Ganzrationale Gleichungen

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• Was sind ganzrationale Gleichungen?
• So löst du ganzrationale Gleichungen
• Gleichung lösen durch Auflösen nach x
• Gleichung lösen durch Wurzelziehen
• Gleichung lösen mit dem Satz vom Nullprodukt
• Gleichung lösen durch Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt
• Gleichung lösen mit der pq-Formel
• Gleichung lösen mit der abc-Formel / Mitternachtsformel
• Gleichung lösen durch Substitution
• Gleichung lösen durch Polynomdivision

Unsere Schüler können die zugehörigen Videos auf https://www.abacus-lernportal.de anschauen.

Was sind ganzrationale Gleichungen?

In diesem Video zeige ich dir Beispiele für ganzrationale Gleichungen und erkläre dir, woran du ganzrationale Gleichungen erkennst.

Lösungsbeschreibung

Hier siehst du einige Beispiele für ganzrationale Gleichungen. Ganzrationale Gleichungen bestehen aus Potenzen von x. Zum Beispiel x, x², x³, x⁴ und so weiter. Die Hochzahlen sind natürliche Zahlen.

Das bedeutet, die Hochzahlen dürfen zum Beispiel keine negativen Zahlen oder Brüche sein.

So löst du ganzrationale Gleichungen

Bei ganzrationalen Gleichungen gibt es 7 Typen, die du kennen musst. Für jeden Typ gibt es den passenden Lösungsansatz. In diesem Video zeige ich dir, wie du den Typ einer Gleichung durch einfache Mustererkennung bestimmst und sofort den passenden Lösungsansatz wählst!

Lösungsbeschreibung

Bei ganz rationalen Gleichungen gibt es sieben Typen, die du kennen musst. Für jeden Typ gibt es den passenden Lösungsansatz. In diesem Video stelle ich dir die sieben Typen vor.

In den folgenden Videos rechne ich dir die Beispiele vor. Bei Typ 1 kommt nur einmal x vor und keine höhere Potenz von x. Hier löst du einfach nach x auf. Bei Typ 2 kommt eine höhere Potenz von x vor, wie hier x².

Um solche Gleichungen zu lösen, musst du die entsprechende Wurzel ziehen. Bei x² ziehst du die Quadratwurzel, also die ganz normale Wurzel, bei x³ würdest du die dritte Wurzel ziehen und so weiter. Bei Typ 3 ist eine Seite der Gleichung Null und die andere Seite ist ein Produkt.

In diesem Fall besteht das Produkt aus den Faktoren x und x-3. Bei solchen Gleichungen wendest du den Satz vom Nullprodukt an. Bei Typ 4 ist eine Seite der Gleichung Null und auf der anderen Seite kommen verschiedene Potenzen von x vor.

Nun kannst du die kleinste Potenz von x ausklammern. In diesem Fall also x. Wenn du das getan hast, sieht deine Gleichung aus wie bei Typ 3. Und nun wendest du wieder den Satz vom Nullprodukt an. Bei Typ 5 ist eine Seite der Gleichung Null und auf der anderen Seite stehen x², x und eine einfache Zahl.

Solche Gleichungen löst du mit der PQ-Formel, der ABC-Formel bzw. der Mitternachtsformel. ABC-Formel und Mitternachtsformel sind nur unterschiedliche Namen für die gleiche Formel.

Bei Typ 6 ist eine Seite der Gleichung Null und auf der anderen Seite stehen x³, x und eine einfache Zahl. Solche Gleichungen löst du durch Substitution. Unter Typ 7 kann man im Prinzip alle übrigen Gleichungen zusammenfassen.

Häufig ist eine Seite der Gleichung Null und auf der anderen Seite stehen x³, x², x und eine einfache Zahl. Entweder ist eine Lösung der Gleichung bereits gegeben oder du musst sie raten. Mit dieser Lösung machst du dann eine Polynom-Division.

Das Ergebnis setzt du Null und dann löst du noch diese neue Gleichung. Übrigens kann es sein, dass du deine Gleichung zunächst vereinfachen musst, damit du den Typ erkennst. Vereinfachen bedeutet, zusammenzufassen und manchmal auch Klammern auszumultiplizieren.

Klammern solltest du allerdings nicht auflösen, wenn du stattdessen den Satz vom Nullprodukt anwenden könntest, wie bei Typ 3. Von Typ 3 bis Typ 7 solltest du deine Gleichung immer so umformen, dass eine Seite Null ist, wie hier.

Gleichung lösen durch Auflösen nach x

Kommt nur x vor, aber keine höhere Potenz von x, kannst du ganz einfach nach x auflösen.

Lösungsbeschreibung

Kommt nur x vor, aber keine höhere Potenz von x, kannst du die Gleichung ganz einfach nach x auflösen. Bringe hier zuerst die 8 auf die andere Seite, indem du plus 8 rechnest. Teile nun die Gleichung durch 2. Damit erhältst du die Lösung x ist gleich 4. Mein Tipp zum Umformen, mache zuerst Strichrechnungen, wie hier plus, und dann Punktrechnungen.

Wie hier geteilt. Das hat übrigens nichts mit der Regel Punkt vor Strichrechnung zu tun, weil sich diese auf etwas ganz anderes bezieht.

Gleichung lösen durch Wurzelziehen

Kommt nur eine höhere Potenz von x vor wie x² oder x³, löst du die Gleichung durch Wurzelziehen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir zwei Beispiele zum Gleichungen lösen durch Wurzel ziehen. Unsere erste Gleichung ist x² ist gleich 9. Hier ziehst du einfach die Wurzel. Die Wurzel aus 9 ist 3. Die Wurzel aus x² ist jedoch nicht x, wie viele Schüler meinen, sondern der Betrag von x. Darauf musst du achten, wenn du Gleichungen löst.

Nun musst du noch die Betragsstriche auflösen und dadurch erhältst du zwei Lösungen, nämlich 3 und –3. Du kannst gerne eine Probe machen, um das zu überprüfen. Dazu setzt du für x die Zahlen 3 und –3 ein und rechnest nach, ob tatsächlich 9 rauskommt.

3² ist ja 3 mal 3 und das macht 9. –3² ist –3 mal –3 und das ergibt auch 9, denn – mal – macht Plus. Beachte außerdem, dass du die Wurzel nur aus positiven Zahlen ziehen kannst. Würde hier –9 stehen, wäre die Gleichung nicht lösbar, da du aus negativen Zahlen nicht die Quadratwurzel ziehen kannst.

Kommen wir zum zweiten Beispiel. Auch hier kommt nur eine Potenz von x vor, nämlich x³. Löse zuerst nach dieser Potenz auf, indem du die 8 rüberbringst.

Da die Hochzahl 3 ist, musst du diesmal die dritte Wurzel ziehen. Es gibt zwei wichtige Unterschiede zum Wurzelziehen im ersten Beispiel. Auf der linken Seite erhältst du sofort x und nicht erst den Betrag von x. Außerdem kann man die dritte Wurzel auch aus negativen Zahlen wie –8 ziehen.

Das Ergebnis ist –2. Du kannst gerne eine Probe machen, um das zu überprüfen. Dazu setzt du für x die Zahl –2 ein und rechnest nach, ob tatsächlich 0 rauskommt.

–2³ ist ja –2 mal –2 mal –2. –mal – macht Plus und Plus mal Minus ist wieder Minus. 2 mal 2 macht 4 und 4 mal 2 macht 8. Und –8 plus 8 ist tatsächlich 0. Somit ist die Lösung richtig.

Entscheidend ist der Wurzelexponent. Ist der Wurzelexponent ungerade wie 3, 5, 7 usw., verhält es sich wie in diesem Beispiel. Gehen wir nun zurück zum ersten Beispiel.

Hier steht eigentlich der Wurzelexponent 2. Dieser wird nur immer weggelassen. Ist der Wurzelexponent gerade wie 2, 4, 6 usw., verhält es sich wie in diesem Beispiel. Dann erhältst du immer zwei Lösungen.

Gleichung lösen mit dem Satz vom Nullprodukt

Den Satz vom Nullprodukt wendest du an, wenn eine Seite der Gleichung Null und die andere Seite ein Produkt ist. Der Satz vom Nullprodukt besagt: Ein Produkt ist Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Gleichung mit dem Satz vom Nullprodukt löst. Den Satz vom Nullprodukt wendest du an, wenn eine Seite der Gleichung Null und die andere Seite ein Produkt ist. Ein Produkt erkennst du leicht an einem Malpunkt.

Oft kann der Malpunkt jedoch auch weggelassen werden. Das Produkt besteht aus den Faktoren x und x-3. Der Satz vom Nullprodukt besagt, ein Produkt ist Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist.

Wann die Faktoren Null werden, findest du heraus, indem du sie Null setzt. Setze also den ersten Faktor Null. Dazu schreibst du den ersten Faktor ab und ist gleich Null dahinter.

Die erste Lösung steht sofort da. Nun setzt du den zweiten Faktor Null. Das ergibt die Gleichung x-3 gleich Null.

Die Klammern kannst du weglassen. Rechne plus 3 und du erhältst die zweite Lösung, x2 ist gleich 3. Die Lösungen kannst du leicht überprüfen. Mache zunächst die Probe für x1 gleich Null.

Dazu setzt du hier und hier für x die Zahl Null ein. Null minus 3 ist minus 3. Und Null mal minus 3 ist Null. Denn Null mal irgendwas ist immer Null.

Null ist gleich Null ist eine wahre Aussage, was du mit w.a. abkürzen kannst. Also ist deine erste Lösung richtig. Nun machst du das gleiche für die zweite Lösung.

Dazu setzt du hier und hier für x die Zahl 3 ein. 3 minus 3 macht Null. Und 3 mal Null ist Null.

Somit ist auch die zweite Lösung richtig. Die Proben kannst du dir natürlich sparen. Sie sollten nur einem besseren Verständnis dienen.

Gleichung lösen durch Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt

Ist eine Seite der Gleichung Null und die andere Seite eine Summe aus Potenzen von x, klammerst du die kleinste Potenz von x aus. Anschließend sieht deine Gleichung aus wie bei Typ 3 und du kannst wieder den Satz vom Nullprodukt anwenden.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Gleichung durch Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt löst. Das machst du, wenn eine Seite der Gleichung Null ist, und auf der anderen Seite nur verschiedene Potenzen von x stehen, wie hier x und x². Als erstes bestimmst du die kleinste Potenz von x, das ist hier x, und das klammerst du aus.

Nun ist die linke Seite der Gleichung ein Produkt aus den Faktoren x und x-3. Deshalb kannst du nun den Satz vom Nullprodukt anwenden. Dieser besagt, ein Produkt ist Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist.

Setze die Faktoren nacheinander Null. Setzt du den ersten Faktor Null, steht die erste Lösung sofort da. Nun setzt du den zweiten Faktor Null.

Das ergibt die Gleichung x-3 gleich Null. Die Klammern kannst du weglassen. Rechne plus 3 und du erhältst die zweite Lösung, x² ist gleich 3. Statt x auszuklammern, könntest du hier leicht auf die Idee kommen, einfach durch x zu teilen.

Das wäre aber ein Fehler, denn eine der Lösungen ist Null. Wenn du also durch x teilst, dann teilst du durch Null, und das darf man nicht. Teile also nie durch x, sondern klammere aus und wende dann den Satz vom Nullprodukt an.

Gleichung lösen mit der pq-Formel

Die pq-Formel ist die wichtigste Formel, die du in Mathe lernst! Du benötigst sie, um quadratische Gleichungen zu lösen und bei Anwendungsaufgaben wie der Bestimmung von Nullstellen, Extrempunkten und Wendepunkten. In diesem Video zeige ich dir, wie du p und q richtig abliest, sie in die pq-Formel einsetzt und die Lösungen der quadratischen Gleichung ausrechnest. Statt der pq-Formel kannst du auch die sogenannte abc-Formel benutzen, die auch noch unter dem Namen Mitternachtsformel bekannt ist. Diese erfüllt den gleichen Zweck. Die meisten Lehrer bevorzugen jedoch die pq-Formel.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine quadratische Gleichung mit der p-q-Formel löst. Als Beispiel nehmen wir diese Gleichung. Die p-q-Formel gilt für solche quadratischen Gleichungen.

Da bei uns noch eine 3 vor x² steht, musst du die Gleichung zuerst durch 3 teilen. Achtung, du musst auch die 6 und die –24 durch 3 teilen, das vergessen viele. 6 geteilt durch 3 ist 2 und –24 geteilt durch 3 ist –8.

Jetzt entspricht die Gleichung dieser Form und du kannst p und q ablesen. p ist die Zahl vor dem x, also 2 und q ist –8. Minuszeichen musst du auch übernehmen.

Nun setzt du p und q in die p-q-Formel ein. Hier und hier setzt du für p 2 ein und hier setzt du für q –8 ein. Den Rest schreibst du einfach ab.

In der Klammer steht immer der gleiche Ausdruck wie vorn, nur ohne das Minuszeichen. Benutzt du den Taschenrechner, musst du einmal plus und einmal minus eingeben. Ohne Taschenrechner gehst du wie folgt vor.

Die 2 kürzen sich zu 1. Hier in der Klammer steht dann ebenfalls eine 1 und du kannst die Klammer nun weglassen. ––8 ist plus 8. 1 zum Quadrat ist immer noch 1. 1 plus 8 macht 9. Die Wurzel aus 9 ist 3. Und nun fasst du noch zusammen. Einmal rechnest du plus und einmal minus.

Dadurch erhältst du 2 Lösungen, was durch die Schreibweise x12 schon angezeigt wird. Die erste Lösung ist also –1 plus 3. Und das macht 2. Und die zweite Lösung ist –1 minus 3. Und das macht –4.

Gleichung lösen mit der abc-Formel / Mitternachtsformel

Die abc-Formel bzw. Mitternachtsformel ist die wichtigste Formel, die du in Mathe lernst! Manchmal wird sie auch einfach nur Lösungsformel genannt. Du benötigst sie, um quadratische Gleichungen zu lösen und häufig auch bei der Bestimmung von Nullstellen, Extrempunkten und Wendepunkten. In diesem Video zeige ich dir, wie du a, b und c richtig abliest, sie in die abc-Formel einsetzt und die Lösungen der quadratischen Gleichung ausrechnest. Statt der abc-Formel kannst du auch die sogenannte pq-Formel benutzen. Diese erfüllt den gleichen Zweck, allerdings musst du dabei häufiger mit Brüchen rechnen.

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine quadratische Gleichung mit der ABC-Formel löst. Die ABC-Formel ist auch unter dem Namen Mitternachtsformel oder einfach Lösungsformel bekannt. Als Beispiel nehmen wir diese Gleichung.

Für die ABC-Formel benötigst du A, B und C, die du direkt ablesen kannst. A ist 3, B ist 6 und C ist minus 24. Minuszeichen musst du auch übernehmen.

Nun setzt du A, B und C in die ABC-Formel ein. Hier und hier setzt du für B 6 ein. Hier und hier setzt du für A 3 ein und hier setzt du für C minus 24 ein.

Den Rest schreibst du einfach ab. Benutzt du den Taschenrechner, musst du einmal Plus und einmal Minus eingeben. Ohne Taschenrechner gehst du wie folgt vor.

36 mal 24 ist 288 und Minus mal Minus macht Plus. 2 mal 3 ist 6. 36 plus 288 macht 324. Die Wurzel aus 324 ist 18.

Das solltest du auswendig wissen. Und nun fasst du noch zusammen. Einmal rechnest du Plus und einmal Minus.

Dadurch erhältst du zwei Lösungen, was durch die Schreibweise x12 schon angezeigt wird. Für die erste Lösung rechnest du minus 6 plus 18 macht 12 und 12 geteilt durch 6 ist 2. Für die zweite Lösung rechnest du das gleiche nur mit Minus. Minus 6 minus 18 ist minus 24 und minus 24 geteilt durch 6 ist minus 4. Noch ein Tipp.

Falls du nicht mit so großen Zahlen rechnen möchtest, prüfe am Anfang, ob sich die Gleichung teilen lässt. Diese Gleichung kannst du durch 3 teilen. 3 geteilt durch 3 ist 1. Diese kannst du weglassen.

6 geteilt durch 3 ist 2. Minus 24 geteilt durch 3 ist minus 8 und 0 geteilt durch 3 ist immer noch 0. Nun ist a gleich 1, b ist 2 und c ist minus 8. Wenn du diese Zahlen in die ABC-Formel einsetzt, kannst du leichter weiterrechnen. Die Lösungen verändern sich dadurch nicht.

Gleichung lösen durch Substitution

Während es für quadratische Gleichungen die pq-Formel bzw. die abc-Formel / Mitternachtsformel gibt, lassen sich Gleichungen höheren Grades leider nicht mit einer Formel lösen. Durch einen Trick – die Substitution – lassen sich einige dieser Gleichungen jedoch in quadratische Gleichungen umwandeln. Dazu wird eine Variable geschickt ersetzt. Substituieren bedeutet nämlich Ersetzen. Um die Lösungen der Ausgangsgleichung zu bestimmen, muss die Substitution zum Schluss allerdings wieder rückgängig gemacht werden (Rücksubstitution). Im folgenden Video zeige ich dir, wie du das alles alleine bewerkstelligst! Tipp: Die Substitution wird oft im Pflichtteil des Mathe-Abiturs geprüft!

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Gleichung durch Substitution löst. Dazu nehmen wir dieses Beispiel. Ist eine Seite der Gleichung 0 und auf der anderen Seite stehen x4, x² und eine einfache Zahl, machst du eine Substitution.

Substituieren bedeutet ersetzen. Und zwar ersetzt du x² durch z. Statt z kannst du auch einen anderen Buchstaben nehmen, wie u. Aus x² wird dadurch z und aus x hoch 4 wird z². Der Rest bleibt gleich.

Nun hast du eine quadratische Gleichung, die du mit der pq-Formel oder der abc-Formel beziehungsweise mitternachts-Formel lösen kannst. Wie das geht, zeige ich dir in den Videos zur pq- und zur abc-Formel. Der einzige Unterschied ist, dass du jedes Mal z statt x schreibst.

Hast du das gemacht, erhältst du die beiden Lösungen 2 und minus 4. Nun hast du aber noch ein kleines Problem, denn die Lösungen heißen z1 und z2. In unserer Ausgangsgleichung kommt aber überhaupt kein z vor, sondern x. Die Lösungen müssen deshalb auch x1, x2 und so weiter heißen. Deshalb musst du die Substitution nun wieder rückgängig machen.

Als erstes wandelst du die Lösung z1 in x um. Dazu schreibst du x² ist gleich z1. z1 ist 2. Um diese Gleichung zu lösen, ziehst du die Wurzel.

Die Wurzel aus 2 ist eine irrationale Zahl. Lasse also einfach die Wurzel stehen. Die Wurzel aus x² ist der Betrag von x. Löst du die Betragsstriche auf, erhältst du die beiden Lösungen Wurzel 2 und Minuswurzel 2. Nun wandelst du noch z2 in x um.

Dazu schreibst du x² gleich z2. z2 ist Minus 4. x² kann allerdings nicht negativ sein. Das kannst du durch einen Blitz verdeutlichen.

Somit gibt es keine weiteren Lösungen. Die Substitution ist ein wichtiges Verfahren, das oft im Abitur geprüft wird. Schau es dir also gut an!

Gleichung lösen durch Polynomdivision

Polynomdivision machst du bei Gleichungen, die sich mit keinem der übrigen Verfahren lösen lassen. Am häufigsten sind dabei Gleichungen dritten Grades. Für die Polynomdivision muss eine Lösung der Gleichung bekannt sein. Entweder ist diese gegeben oder du musst sie raten. Mit dieser Lösung führst du die Polynomdivision durch. Das Ergebnis musst du anschließend Null setzen und noch diese neue Gleichung lösen. Die Lösungen dieser neuen Gleichung sind nämlich auch Lösungen der Ausgangsgleichung. Hinweis: In einigen Bundesländern wird die Polynomdivision NICHT im Mathe-Abi geprüft!

Lösungsbeschreibung

In diesem Video zeige ich dir, wie du eine Gleichung durch Polynomdivision löst. Dazu nehmen wir dieses Beispiel. Polynomdivision machst du bei Gleichungen, die sich mit keinem der übrigen Verfahren lösen lassen.

Entweder ist die erste Lösung gegeben, oder du musst sie raten. Da hier keine Lösung gegeben ist, musst du die erste Lösung raten. Dabei probierst du einfache Zahlen aus, wie 1 oder –1.

Machen wir eine Probe mit 1. Dazu setzt du für x1 ein und prüfst, ob tatsächlich 0 rauskommt. Dazu kannst du ein kleines Fragezeichen über das Istgleichzeichen setzen. 1 hoch 3 ist 1. 1 zum Quadrat ist ebenfalls 1 und –4 mal 1 ist –4.

Fasst du die linke Seite zusammen, kommt 0 raus. 0 ist gleich 0, ist eine wahre Aussage. Somit ist 1 unsere erste Lösung.

Nun machst du mit der gefundenen Lösung eine Polynomdivision. Das geht so. Die linke Seite der Gleichung schreibst du ab.

Dahinter schreibst du ein Geteilzeichen und eine Klammer. In die Klammer schreibst du ein x und deine gefundene Lösung mit geändertem Vorzeichen. Die gefundene Lösung war 1, also schreibst du hier –1.

Wäre die gefundene Lösung –1, würdest du hier plus 1 schreiben. Die komplette Rechnung zeige ich dir auf der nächsten Seite. Soweit waren wir schon.

Und jetzt rechnest du x hoch 3 geteilt durch x. Du kannst dich auch fragen, x mal was macht x hoch 3? Die Antwort ist x² und das schreibst du hier hin. Nun rechnest du das Ganze rückwärts. x² mal x ergibt x hoch 3. x² mal –1 ist –x².

Nun machst du eine Klammer drumherum und ein Minuszeichen davor. Jetzt ziehst du die Klammer von oben ab. x hoch 3 minus x hoch 3 ist 0. 0 brauchst du nicht hinschreiben.

Der vordere Teil fällt also weg. ––x² ist plus x². Und –4x² plus x² sind –3x².

Nun ziehst du den nächsten Ausdruck von oben runter. Jetzt geht das Ganze von vorne los. Jetzt rechnest du –3x² geteilt durch x. Du kannst dich auch fragen, x mal was macht –3x²? Die Antwort ist –3x.

Das schreibst du wieder hier hin. Nun rechnest du das Ganze wieder rückwärts. –3x mal x ergibt –3x².

–3x mal –1 sind plus 3x. Nun machst du eine Klammer drumherum und ein Minuszeichen davor. Jetzt ziehst du die Klammer wieder von oben ab.

Der vordere Teil fällt dabei immer weg. Du brauchst also nur –x minus 3x zu rechnen. Das ergibt –4x.

Nun ziehst du wieder den nächsten Ausdruck von oben runter. Jetzt geht das Ganze von vorne los. Jetzt rechnest du –4x geteilt durch x. Das ist –4.

Nun rechnest du das Ganze wieder rückwärts. –4 mal x sind –4x. –4 mal –1 sind plus 4. Mache wieder eine Klammer drumherum und ein Minuszeichen davor.

Ziehe nun wieder die Klammer von oben ab. Der vordere Teil fällt wieder weg. Du brauchst also nur 4 minus 4 zu rechnen.

Das ergibt 0. Jetzt bist du fertig. Als nächstes nimmst du dieses Ergebnis und setzt es 0. Dadurch entsteht eine neue Gleichung, die du noch lösen musst. Offenbar ist das eine quadratische Gleichung, die du mit der PQ-Formel oder der ABC- bzw.

Mitternachtsformel lösen kannst. Wie das geht, zeige ich dir in den Videos zur PQ- und zur ABC-Formel. Die Lösungen sind dann 4 und –1.

Doch das sind nicht nur die Lösungen dieser Gleichung, sondern auch der Ausgangsgleichung. Deshalb nennst du diese nun x2 und x3, denn die erste Lösung haben wir ja schon durch Raten gefunden.