Diese schauen wir uns gleich noch etwas näher an. Natürlich gibt es auch ganzrationale Funktionen fünften Grades, sechsten Grades usw.

Diese kommen aber selten vor. Hier siehst du drei Funktionen dritten Grades. Zur Funktion f von x gleich x hoch 3 gehört der rote Graph.

Er verläuft vom dritten Quadranten in den ersten und hat hier eine Nullstelle und einen Sattelpunkt. Multiplizierst du diese Funktion mit –1, wird der rote Graph an der x-Achse gespiegelt und du erhältst den blauen Graphen. Die dritte Funktion zeigt den typischen Verlauf einer Funktion dritten Grades.

Sie geht hoch, wieder runter und dann wieder hoch. Präge dir das gut ein. Hier siehst du drei Funktionen vierten Grades.

Zur Funktion f von x gleich x hoch 4 gehört der rote Graph. Er sieht aus wie eine Parabel, ist aber unten breiter. Multiplizierst du diese Funktion mit –1, wird der rote Graph an der x-Achse gespiegelt und du erhältst den blauen Graphen.

Die dritte Funktion zeigt den typischen Verlauf einer Funktion vierten Grades. Sie sieht aus wie der Buchstabe W. Präge dir das gut ein.

Wie bestimme ich einen Funktionswert?

Zu den Grundfertigkeiten gehört es, Funktionswerte zu berechnen und am Schaubild abzulesen. Falls dir nicht klar ist, was man eigentlich auf der x-Achse und der y-Achse abliest, dann ist dieses Video für dich!

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du Funktionswerte berechnest und am Schaubild abliest. Als Beispiel nehmen wir die Funktion f von x gleich x². Ihr Graph ist die Standard-Normalparabel.

Angenommen, du sollst den Funktionswert an der Stelle 2 bestimmen. Der Funktionswert an der Stelle 2 ist f von 2. Setze also hier und hier für x2 ein. 2² ist 4. Das ist der gesuchte Funktionswert.

Den Funktionswert kannst du auch am Schaubild ablesen. Dazu suchst du auf der x-Achse die 2, gehst hoch auf den Graphen und dann rüber auf die andere Achse. Dort liest du den zugehörigen Funktionswert 4 ab.

Diese Achse ist mit y oder f von x beschriftet. Die Aufgabe könnte auch genau umgekehrt gestellt sein. An welchen Stellen ist f von x gleich 4? Nun ist x gesucht und f von x gegeben.

Also setzt du hier für f von x 4 ein und löst nach x auf. Als erstes tauschen wir mal die Seiten. Nun ziehst du die Wurzel.

Die Wurzel aus 4 ist 2. Die Wurzel aus x² ist der Betrag von x. Löst du die Betragsstriche auf, erhältst du die Lösungen 2 und –2. Vielleicht überrascht es dich, dass es zwei Lösungen gibt. Doch auch das kannst du am Schaubild nachvollziehen.

Dazu suchst du diesmal auf der Achse mit der Beschriftung y oder f von x den Wert 4. Nun gehst du zur Seite auf den Graphen und dann runter auf die x-Achse. Wie du siehst, gibt es zwei Lösungen. Viele Schüler haben Probleme mit Textaufgaben.

Statt an welchen Stellen ist f von x gleich 4 könnte dort auch stehen An welchen Stellen hat f den Wert 4? Oder an welchen Stellen nimmt f den Wert 4 an?

Schnittstelle mit der y-Achse

An welcher Stelle schneidet der Graph die y-Achse? In diesem Video lernst, wie du diese Stelle berechnest und am Schaubild abliest. Außerdem zeige ich dir, wie du damit den Schnittpunkt bzw. den gemeinsamen Punkt mit der y-Achse angibst.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du die Schnittstelle eines Graphen mit der y-Achse bestimmst. Dazu nehmen wir dieses Beispiel. Am Graphen siehst du die Schnittstelle leicht.

Hier ist die Schnittstelle –3. Hast du kein Schaubild zur Verfügung, kannst du sie auch berechnen. Die Schnittstelle ist f von 0. Setze also hier und hier für x 0 ein.

0 zum Quadrat ist 0 und 0-3 ist –3. Sollst du den Schnittpunkt angeben, brauchst du zwei Koordinaten. –3 ist die y-Koordinate und die x-Koordinate ist immer 0. Das siehst du, wenn du von hier aus hoch auf die x-Achse gehst.

Deshalb haben wir auch hier für x 0 eingesetzt. In einer Textaufgabe könnte statt dem Schnittpunkt auch der gemeinsame Punkt mit der y-Achse gesucht sein. Dann ist dieser Punkt gemeint.

Einfache und doppelte Nullstellen

Bei vielen Aufgaben ist es wichtig, zwischen einfachen und doppelten Nullstellen zu unterscheiden, z.B.: - um Graphen zu skizzieren - um Schaubilder und Funktionsgleichungen einander zuzuordnen - bei "Steckbriefaufgaben". Hier erkläre ich dir den Unterschied zwischen einfachen und doppelten Nullstellen und zeige dir, woran du sie erkennst.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video geht es um einfache und doppelte Nullstellen. Dazu nehmen wir dieses Beispiel. Wie du siehst, hat der Graph zwei Nullstellen, nämlich 2 und 0. An dieser Nullstelle schneidet der Graph die x-Achse.

Doch an dieser berührt er sie nur. Diese Nullstelle ist in Wahrheit nämlich eine doppelte Nullstelle. Und an doppelten Nullstellen wird die x-Achse immer nur berührt stattgeschnitten.

Das ist wichtig für dich, wenn du Graphen skizzieren musst. In der Regel sollst du die Nullstellen zuerst berechnen und dann den Graph skizzieren. Deshalb zeige ich dir jetzt, wie die Rechnung dazu aussehen würde.

Wie immer beim Berechnen der Nullstellen setzt du f von x gleich 0. f von x ist ja x hoch 3 minus 2x². Nun kannst du x² ausklammern. Hier bleibt die 2 übrig.

Und hier x, denn x mal x² ist x hoch 3. Die linke Seite ist nun ein Produkt aus den Faktoren x² und x-2. Ein Produkt ist 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Also setzt du die Faktoren nacheinander 0. Das ergibt die Gleichungen x² gleich 0 und x-2 gleich 0. Nun löst du diese Gleichungen.

Hier ziehst du die Wurzel. Die Wurzel aus 0 ist 0. Die Wurzel aus x² ergibt immer zwei Lösungen, nämlich eine positive und eine negative. 0 und –0 ist aber dasselbe, deshalb sind die Lösungen x1 und x2 gleich.

Also ist 0 eine doppelte Nullstelle. Nur wenn hier eine negative Zahl steht, gibt es gar keine Lösungen. Nun löst du noch diese Gleichung.

Dazu bringst du die 2 rüber. Da wir schon zwei Nullstellen haben, ist das die dritte. 2 ist eine einfache Nullstelle.

Übrigens sehen auch vierfache oder sechsfache Nullstellen so aus. Immer wenn die Vielfachheit eine gerade Zahl ist, wird die x-Achse nur berührt statt geschnitten.

Anzahl der Nullstellen

Wie viele Nullstellen kann eine ganzrationale Funktion überhaupt haben? Gibt es auch Polynomfunktionen ohne Nullstellen? Diese Fragen beantworte ich dir in diesem Video.

Lösungsbeschreibung

Wie viele Nullstellen hat eigentlich eine ganzrationale Funktion? Darum geht es in diesem Video. Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen. Der Grad ist die größte Hochzahl am x, hier also 2. Somit kann diese Funktion höchstens zwei Nullstellen haben.

Hier siehst du sie. Verschiebst du den Graph nun um eine Einheit nach oben, hat er nur noch eine Nullstelle. Das ist allerdings eine doppelte Nullstelle, wie du in einem anderen Video lernst.

Verschiebst du den Graph noch weiter nach oben, hat er gar keine Nullstelle mehr. Hier siehst du übrigens die zugehörigen Funktionsgleichungen. Rechnest du hier plus 1, wird der Graph um eine Einheit nach oben verschoben.

Und hier genauso.

Linearfaktorzerlegung

Mit Hilfe der Nullstellen kannst du eine Funktion in Linearfaktoren zerlegen und dadurch faktorisieren. Umgekehrt kannst du an der Linearfaktorzerlegung auch die Nullstellen ablesen. Hier zeige ich dir, wie das geht.

Lösungsbeschreibung

Mithilfe der Nullstellen kannst du einen Funktionsterm komplett anders darstellen. Nehmen wir als Beispiel diese Funktion dritten Grades. Sie hat drei einfache Nullstellen.

Minus eins, zwei und drei. Für jede Nullstelle kannst du eine Klammer mit einem X darin schreiben. Hinter das X schreibst du nun jeweils eine Nullstelle mit geändertem Vorzeichen.

Aus der Nullstelle minus eins wird plus eins. Aus zwei wird minus zwei. Und aus drei wird minus drei.

Außerdem musst du diesen Koeffizienten übertragen. Würde hier nur X hoch drei stehen, bräuchtest du nichts vor die Klammern schreiben. Wichtig, es muss der Koeffizient vor der höchsten Potenz von X sein.

Also zum Beispiel nicht die minus zwei. Das Besondere ist nun, dass diese beiden Ausdrücke gleich sind. Du kannst das Video gerne mal abstoppen und die Klammern ausmultiplizieren, um dich selbst davon zu überzeugen.

Das ist die sogenannte Linearfaktorzerlegung. Umgekehrt kannst du an der Linearfaktorzerlegung auch sofort die Nullstellen ablesen. Sie stehen hier drin.

Du musst lediglich das Vorzeichen ändern. Hieraus folgt die erste Nullstelle, X1 gleich minus eins. Hieraus folgt X2 gleich zwei.

Und hieraus folgt X3 gleich drei.

Verhalten im Unendlichen

Beim Verhalten im Unendlichen untersuchst du, ob der Graph immer weiter steigt oder fällt, wenn x gegen ∞ bzw. −∞ geht. Wie du das machst, zeige ich dir hier. Dabei siehst du auch, wie man die Limes-Schreibweise verwendet.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du das Verhalten im Unendlichen untersuchst. Das ist nämlich viel einfacher, als du denkst. Du musst eigentlich nur folgende Fragen beantworten.

Geht der Graf hier immer weiter hoch oder runter? Natürlich hoch. Und hier? Da geht er immer weiter runter. Jetzt musst du das nur noch mathematisch aufschreiben.

Das hier ist die x-Achse. In dieser Richtung werden die x-Werte immer größer. Es gibt keine Grenze, sie gehen ins Unendliche.

Dafür schreibt man dieses Symbol, das wie eine liegende 8 aussieht. In diese Richtung genauso, nur dass die Zahlen negativ sind. Deshalb minusunendlich.

Das gleiche bei der anderen Achse, die mit f von x oder mit y beschriftet ist. In diese Richtung geht f von x gegen unendlich und in diese Richtung gegen minusunendlich. Geht der Graf immer weiter hoch, schreibst du f von x gegen unendlich.

Das gilt aber nur für diese Richtung, also für x gegen unendlich. Geht der Graf immer weiter runter, schreibst du f von x gegen minusunendlich. Das wiederum gilt nur für diese Richtung, also für x gegen minusunendlich.

Wenn du kein Schaubild zur Verfügung hast, kannst du das Verhalten im Unendlichen auch rechnerisch bestimmen. Das ist die Funktionsgleichung zu dem Grafen, den du gerade gesehen hast. Sieht kompliziert aus, doch zum Glück brauchst du nur diesen Teil davon.

Denn nur der Summand mit der höchsten x-Potenz, hier x hoch 3, bestimmt das Verhalten im Unendlichen. Der Rest ist dafür irrelevant. Wie zuvor musst du wieder zwei Fälle unterscheiden.

Das Verhalten für x gegen unendlich und für x gegen minusunendlich. Hierfür schreibst du Limes für x gegen unendlich. Limes bedeutet Grenzwert.

Und hierfür schreibst du Limes für x gegen minusunendlich. Nun schreibst du diesen Summanden ab. Jetzt machen wir erstmal diesen Fall fertig.

Stell dir vor, du setzt jetzt für x unendlich ein. Das machst du aber nur im Kopf und schreibst es nicht hin. Ich habe es deshalb in Anführungszeichen gesetzt.

Unendlich hoch 3 bedeutet ja unendlich mal unendlich mal unendlich. Was wird das wohl sein? Das wird unendlich groß. Und selbst wenn du diesen unendlich großen Wert mit ein Halb multiplizierst, also quasi durch zwei teilst, ist er immer noch unendlich groß.

Und das schreibst du nun hin. Da das Verhalten der ganzen Funktion von diesem einen Summanden bestimmt wird, folgt daraus, dass auch f von x gegen unendlich geht, wenn x gegen unendlich geht. Das meiste rechnest du wie gesagt im Kopf.

Du würdest nur das hinschreiben. Das gleiche machst du jetzt noch für x gegen minusunendlich. Du setzt quasi für x minusunendlich ein.

Hoch 3 kannst du wieder so auflösen. Was kommt hier wohl raus? Das gleiche wie hier, nur mit minus. Denn minus mal minus macht plus und plus mal minus ergibt wieder minus.

Somit geht f von x gegen minusunendlich wenn x gegen minusunendlich geht. Hier würdest du auch nur das hinschreiben.

Verhalten für x nahe Null

Das Verhalten einer Funktion für x-Werte nahe Null lässt sich mit einer einfachen Gleichung beschreiben. Wie, erfährst du hier.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video geht es um das Verhalten des Graphen für x nahe 0. Als Beispiel nehmen wir diese rote Parabel. Für x-Werte nahe 0, also hier, verläuft der Graph so ähnlich wie die blaue Gerade. Wie kommt man aber auf die Gleichung dieser Gerade? Ganz einfach.

Hier siehst du die Funktionsgleichung der roten Parabel. Und davon nimmst du jetzt die niedrigste Potenz von x und noch die einzelne Zahl. Falls mal keine einzelne Zahl vorhanden sein sollte, nimmst du nur die niedrigste Potenz von x.

Symmetrie

So erkennst du Achsensymmetrie zur y-Achse und Punktsymmetrie zum Ursprung am Graphen und an der Funktionsgleichung.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video geht es um die Symmetrie eines Graphen. Der rote Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Das bedeutet, wenn du diesen Teil an der y-Achse spiegelst, erhältst du diesen Teil.

Und umgekehrt. Achsensymmetrie zur y-Achse erkennst du auch daran, dass in der Funktionsgleichung nur gerade Potenzen vorkommen, wie x², x⁴ und so weiter. Auch eine einzelne Zahl ist erlaubt.

Ein Beispiel ist die Funktionsgleichung des roten Graphen. Hier haben wir x⁴, x² und eine einzelne Zahl. Der blaue Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Stell dir vor, du würdest den Graph an diesem Punkt festhalten und wie einen Propeller drehen. Nach einer halben Drehung würde der Graph genauso aussehen wie jetzt. Das ist mit Punktsymmetrie gemeint.

Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung erkennst du daran, dass in der Funktionsgleichung nur ungerade Potenzen vorkommen, wie x, x³, x⁵ und so weiter und keine einzelne Zahl. Ein Beispiel ist die Funktionsgleichung des blauen Graphen. Hier haben wir x³ und x. Noch ein Hinweis.

Der Graph einer Funktion kann auch zu anderen Punkten und Geraden symmetrisch sein. Aber das erkennt man nicht so einfach an der Funktionsgleichung.

Nullstellen

An welchen Stellen schneidet oder berührt der Graph die x-Achse? In diesem Video lernst, wie du diese Stellen berechnest und am Schaubild abliest. Nullstellen spielen bei der Kurvendiskussion eine wichtige Rolle. Dort berechnest du nicht nur die Nullstellen der Funktion f, sondern auch die Nullstellen ihrer ersten und zweiten Ableitung. Denn an diesen Stellen können sich Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) und Wendepunkte von f befinden. Beim Thema Differentialrechnung solltest du also fit darin sein, Nullstellen zu bestimmen!

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du die Nullstellen einer ganz rationalen Funktion bestimmst. Dazu nehmen wir dieses Beispiel. Am Graphen siehst du die Nullstelle leicht, sie ist bei 2. Nullstellen sind Stellen, an denen der Graph die x-Achse schneidet oder berührt.

Hast du kein Schaubild zur Verfügung, kannst du sie auch berechnen. Dazu setzt du f von x gleich 0. f von x ist ja 2x-4. Nun löst du nach x auf.

Du rechnest plus 4 und teilst dann durch 2. Die Nullstelle ist somit 2. Sollst du den Schnittpunkt angeben, brauchst du 2 Koordinaten. 2 ist die x-Koordinate. Und die y-Koordinate ist immer 0. Das siehst du leicht, wenn du von hier aus rüber zur y-Achse gehst.

In einer Textaufgabe könnte statt dem Schnittpunkt auch der gemeinsame Punkt mit der x-Achse gesucht sein. Dann ist dieser Punkt gemeint. Es gibt auch Funktionen, die mehrere Nullstellen haben oder gar keine.

Oder Nullstellen, an denen die x-Achse nur berührt, aber nicht geschnitten wird.